1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Значит, отображение д: $' — > П обладает свойствами 1', 2', 3' относительно области Г и точки уо Е Г. Тогда по уже доказанному хо = д(уо) — внутренняя точка множества П = д(Г). Поскольку условия 1', 2', 3' в силу формулы 13), очевидно, выполнены в любой точке у Е Ъ', то любая точка х = д(у) является внутренней точкой множества П. Таким образом, П вЂ” открытая (и, очевидно, даже связная) окрестность точки хо в Кк. Теперь проверено, что отображение ~: П -+ $' удовлетворяет всем условиям определения 1 и утверждению теоремы 1. ь Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1. Очень часто теорема об обратной функции используется при переходе от одной системы координат к другой системе координат. Простейший вариант такого преобразования координат рассматривался в аналитической геометрии и линейной алгебре и имел вид или, в компактной записи, уд = а~х'.
Это линейное преобразование А: К™ — + К™, имеет обратное А 1: $~ -+ К™, определенное во всем пространстве К„, тогда и только тогда, когда матрица (а~) обратима, т. е. при условии, что с1е1 (а~) ~ О. Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отображение в малой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его дифференциал в этой точке. Пример 1.
Полярные координаты. Отображение ~: К~~ — > Кз полуплоскости К+~ — — 11р, р) Е Кй ~ р ) О) на плоскость К~, задаваемое ГЛ. НН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 880 формулами я = рсоа у, у = рв1пу, (4) проиллюстрировано на рис. 57. Рис. 57. Полярные координаты (р, у, у) в трехмерном пространстве Ив называют сферическими координатами. Они связаны с декартовыми координатами формулами в = реева, у = рвшу 81пу, х = рвшу1сову. (5) Геометрический смысл параметров р, 10, у показан на рис.
58. Рис. 58. Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен р, т.е. отличен от нуля в окрестности любой точки (р,у), где р > О. Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально числа р, р могут быть приняты в качестве новых координат точки, которую раньше задавали декартовы координаты я, у.
Координаты (р, у) являются хорошо известной системой криволинейных координат на плоскости — это полярные координаты. Их геометрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодичности функций сов ~р, вш ~р отображение (4) при р > 0 только локально диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным. Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда сопровождается выбором ветви (т.е. указанием диапазона изменения) аргумента ~р. 16.
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 581 Якобиан отображения (5) равен р2 яви и в силу теоремы 1 преобразование (5) обратимо в окрестности любой точки (р,ф, р), в которой р)Оияи~~О. Множествам, где р = сопв1, ~о = сопя~ или ф = сопй, в пространстве (х, у, г), очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность (на сфере радиуса р), полуплоскость, проходящая через ось г, и поверхность конуса с осью ю Таким образом,при переходе от координат (х,у,з) к координатам (р,ф, у), например, сферическая поверхность и поверхность конуса локально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей р = сопв1 и ф = сопаФ соответственно. Аналогичное явление мы наблюдали и в двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости (х, у) отвечал отрезок прямой на плоскости с координатами (р, у) (см. рис.
57). Обратите внимание на то, что это именно локальное выпрямление. В ги-мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями х = рсоа ры 1 х = ряп~р1 соа ~р2, 2 (5') х = ряп~р1яп~р2 . япр„, 2соар„, ы Х = РЯП Р1 ЯП~Р2... ЯП~Рь,— 2 ЯПУ~,— 1. Якобиан этого преобразования равен р 'в1п™ 2~р~в1п '~р~... яп~р (б) и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот яко- биан отличен от нуля. Пример 2. Обилия идея локальноао вьтряиления кривых. Новые координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой новой записи.
Пусть, например,на плоскости и' некоторая кривая задана уравнением г'(х,у) = О. Пусть г' — гладкая функция, а точка (хо, ув) такова, что она лежит на кривой, т.е. Г(хо,уо) = О, и не является критической точкой функции Г, например, пусть Г„'(хо, уо) ~ О. ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 582 Попробуем подобрать координаты ~, и так, чтобы в них дуге нашей кривой, содержащей (хе, уе), отвечал отрезок одной из координатных линий, например линии и = О. Положим ~ = х — хе, и = Г(х,у).
Матрица Якоби р~ р~ (х у) этого преобразования имеет своим детерминантом величину Р„'(х,у), которая по предположению отлична от нуля в точке (хр, уе). Тогда по теореме 1 зто отображение является диффеоморфизмом окрестности точки (хм ус) на окрестность точки (~, и) = (О, 0). Значит, в пределах указанной окрестности чйсла (, и можно принять за новые координаты точек, лежащих в окрестности точки (хе,уе). В новых координатах наша кривая, очевидно, имеет уравнение и = О, и в этом смысле мы действительно добились ее локального выпрямления (рис. 59). Рис.
