1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Вновь, как это было сделано выше, введем для удобства обозначения и = (х',...,х"), и = (х~~~,...,х"), х = (х',...,х") = (и, и), г (х) = = г (и, и). Тогда уравнение (20) будет иметь вид (11), а условие (3)— вид (12). В подпространстве К" с К" переменных х',..., х" возьмем параметрически заданную прямую .1 1 ~1~ о— .ь ь ~я~ с направляющим вектором (с ~,..., с~), который мы обозначим через ~„. В более коротких обозначениях эта прямая может быть записана в виде (22) и = из+6~. 17. пОВеРхнОсть В е" и теОРия услОВнОГО экстРемумА 609 Решая уравнение (11) относительно и, в силу теоремы о неявной функции получим гладкую функцию (13), подставляя в аргумент которой правую часть равенства (22), с учетом самого равенства (22), получим гладкую кривую в К", заданную в следующем виде: 1 с У(0) С И.
(23) и = У(ио + (о1) Поскольку Р(и,11и)) = О, то, очевидно, эта кривая лежит на поверхности о. Кроме того, из равенств (23) видно, что при 1 = 0 кривая проходит через точку (ио, ио) = (хо~,..., ход, хо~,..., хо) = хо Е о ь<-1 Дифференцируя по Ф тождество Р(и(1),и(1)) = Р(ио+с 1,~(ио+(а1)) = 0 при 1 = 0 получаем Р„'(ио,ио)с, + Р„'(ио,ио)6 = О, где ~„= и'(0) = (4~+~,..., 4"). Это равенство показывает, что вектор ( = (4о, (~) = (4~,, С~, 4~+~,...,(") удовлетворяет уравнению (10). Таким образом, в силу сделанного выше замечания заключаем, что ( = (. Но вектор ( является вектором скорости при 1 = 0 для траектории (23).
Тем самым высказанное утверждение доказано полностью. ь 3. Условный экстремум а. Постановка вопроса. Одним из наиболее ярких и популярных достижений дифференциального исчисления являются предлагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось, к внутренним экстремумам.
Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции к" Э х ~-+ 11х) Е Й в окрестности точки хо Е К" тогда, когда аргумент х может принимать любое значение из некоторой окрестности в К" точки хо. Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих область изменения аргумента.
Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 610 ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить доступную нам математическую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь и. Обозначив через х и у длины сторон прямоугольника, запишем, что <г(х,у) = х у, х+у =р. Итак, надо найти экстремум функции о(х, у) при условии, что переменные х, у связаны соотношением х + у = р. Таким образом, экстремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости жз, которые удовлетворяют указанному соотношению.
Эта конкретная задача, конечно, решается без труда: достаточно, записав, что у = р — х, подставить это выражение в формулу для а(х,у) и найти обычными методами максимум функции х(р — х). Она нам была нужна лишь для пояснения самой постановки вопроса. В общем случае задача на условный экстремум обычно состоит в том, чтобы найти экстремум вещественнозначной функции (24) от и переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют си- стеме уравнений С .г1(х1,...,х") = О, рт( .1 и) (25) Поскольку мы собираемся получать дифференциальные условия экстремума, мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции дифференцируемы и даже непрерывно дифференцируемы.
Если ранг системы функций г 1,..., Р™ равен и — я, то условия (25) задают в К" некоторую Й-мерную гладкую поверхность Я и с геометрической точки зрения задача на условный экстремум состоит в отыскании экстремума функции у на поверхности Я. Более точно, рассматривается ограничение Дя функции 1 на поверхность Я и ищется экстремум функции Дя. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В И" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА б11 Смысл самого понятия точки локального экстремума при этом, конечно, остается прежним, т.е.
точка хв Е о' считается точкой локального экстремума функции 1 на о' или, короче, функции Дя, если найдется такая окрестность Пя(хо) точки хо в множестве1) о' С ))т", что для любой точки х Н Уя(хо) выполнено неравенство у 1х) > 11хв) (тогда хв — точка локального минимума) или Дх) < ~(хв) (тогда хо — точка локального максимума). Если при х Н Пя(хо) ) хо указанные неравенства являются строгими, то экстремум, как и прежде, будем называть строгим. Ь. Необходимый признак условного экстремума Теорема 1.
