1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 102
Текст из файла (страница 102)
х'10) ф О, мы определили прямую, касательную к траектории в точке х10), как линейное подмножество в Кз, задаваемое в параметрическом виде уравнением х — хе = х'(0)1 (6) или уравнением (7) х — хо =( где хе = х(0), а ( = х'(0) — направляющий вектор прямой. Пример 8. Если гладкое отображение у: С вЂ” > К" области С С С Р", задаваемое в координатном виде соотношениями (1), имеет в точке Фе е С ранг Й, то найдется такая окрестность 17(ге) С С этой точки, образ 1(С(16)) С К" которой является гладкой поверхностью в К".
Действительно, как уже отмечалось выше, в этом случае соотношения (1) могут быть в некоторой окрестности о'(16) точки 16 Е С заменены эквивалентной им системой соотношений 604 ГЛ. Н111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В сущности, аналогичную вещь мы делали, определяя плоскость, касательную к графику функции г = 1(х, у) в Из. Действительно, дополнив соотношение г = 1(х, у) тривиальными равенствами х = х, у = у, мы получаем отображение ж~ Э (х, у) ~-+ (х, у, 1(х, у)) Е ж~, касательным к которому в точке (хо, уо) является линейное отображение х — хо 1 0 у — уо = 0 1 , (8) г — го 1,'(хо, уо) Х„(хо уо) где яо = У(хо, уо).
Полагая здесь 1 = (х — хо, у — уо), х = (х — хо, У вЂ” уо, х — яо) и обозначая через х'(0) указанную в (8) матрицу Якоби рассматриваемого отображения, замечаем, что ее ранг равен двум и что в этих обозначениях соотношение (8) имеет вид (6). Особенность соотношения (8) состоит в том, что из трех равенств: х — хо = х — хо, (9) у уо = у уо г — го = 1'(хо, уо)(х †: о) + К (хо, уо)(у — уо), совокупности которых оно равносильно, только последнее нетривиально.
Поэтому именно оно осталось у нас как уравнение, задающее плоскость, касательную к графику функции я = 1" (х, у) в точке (хо, уо, хо). Сделанное наблюдение можно использовать, чтобы теперь дать определение Й-мерной плоскости, касательной к Й-мерной гладкой поверхности л С К". Из определения 1 поверхности видно, что в окрестности любой своей точки хо Е о' Й-мерная поверхность о' может быть задана параметрически, т.е. с помощью отображения 1" Э (11,...,1~) > (х1,...,х") Е Е л'.
В качестве такового может выступать ограничение отображения ~р ': 1" -+ 11(хо) на к-мерную плоскость |ь+' =... = 1" = 0 (см. рис. 62). Поскольку ~р ' — диффеоморфизм, то якобиан отображения ~р 1" -+ 11(хо) в любой точке куба 1" отличен от нуля. Но тогда ранг отображения 1" Э (1',...,1~) ~-~ (х1,..., х") Е л', полученного ограничением у ' на указанную плоскость, должен быть равен Й в любой точке куба 1".
Полагая теперь (1~,...,1~) = 161 и обозначая отображение 1~31 > ~ х Е о' через х = х(1), получаем локальное параметрическое пред- 17. ПОВЕРХНОСТЬ В й" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА б05 ставление поверхности з, обладающее свойством, выраженным равенством (5), на основании которого уравнение (6) принимаем в качестве уравнения касательного пространства или касательной плоскости к поверхности о С К" в точке хо Е о.
Итак, мы принимаем следующее Определение 2. Если )с-мерная поверхность з С )к", 1 < )с < и, в окрестности точки хо Е о' задана параметрически с помощью гладкого отображения (г1,..., г") = 1 ь х = (х',..., х") такого, что хо = х(0) и матрица х'(О) имеет ранг к, то )с-мерная плоскость в й", задаваемая параметрически матричным равенством (6), называется касательной плоскостью или касательным пространством к поверхности о' в точке хо Е о. В координатной записи равенству (6) соответствует система уравнений (10) д" дхь х" - х," = д* (0)1' + ... + — д' л (0)1". де~ де~ Пространство, касательное к поверхности о' в точке х Е о', будем, как и прежде, обозначать символом То . 0 Важным и полезным упражнением, которое читатель может проделать самостоятельно, является доказательство инвариантности определения касательного пространства и проверка того, что линейное отображение 1 ~-+ х'(0)1, касательное к отображению 1 > х(1), задающему локально поверхность з, осуществляет отображение пространства )йь = ТР~ на плоскость ТБ,~0) (см.
