1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 105
Текст из файла (страница 105)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в нашем случае, вообще говоря, ничего не дает: форма (41) может не быть определенной на ТМ„, но оказаться определенной на ТБ„. Если же из соотношений (29) выразить 2п координат вектора С через остальные й координат и полученные линейные формы подставить в (41), то мы придем к квадратичной форме относительно Й переменных, определенность которой уже можно исследовать с помощью критерия Сильвестра.
Поясним сказанное простейшими примерами. Пример 10. Пусть в пространстве Кз с координатами х, у, 2 задана функция у( ) 2 2+ 2 Ищется экстремум этой функции на плоскости Я, заданной уравнением г(х,у,я) = 2х — у — 3 = О. Записав функцию Лагранжа г(х,у,я) = (х2 — у2+ я2) Л(2х — у — 3) и необходимые условия экстремума дТ дх дТ ду дТ дг дТ дЛ= 2х — 2Л=О, — 2у+Л=О, 22 = О, — (2х — у — 3) = О, находим подозрительную точку р = (2, 1, 0). Далее находим форму (41): (46) 2~' - ~2 = О.
(47) Отметим, что в данном случае параметр Л не вошел в эту квадратичную форму, поэтому мы его и не вычисляли. Записываем теперь условие С Н Т$р. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В К" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 621 Из этого равенства находим (2 = 2(1 и подставляем в форму (46), после чего она приобретает вид где на сей раз С1 и Сз — независимые переменные. Последняя форма, очевидно, может принимать значения разных знаков, поэтому в точке р Е о функция Дя экстремума не имеет. Пример 11. В условиях примера 10 заменим Кз на К2 и функцию 1' на у(х ) 2 2 сохранив условие 2х — у — 3 = О, которое теперь задает прямую о' в плоскости К2.
В качестве подозрительной найдем точку р = (2, 1). Вместо формы (46) получим форму (48) с прежним соотношением (47) между С1 и С2. Таким образом, на ТБр форма (48) теперь имеет вид т. е. является отрицательно определенной. Отсюда заключаем, что точ- ка р = (2, 1) является точкой локального максимума функции Дя. Весьма поучительны во многих аспектах следующие простые примеры, на которых можно отчетливо рассмотреть механизм работы как необходимых, так и достаточных условий экстремума, в том числе роль параметра и неформальную роль самой функции Лагранжа.
Пример 12. На плоскости К2 с декартовыми координатами (х, у) дана функция у(х ) 2+ 2 Найдем экстремумы этой функции на эллипсе, заданном каноническим соотношением .2 2 г(х,у) = — + — — 1 = 0, 2 Ь2 где 0 < а < Ь. ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 622 Из геометрических соображений очевидно, что ш1пДя = а2, шах Дя = 62. Получим это, опираясь на рекомендации теорем 1 и 2. Записав функцию Лагранжа и решая уравнение (1Ь = О, т.е. систему ~ = — ~ = — = О, находим ее д2 д1 д1 дх ду дЛ решения: (х,у,Л) = (~а,О,а ), (О,хЬ,Ь~). Теперь в соответствии с теоремой 2 выпишем и исследуем квадратичную форму -(12ьС2 — второй член тейлоровского разложения функ- 2 ции Лагранжа в окрестности соответствующих точек: В точках (~а, О) эллипса Я касательный вектор С = (С(,С2) имеет вид (О, с2), а квадратичная форма при Л = а2 принимает вид Учитывая условие 0 < а < 6, заключаем, что эта форма положительно определена и, значит, в точках (~а,О) е Я имеется строгий локальный (а здесь, очевидно, и глобальный) минимум функции Дя, т.е.
тшЯя = а2. Аналогично находим форму — — М) отвечающую точкам (О, ~6) Н Я, и получаем шах Дя = Ь2. Замечание. Обратите здесь внимание на роль функции Лагранжа в сравнении с ролью функции 1. В соответствующих точках на указанных касательных векторах дифференциал функции у (как и дифференциал Х) обращается в нуль, а квадратичная форма -(12Я2 = 1 12 22 2 = (С() + (С2) положительно определена, в какой бы иэ этих точек ее ни вычислять. Тем не менее функция ~~я в точках (ха,О) имеет строгий минимум, а в точках (О, ~6) — строгий максимум. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В В" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 623 Чтобы понять, в чем тут дело, просмотрите еще раз доказательство теоремы 2 и попробуйте провести его, заменив А на ~.
Несмотря на то, что функции 2 и 1 на поверхности о' совпадают, и на то, что Г'(хе)( = О, как и 1'(хе)( = О, при ( Е Т,о, доказательство наткнется на существенное препятствие. Оно состоит в том, что в отличие от ЫЦхе) дифференциал ф(хе) функции ~ в точке хе не есть тождественный нуль, хотя на касательном пространстве Т,Б он действительно нулевой. Это приводит к появлению довесков, препятствующих получению равенств (42), (42'), в которых 1, замена на ~. Пример 13.
Найдем экстремумы функции ~(х,У,2) = х +У + 2 на эллипсоиде о', заданном соотношением 2 2 2 г (х, у, 2) = — + — + — — 1 = О, аг где О < а < Ь < с. Записав функцию Лагранжа 2 „г ~( „А) (2+„г+ г) А~ + + в соответствии с необходимым признаком экстремума находим решения уравнения дЬ = О, т. е. системы — = — = — = — = О: дб дТ Т дТ, дх дл дл дЛ (х,у,г,Л) = (ха,О,О,а ), (О,хЬ,О,Ь ), (О,О,~с,с ).
