1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 107
Текст из файла (страница 107)
8. Вычислите ехр А, когда А — одна из матриц ОО, ОО, 001, 020 9. Сколько членов ряда для е* надо взять, чтобы получить многочлен, позволяющий вычислять е* на отрезке ( — 1, 2] с точностью до 10 з? 10. Зная степенные разложения функций я1п т и соа х, найдите методом неопределенных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все) степенного разложения функции 18 х в окрестности точки з = О. 11. Длину стягивающего земной шар по экватору пояска увеличили на 1 метр, после чего поясок натянули, подперев вертикальным столбиком. Какова примерно высота столбика, если радиус Земли 6400 км.? 12.
Вычислите 1пп е 1+— 13. Нарисуйте эскизы графиков следующих функций: хз а) 1ОЯ<м, Я>ПЯ; Ъ) аГСС8 (1 — х)(1 т х)з Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Покажите, что если вектор ускорения а(>) в любой момент 1 ортогонален вектору е(г) скорости движения, то величина (и(<) ~ остается постоянной. 2. Пусть (х,1) и (й, 1) — соответственно координата и время движущейся точки в двух системах отсчета. Считая известными формулы й = с<х + )><, < = тт + Й перехода из одной системы отсчета в другую, найдите формулу <>х дв преобразования скоростей, т.е.
связь между е = — и б = =. щ я?' 2 3. Функция 1(х) = хз я>п — при т ф 0 и >'(0) = 0 дифференцируема на И, х но 1' разрывна при т = 0 (проверьте). <Докажем>, однако, что если 1: И -> И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 632 дифференцируема на И, то 1' непрерывна в любой точке а 6 И. По теореме Лагранжа 1(х) — 1(а) х — а где ~ — точка между а и х. Тогда если х -+ а, то ~ — «а. По определению, 1(х) — 1(а) »-~а х — а и поскольку этот предел существует, то существует и равен ему предел правой части формулы Лагранжа, т.е. 1'(~) -+ 1'(а) при ~ -+ а.
Непрерывность 1' в точке а «доказана». Где ошибка? 4. ПУсть фУнкциЯ 1 имеет п + 1 пРоизводнУю в точке хе, и пУсть ( = = хе + д,(х — хе) — средняя точка в формуле Лагранжа остаточного члена —, (ОО(С)(х — хе)", так что О < 0 < 1. Покажите, что 9, -+ — при х -+ хс, если (1"»О(хо) Ф О 5. а) Если функция 2' 6 СОО([а, Ь],И) в п + 1 точке отрезка [а, Ь] имеет нули, то на этом отрезке имеется по крайней мере один нуль функции 11п)— производной 1 порядка п.
еп( .2 Пп Ь) Покажите, что полипом Рп(х) = на отрезке [ — 1,Ц имеет Ехп п корней. (Указание: х2 — 1 = (х — 1)(х + 1) и Р( 1( — 1) = Р„1 ~(1) = О при Ь = О,...,п — 1.) 6. Вспомните геометрический смысл производной и покажите, что если функция 1 определена и дифференцируема на интервале 1 и [а, Ь] С 1, то функция 1' (даже не будучи непрерывной!) принимает на отрезке [а, Ь] все значения между ('(а) и ('(Ь). 7. Докажите неравенство а,'...а„" < О«а« + ... + анап, где числа аы..., ап, аы..., ап неотрицательны и а1 +... + ап = 1.
8. Покажите, что хзп 1пп (1+ — ) =е*(сову+«в1пу) (2 =х+«у), поэтому естественно считать, что е'" = сову+ «в1п у (формула Эйлера) и е' = е*е«Я = е*(сову+ «21пу). 9. Найдите форму поверхности жидкости, равномерно вращающейся в стакане.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 633 х у 10. Покажите, что касательная к эллипсу — + — = 1 в точке (хо, уо) имеет 2 62 уравнение — + — = 1 и что световые лучи от источника, помещенного в **о ууо а2 62 одном из фокусов Р1 = (-~/а~ — 62, О), Р2 — — (~/а~ — Ь2, О) эллипса с полуосями а > Ь > О, собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе. 11. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки эллиптического профиля.
Уравнение профиля: хг + бу2 = 1, у > О. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления. 12. Средним порядка а чисел х1, хг, ..., х„называют величину а 1/а Х1+Хга+...+Ха Еа(Х1,Х2,...,Х„) = ") В частности, при а = 1,2, — 1 получаем соответственно среднее арифмеп1ическое, среднее квадратичное и среднее гармоническое этих чисел. Будем считать, что все числа х1, хз, ..., х„неотрицательны, а если степень а < О, то будем предполагать, что они даже положительны. а) Используя неравенство Гельдера, покажите, что если а < Д, то Еа(Х1 Х2 ° °,Ха) Ч Ед(Х1 Х2 ° ° Ха) причем равенство имеет место, лишь когда х1 — — х2 —— ...
— — х„. Ь) Покажите, что при стремлении а к нулю величина еа(х1,х2,...,х„) а ФЙ7...*.. «аь р- ° ~ - ° д С учетом результата задачи а) отсюда, например, следует классическое неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим неотрицательных чисел (напишите его). с) если а — 1 +со, то е (х1, х2,...,х„) — 1 шах(х1,х2,..., х„), а при а -+ -+ — со величина е (х1, х2,..., х„) стремится к меньшему из рассматриваемых чисел, т.е.