59. 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду. Мы рассмотрим здесь только один вопрос этого типа, а именно укажем канонический вид, к которому удачным выбором координат можно локально привести любое гладкое отображение, имеющее постоянный ранг. Напомним, что рангом гладкого отображения у: У -+ К" области У С К™ в точке х Е с' называется ранг касательного к нему в этой точке линейного отображения,т.е. ранг матрицы ~'(х). Ранг отображения у в точке х обозначают обычно символом ганя ~(х). вв. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 583 Теорема 2 (теорема о ранге). Пусть 7': У вЂ” ! К" — отображение, определенное в окрестности с! С К™ точки хо Е К™. Если !' Е Е С0'!(с7;К"), р ) 1, и в любой точке х Е с7 отображение ~ имеет один и тот же ране й, то существуют окрестности 0(хо), 0(уо) точек хо~ уо = !'(хо) и такие их диффеоморфиэмы и = !р(х), о = !р(у) класса С0'!, что в окрестности 0(ио) = 1о(0(хо)) точки ио = !р(хо) отображение о = !р о (' о ю !(и) имеет следующее координатное представление: (и!,...,и",...,и"') = и !-+ о = (о',...,о") = (и',...,и",О,...,О).
(7) Иными словами, теорема утверждает (рис. 60), что вместо координат (х!,...,хт) можно выбрать координаты (и!,...,и ), а вместо координат (у',..., у") — координаты (о',..., о") так, что локально наше отображение в этих новых координатах будет иметь вид (7), т. е. канонический вид линейного отображения ранга к. м Запишем координатное представление у! = У'(~~ " х™) /с уь( ! т) ь-~-1 уй-ь1( ! т) (8) у" = 7""(х,..., х ) и = !о (х,...,х"') = ~ (х,...,х™), ил = !рл(х!,..., х'") = ~Ь(х!,..., х™), ь-~-1 ь-~-1( 1 т! ь.ь! (9) и = !р™(х,...,х™) = х™.
нашего отображения 7": с7 -+ К",, определенного в окрестности точки хо Е К . Чтобы не менять нумерацию координат и окрестность (7, будем считать, что в любой точке х Е с7 главный минор порядка к, стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения 7', отличен от нуля. Рассмотрим отображение, определяемое в окрестности с7 точки хв равенствами ГЛ. 11П1.
ДИ<ЬФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 584 Его матрица Якоби имеет вид аУ' дУ': дУ' аУ' дх~ дх" ! дх"+ дх™ д1~ д1", :д~" д1~ дх дх~: дх~+~ дх~ 1 0 0 1 у1 = 1" 1 о ~р 1(и1,..., ип') = и1, о1о (и,...,и ) =и, (10) у"+1оу 1(и1,...,и ) =д~+'(и~,...,и ), и хп о — 1( 1 ш) и( 1 т) Поскольку отображение 1р ': 0(ио) — 1 0(хо) в любой точке и Н 0(ио) имеет максимальный ранг т, а отображение 1: 0(хо) — ~ $О~ в любой точке х е 0(хо) имеет ранг й, то, как известно из линейной алгебры, матрица д'(и) = у'(у 1(и)) х х (у 1) (и) имеет ранг Й в любой точке и Е 0(ио). Рис.
60. и в силу сделанного предположения ее определитель отличен от нуля в У. По теореме об обратной функции, отображение и = ~р(х) является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности 0(хо) С У точки хо на окрестность 0(ио) = 1о (0(хо)) точки ио = О1(хо) Сравнивая соотношения (8) и (9), видим, что композиция д = 1 о о ~р 1: 0(иО) -+ %'„' ИМЕЕТ СЛЕдуЮщЕЕ КООрдИНатНОЕ ПрЕдСтаВЛЕНИЕ: 16. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ <ЬУНКЦИИ 585 Прямой подсчет матрицы Якоби отображения (10) дает 1 0 0 1 дд~~' дд" +': ддь"' дд~~' ди' диь.
:дия+' ди"' дд" ад". :дд" дд" ди1 ди" ' ди"+1 ди"' 1 1 у =и, у =и, ь+1 ь+1( 1 ь) у" = д"(и,...,и ). Теперь уже можно указать отображение у1. Положим е' = у' =: у5'(у) * ь ь,~ь() ь~-1 я+1 ь+1( 1 ь) . „~/с-';1( ) (12) е" = у" — д" (у', ", у") =: Ф" (у). Иэ построения функций дд (д = й + 1,...,п) видно, что отображение ф определено в некоторой окрестности точки уе и принадлежит классу С(") в этой окрестности, Значит, в любой точке и Е 0(ие) получаем —,.
(и) = 0 при г = к + д~ д„1 + 1,..., т; у = к + 1,..., и. Считая окрестность 0(пв) выпуклой (чего можно добиться, уменьшив 0(ие), например, до шара с центром ие), отсюда можно заключить, что функции дд при 1' = к+ 1,..., п на самом деле не зависят от переменных и~+1,..., и После этого решающего наблюдения отображение (10) можно переписать в виде ГЛ. УН1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