Квадратичная форма -',~ ~'=( -5)о' ( —;",)(е(' ( — 3)(ь'(' в каждом из этих случаев на соответствующей касательной плоскости имеет вид (а) ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 624 Поскольку 0 < а < Ь < с, то на основании теоремы 2, дающей достаточный признак наличия или отсутствия условного экстремума, можно заключить, что в случаях (а) и (с) мы нашли соответственно пинал = = а2 и шахту = с2, а в точках (О, ~Ь, О) е Я, отвечающих случаю (Ь), функция Дл экстремума не имеет.
Это вполне согласуется с очевидными геометрическими соображениями, высказанными по этому поводу при обсуждении необходимого признака условного экстремума. Некоторые дальнейшие, порой весьма полезные стороны встретившихся в этом параграфе понятий анализа и геометрии, в том числе физическая интерпретация самой задачи об условном экстремуме, а также его необходимого признака (31) как разложения сил в точке равновесия и интерпретация множителей Лагранжа как величин реакций идеальных связей, представлены в приведенных ниже задачах и упражнениях. Задачи и упражнения 1.
Путь и поверхность. а) Пусть 1': 1 -+ К~ — отображение класса СОО(1; К~) интервала 1 С К. Рассматривая это отображение как путь в К~, покажите на примере, что его носитель 1(1) может не быть подмногообразнем в К~, а вот график этого отображения в Кв = К' х К' всегда является одномерным подмногообразием Кв, проекцией которого в К~ является носитель 1(1) указанного пути. Ь) Решите задачу а) в случае, когда 1 — промежуток в К", а 1 6 С< >(1; Кн). Покажите, что в этом случае график отображения 1: 1 -ь Кн является гладкой й-мерной поверхностью в К" х К", проекция которой на подпространство К" совпадает с 1(1).
с) Проверьте, что если 11. 1ь -+ Я и 6: 1а -+ Я вЂ” две гладкие параметрнзацнн одной и той же й-мерной поверхности Я С Кн, причем ни 11 в 1ь ни )а в 1а не имеют критических точек, то определенные при этих условиях отображения .~1 о ~2. '12 -+ 11, ~а о Л 11 -+ 12 являются гладкими. 2. Сфера в К". а) На сфере Яа = (х 6 Кв ! 'ухЙ = 1) укажите какую-нибудь максимальную область действия криволинейных координат (р, ф), полученных нз полярных координат в К~ (см.
формулу (5) предыдущего параграфа) при р = 1. Ь) Ответьте на вопрос а) в случае (п1 — 1)-мерной сферы Я~ =(х6Кт )()х)(=1) в К н координат (~рм..., ~о 1) на ней, получаемых нз полярных координат в К" (см. формулы (6) предыдущего параграфа) прн р = 1. 27. ПОВЕРХНОСТЬ В К" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 625 с) Можно ли сферу Бь С Кьы задатьодной системой координат (е',..., е"), т.е.
одним диффеоморфизмом у: С вЂ” > К"+1 области С С К"? 4) Какое наименьшее количество карт должно быть в атласе поверхности Земли? е) Расстояние между точками сферы Я~ С Кз будем измерять длиной кратчайшей кривой, лежащей на сфере Яэ и соединяющей эти точки. Такой кривой является дуга соответствующего большого круга. Может ли существовать такая локальная плоская карта сферы, что все расстояния между точками сферы были бы пропорциональны (с одним и тем же коэффици- Рис. 65.
ентом пропорциональности) расстояниям между их изображениями на карте? 1) Углом между кривыми (лежащими или не лежащими на сфере) в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой точке. Покажите, что существуют локальные плоские карты сферы, в которых углы между кривыми на сфере и соответствующими кривыми на карте одинаковы (см. рис. 65, изображающий так называемую стереоера4ическую проекцию) . 3.
Касательное пространство. а) Проверьте прямым расчетом, что касательное к гладкой?е-мерной поверхности Я с К" в точке хо 6 Я многообразие ТБ„не зависит от выбора системы координат в К". Ь) Покажите, что если прн диффеоморфизме у: Р -ь Р' области Р С К" на область Р' С К" гладкая поверхность Я С Р отображается на гладкую поверхность Я' С Р', а точка хо 6 Я переходит в хо 6 Я', то при линейном отображении у'(хо); К" -+ К", касательном к у в точке хо 6 Р, векторное пространство ТЯ„изоморфно преобразуется в векторное пространство ТЯ', .
*о с) Если в условиях предыдущей задачи отображение у: Р— > Р' является любым отображением класса СВО(Р;Р'), при котором ((Я) С Я', то 1'(ТБ, ) С ТБ',. а) Покажите, что ортогональная проекция гладкой й-мерной поверхности Я С К" на касательную к ней в точке хо 6 Я к-мерную плоскость ТБ является отображением, взаимно однозначным в некоторой окрестности точки касания хо.
е) Пусть в условиях предыдущей задачи ье 6 ТБ. о Ы~— Уравнение х — хо = (~ прямой в К", лежащей в ТБьш можно использовать, чтобы каждую точку х 6 ТБ ~ хо характеризовать парой (1, с). Это по существу полярные координаты в ТБ„. ГЛ. УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 62б Покажите, что прямым х — хо = С1 на поверхности Я в окрестности точки хо отвечают гладкие кривые, пересекающиеся только в точке хо. Проверьте, что, сохраняя в качестве параметра на этих кривых величину 1, мы получаем пути, скорость вдоль которых при 1 = 0 совпадает с вектором ~ Е ТЯ„, определяющим прямую х — хо = ~1, из которой получена данная кривы на Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