к ш1п(х1, хз,..., х„). Докажите это. 13. Пусть и = г(1) — закон движения точки (т. е. ее радиус-вектор как функция времени). Считаем, что это непрерывно дифференцируемая функция на промежутке а ( 1 ( Ь. а) Можно ли, ссылаясь на теорему Лагранжа о среднем, утверждать, что на [а, 6) найдется момент (, такой что 2 (6) — г(а) = г'(() . (Ь вЂ” а)? Поясните ответ примерами. Ь) Пусть Сопчех(г') — выпуклая оболочка множества (концов) векторов г'(1), 8 б [а, 6].
Покажите, что найдется вектор о 6 Сопчех(г'), такой что г(Ь) — 2'(а) = и (Ь вЂ” а). с) Соотношение [г(Ь) — г(а)[ < епр[г'(1)[ [Ь вЂ” а[, где верхняя грань берется по 1 е [а, Ь), имеет очевидный физический смысл. Какой? Докажите это неравенство как общий математический факт, развивающий классическую теорему Лагранжа о конечном приращении. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 634 Интеграл и введение в многомерный анализ 1. Зная неравенства Гельдера, Минковского и Иенсена для сумм, получите соответствующие неравенства для интегралов. 1 2. Вычислите интеграл ]' е * Нх с относительной погрешностью в предео лах 10% — са 3. Функция его(х) = — ] е в а(, называемая интеерааом вероятности ~л ошибок, имеет пределом 1 при х -+ +сю.
Изобразите график этой функции и найдите ее производную. Покажите, что при х -+ +со Как продолжить эту асимптотическую формулу до ряда? Сходится ли этот ряд хотя бы при каком-то значении х е К? 4. Зависит ли длина пути от закона движения (от параметризации)? 5. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с ползет жук. Каждый раз, как только он проползает 1 см, вы удлиняете резинку на 1 км. Доползет ли жук до вашей руки? Если да,то приблизительно сколько ему на это потребуется времени? (Задача Л.
Б. Окуня, предложенная им А. Д. Сахарову.) 6. Подсчитайте работу по перемещению массы в гравитационном поле Земли и покажите, что эта работа зависит только от уровней высот исходного и конечного положений. Найдите для Земли работу выхода из ее гравитационного поля и соответствующую (вторую) космическую скорость. ?. На примере маятника и двойного маятника поясните, как на множестве соответствующих конфигураций можно ввести локальные координаты и окрестности и как при этом возникает естественная топология, превращающая его в конфигурационное пространство механической системы.
Можно ли метризовать это пространство в рассмотренных случаях? 8. Является ли компактом единичная сфера в И", в И~, в С[а, Ь]? 9. Подмножество данного множества называется его е-сетью, если любая точка множества находится на расстоянии меньшем чем в от какой-либо точки этого подмножества. Обозначим через Х(в) наименьшее возможное число точек в в-сети данного множества. Оцените в-энтропию 1оаа Х(в) отрезка, квадрата, куба и ограниченной области в пространстве Иа. Дает ли величина !Оба А (е) при в -ь О представление о размерности рассматриваемого множе1ав2 ( 1/в ) ства? Проверьте, что эта энтропийная размерность стандартного канторова подмножества отрезка [О, 1] равна!ояв 2. 10.
На поверхности единичной сферы о в Ив температура Т как функция точки меняется непрерывно. Обязаны ли на сфере быть точки минимума и НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 635 максимума температуры? При наличии точек с двумя фиксированными значениями температуры должны ли быть точки и с промежуточными ее значениями? Что иэ этого верно в случае, когда единичная сфера Я берется в пространстве С(а, Ь], а температура в точке у Е о' выражается формулой ь -1 Т()) = ~ Щ(х) дх ? а 11. а) Взяв 1,5 в качестве исходного приближения для и'2, проведите две итерации по методу Ньютона и посмотрите, сколько верных знаков получилось на каждом из двух шагов. Ь) Найдите итерационным процессом функцию ), удовлетворяющую уравнению Дифференциальное исчисление функций многих переменных 1.
Локальная линеаризация. Рассмотрите и продемонстрируйте ее на следующих примерах: мгновенная скорость и перемещение; упрощение уравнения движения при малых колебаниях маятника; вычисление линейных поправок к значениям величин А ', ехр(Е), бес(Е), (а, Ь) при малом изменении аргументов (здесь А — обратимая, Š— единичная матрицы; а, Ь вЂ” векторы; (, )— скалярное произведение). 2. а) Какова относительная погрешность 5 = — при вычислении значе- ]АЛ ]В ния функции у'(х, у, х) в точке (х, у, з), координаты которой даны с абсолютными погрешностями Ьх, Ьу, Ьх соответственно? Ъ) Какова относительная ошибка в вычислении объема комнаты, размеры которой таковы: длина х = 5 х 0,05м, ширина у = 4 х 0,04м, высота х = = Зх003м? с) Верно ли, что относительная погрешность значения линейной функции совпадает с относительной погрешностью значения ее аргумента? о) Верно ли, что дифференциал линейной функции совпадает с ней самой? е) Верно ли, что для линейной функции 1 справедливо соотношение 1' = У? 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