Пусть )': Р— ь % — функция, определенная на открытом множестве Р С й" и принадлежаи1ая классу С~ЦР; К). Пусть о — гладкая поверхность в Р. Для того чтобы точка хв Н о, некритическая для функции 1', была точкой локального экстремума функции ))г, необходимо вьтолнение условия (26) Т~хь С ТЖтю где ТБх, — пространство, касательное к поверхности о в точке хв, а ТЖ вЂ” пространство, касательное к поверхности Х = (х й Р 1 (х) = 1'1хо)) уровня функции )', которому принадлежит хо.
Заметим прежде всего, что требование, чтобы точка хв была некритической для функции у, в контексте обсуждаемой задачи отыскания условного экстремума не является существенным ограничением. Действительно, если уж точка хо е Р является критической точкой функции ): Р -+ ))ч или точкой экстремума этой функции, то ясно, что она будет подозрительной точкой или соответственно точкой экстремума и для функции у) я. Таким образом, новый элемент в рассматриваемой задаче состоит именно в том, что функция Дя может иметь критические точки и экстремумы, отличные от критических точек и экстремумов функции у. < Возьмем произвольный вектор ~ Е ТБх, и такой гладкий путь х = = х(1) на о', который проходит через точку хв при 1 = О и для которого ПНапомним, что ~Ъ(хо) = б О О'(хо), где О(хь) — окрестность точки хо в Р.".
ГЛ. Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 612 вектор С является вектором скорости при 1 = О, т.е. — (0) = с. ~Ь п1 (27) Если хе — точка экстремума функции Дл, то гладкая функция 7" (х(1)) должна при 1 = 0 иметь экстремум. По необходимому условию экстремума ее производная при $ = 0 должна обращаться в нуль, т.е.
должно выполняться условие (28) где Поскольку хе — некритическая точка функции 1, условие (28) равносильно тому, что с Е ТМ „ибо именно соотношение (28) является уравнением касательного пространства ТМ,. Таким образом, доказано, что ТБ, с Т77~,. > Если поверхность 8 в окрестности точки хе задана системой уравнений (25), то пространство ТБ „как нам известно, задается системой линейных уравнений ~~, (хе)С1+ . + ~~„(хе)(" = О, (29) , (хо)1 + + „(хо)1 О. Пространство ТМ~, задается уравнением †(хо)4 + + †(хо)4" = О, дХ , дУ дх "' д' (30) и, поскольку всякое решение системы (29) является решением уравнения (30), последнее уравнение является следствием системы (29).
Из этих соображений вытекает, что соотношение ТБ,, С ТМ~, в аналитической записи равносильно тому, что вектор ига<1 1 (хр) является линейной комбинацией векторов 8га$ г" (хе) (г = 1,..., т), т. е. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 6гэ Учитывая эту форму записи необходимого признака экстремума функции (24), переменные которой связаны соотношениями (25), Лагранж предложил при отыскании условного экстремума использовать следуютцую вспомогательную функцию: ь<*,л) =у( ) — ~л;к*О з=! (32) д5 ду дР' —.(л,Л) = —.(я) — ~Л; —.(*) =О дх1 ' дхй, ' дя1 г=1 дЬ дЛ; — (т, Л) = -Е'(я) = 0 (33) (! = 1,...,т). Таким образом, при отыскании экстремума функции (24), переменные которой подчинены связям !25), можно написать с неопределенными множителями функцию Лагранжа (32) и искать уже ее критические точки.
Если есть возможность из системы (33) найти ло = (я~!,..., ло ), не находя Л = (Л!,..., Л ), то с точки зрения исходной задачи именно это и следует делать. Как видно из соотношения !31), множители Л; (! = 1,..., т) определяются однозначно, если только векторы Ега!)Г'!хо) (! = 1,...,т) линейно независимы.
Независимость этих векторов равносильна тому, что ранг системы (29) равен т, т.е. что все уравнения этой системы существенны (ни одно из них не является следствием остальных). Это обычно выполнено, ибо считается, что все соотношения (25) независимы и ранг системы функций г'~,..., Р™ в любой точке л Е д равен т. Функцию Лагранжа часто записывают в виде Цх,Л) =~(я)+~~ Л,Р*(х), в=! от я+ т переменных (т,Л) = (х!,...,я",Л!, .,Л ). Эту функцию называют функцией Лагранжа, а метод ее использования — методом множителей Лагранжа. Функция (32) удобна тем, что необходимые условия ее экстремума как функции переменных (т,Л) = (х!,...,я",Л!,...,Л ) в точности совпадают с условиями !31) и (25). Действительно, ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