задачу 3 в конце параграфа). Выясним теперь, как выглядит уравнение касательной плоскости к к-мерной поверхности о, заданной в И" системой (2). Будем для определенности считать, что в окрестности рассматриваемой точки хо Е о выполнено условие (3). Полагая (х',...,хь) = и, (х" ь',...,х") = о, (г',...,г'™) = г', запишем систему (2) в виде г'(и,и) = О, и ~Это — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения Т,$ или Т,(о').
ГЛ, Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ боб а условие (3) — в виде йеС~Р(и,и) Ф О. (12) В окрестности точки (ио, ио) = (хо1,...,х~о,хо+ ,..., хо) по теореме я+1 о неявной функции перейдем от соотношения (11) к эквивалентному ему соотношению о = ~(и), (13) дополняя которое тождеством и = и, получаем параметрическое пред- ставление поверхности Я в окрестности точки хо Н Я: с и=и, о = Ди). (14) с и — ио=Е 1 е — ио = У (ио) (15) касательной плоскости; здесь Š— единичная матрица, а 1 = и — ио. Подобно тому, как это было в случае системы (9), в системе (15) оставляем только нетривиальное уравнение и — ио = у (иоНи — ио), (16) которое и содержит в себе связи переменных х1,..., х" с переменными х~+1,..., х"', выделяющие касательное пространство.
Пользуясь тем, что по теореме о неявной функции Х'(ио) = — [Г„'(ио, ио)1 ' [г"„'(ио оо)1 перепишем (16) в виде Р.'(ио,иоЦи — ио) + К(ио,оойи — оо) = О, откуда после возвращения к переменным (х',..., х") = х получаем искомое уравнение г' (хоНх — хо) = О (17) касательного пространства ТЯ, С К". На основании определения 2, из (14) получаем параметрическое уравнение 17. ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 607 В координатном представлении уравнение (17) равносильно системе уравнений др~ дс' —,(хв)(х — хв) + + — „(хо)(х" хо) = 0 дх' дх" (18) (хоИх' — хв) + + „ (хв)(х" — хв) = О.
Ранг этой системы по условию равен п — й, поэтому она задает й-мерную плоскость в И". Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка хо) векторному уравнению г" (хв) с = О, (19) л'тверждение. Пространство Т$хь, касательное к гладкой поверхности о' С ЬС" в точке хв Е о', состоит из векторов, касательных в точке хо к гладким кривьиа, лежащим на поверхности о и проходящим через точку хв М Пусть поверхность о' в окрестности точки ха Е з' задана в виде системы уравнений (2), которую мы коротко запишем как г'(х) = О, (20) где г' = (Рп,..., Р" ~), х = (х~,..., х"). Пусть Г: 1 — + о — произволь- ный гладкий путь с носителем на з.
Взяв 1 = (1 Е К ~ ф ( Ц, будем считать, что х(0) = хв. Поскольку х(1) е о при 1 Е 1, то после подста- новки х(~) в уравнение (20) получаем Р(х(с)) = 0 (21) в котором С = х — хв. Значит, вектор С лежит в плоскости Т8 „касательной в точке хв Е Е о' к поверхности о' С К", заданной уравнением г'(х) = О, в том и только в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом, ТБ, можно рассматривать как векторное пространство векторов С, удовлетворяющих уравнению (19).
Именно с этим обстоятельством и связан сам термин касательное пространство. Докажем теперь следующее, уже встречавшееся нам в его частном случае (см. 8 4, п. 6) ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 606 при 1 е 1. Дифференцируя это тождество по 1, находим, что Р'.(х(1)) х'(1) = О. В частности, при 1 = О, полагая ~ = х'(0), получаем Р,'(х~)~ = О, т.е. вектор (, касательный к траектории в точке хо (в момент 1 = 0), удовлетворяет уравнению (19) касательного пространства ТБ,. Покажем теперь, что для любого вектора с, удовлетворяющего уравнению (19), найдется гладкий путь Г: 1 -+ 5, который задает кривую на поверхности Я, проходит при ~ = 0 через точку хо и имеет вектор с своим вектором скорости в момент 1 = О.
Этим заодно будет установлено само существование гладких кривых, проходящих на Я через точку хо, которое мы неявно предполагали в уже проведенной первой части доказательства утверждения. Пусть для определенности выполнено условие (3). Тогда, зная первые Й координат (~,...,(~ вектора С = ((~,..., ~~,(~+',...,("), мы из уравнения (19) (равносильного системе (18)) однозначно определим остальные его координаты ~я+',...,~". Таким образом, если для некоторого вектора ( = ((~,...,(",С~' "",...,(") будет установлено, что он удовлетворяет уравнению (19), то можно заключить, что с = с. Воспользуемся этим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
