1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 108
Текст из файла (страница 108)
а) Одна из частных производных функции двух переменных, заданной в круге, равна нулю во всех точках круга. Значит ли это, что функция не зависит от соответствующей переменной в этом круге? Ь) Изменится ли ответ, если вместо круга взять произвольную выпуклую область? ббб НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ с) А если взять вообще произвольную область? 11) Пусть х = х(1) — закон движения точки в плоскости (или в И") в промежутке времени 1 б (а, 6]; е(1) — ее скорость как функция времени, а С = = Сопуех(е(1) ] 1 б (а, Ь]) — наименьшее выпуклое множество, содержащее все векторы е(1) (называемое обычно оь1пуклой оболочкой того множества, на которое оболочка натягивается). Покажите, что в С найдется такой вектор е, что х(6) — х(а) = е ° (Ь вЂ” а). дх ду дх 4.
а) Пусть Р(х, у, 2) = О. Верно ли, что — — — = — 1? Проверьте это де дх дх ху РУ на зависимости — — 1 = О (соответствующей уравнению Клапейрона — = В х Т состояния идеального газа). Ь) Пусть теперь Р(х, у) = О. Верно ли, что — — = 1? ду дх дх ду с) Что можно утверждать в общем случае зависимости Р(х1,..., х„) = О? 11) Как, зная первые несколько членов тейлоровского разложения функции Г(х, у) в окрестности точки (хо уо), где Р(хо, уо) = О, а Р„'(хо, уо) обратима, найти первые несколько членов тейлоровского разложения неявной функции у = 1(х), определяемой в окрестности (хо, уо) уравнением Р(х, у) = О? х2 у2 22 5.
а) Проверьте, что плоскость, касательная к эллипсоиду — + — + — = 1 о2 О2 с2 ххо ууо 'хо в точке (хо, уо, хо), может быть задана уравнением — + — + — = 1. с 62 с2 /а 0 ст Ъ) Точка РЯ = ( †, †, †) 1 в момент времени 1 = 1 стартовала с х2 у2 х2 эллипсоида — + — + — = 1. Пусть р(1) — точка того же эллипсоида, ближайо2 62 с2 шая к Р(1) в момент времени К Найдите предельное положение точки р(1) при С -Ф +00. 6. Если в векторном пространстве К имеется невырожденная билинейная форма В(х, у), то каждой линейной функции д' е К* на этом пространстве отвечает единственный вектор д, такой что д* (е) = В(д, е) для любого вектора е б К. а) Проверьте, что если К = И", В(х,у) = Ьйх1х', д"е = д1е*, то вектор д имеет координаты д' = 611д„где (611) — матрица, обратная матрице (6„.).
Чаще всего в качестве билинейной формы В(ч ) выступает стандартное симметричное скалярное произведение (, ) в евклидовой геометрии или косо- скалярное произведение щ(, ) (когда форма В кососимметрична) в симплектической геометрии. 1 2 Ь) Пусть В(е1, е2) = — ориентированная площадь пароллелограм- 1 1 Е2 Е2 ма, натянутого на векторы е1,е2 б м'.
Найдите вектор д = (д1,д ), отвечающий относительно В линейной функции д* = (д1,д2), заданной своими коэффициентами. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 637 с) Вектор, соответствующий дифференциалу функции /: И" -+ И в точке х относительно скалярного произведения (, ) евклидова пространства И", как известно, называется градиентом функции 7' в этой точке и обозначается ягаг) 7(х). Итак, 1(7(х)е =: (ягаг11(х), в) для любого приложенного к х вектора е е Т,Ь" И". Значит, ,7'(х)е =, (х)е +...
+ (х)е" = (дгаг1Дх),е) = ~цга11)(х)~ )е(совр. д(, д) ° Убедитесь, что в стандартном ортонормированном базисе, т.е. в декартовых координатах, «гаг1 2 (х) = ~ —,..., — ) (х). /дг дг' 1 '1дхг' ' дх") ° Убедитесь, что скорость роста функции г при движении из точки х с единичной скоростью максимальна, когда направление движения совпадает с направлением градиента функции в этой точке, и равна (угаду(х)(.
При движении в направлении, перпендикулярном вектору ~гаг17(х), функция не меняется. ° Как изменятся координаты вектора ягэг1,7 (х), если в И~ вместо ортонормированного базиса (ег, е2) взять ортогональный базис (е1, е2) = (21е1, Лэеэ)? Гдг' 1 дг"1 ° Как вычислять ягаг17' в полярных координатах? Ответ: ( —, — — ). 1, дг ' г ди ) 11) Выше в упражнении Ь) была рассмотрена кососимметрическая форма В(ег, е2) ориентированной площади параллелограмма в И~. Если нектор, отвечающий г(7" (х) относительно симметричной формы (, ) называют градиентом Кга117'(х), то вектор, отвечающий г(1(х) относительно кососимметричной формы В называют косым градиентом и обозначают враг1)(х) (от английского гя)геи1 — косой). Запишите ~га11Дх) и в~га11)(х) в декартовых координатах И2. 7.
а) Покажите, что в Иэ (и вообще в И2" "1) нет невырожденной кососимметрической билинейной формы. Ь) В ориентированном ж', как мы видели, есть невырожденная кососимметрическая билинейная форма (ориентированная площадь параллелограмма). В И2" с координатами (х1,...,х",...,х2") = (рг,...,р",д',...,д") такая билинейная форма ы тоже есть; если е1 = (р,',, р,", д,',..., д,") (1 = 1, 2), то 1 1 рв дь ь~(е1 е2) 1 1 + + , д Т.е. ы(ег,е2) — это сумма ориентированных площадей проекций натянутого на иг, е2 параллелограмма в координатные плоскости (р', дд) (у = 1,..., и). ° пусть д' — линейная функция в ж2", заданная своими коэффициентами д* = (рг,..., р„, дг,..., д„). найдите координаты вектора д, сопоставляемого функции д' посредством формы ы.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 638 ° Дифференциалу функции Х: м~" -+ К в точке х б ж~" посредством кососимметрической формы ы сопоставляется вектор, называемый, как уже было сказано, косым градиентом функции Х в этой точке и обозначаемый вягабХ(х). Найдите выражение вягабХ(х) в канонических декартовых координатах пространства И~". ° Найдите скалярное произведение (Кгаг(Х(х),вягаг)Х(х)).
° Покажите, что вектор вагаб Х(х) направлен вдоль поверхности уровня функции Х. ° Закон движения х = х(г) точки в пространстве И~" таков, что х(г) = = вягас1 Х(х(с)). Покажите, что Х(х(с)) = сопвг. ° Запишите уравнение х = элгар Х(х) в канонических обозначениях (р',... ...,р",д',...,д") для координат и Н = Н(р,д) для функции Х. Полученная система, называемая системой уравнений Гамильтона, является одним иэ центральных объектов механики.
8. Канонические переменные и система уравнений Гамильтона. а) В вариационном исчислении и фундаментальных вариационных принципах классической механики важную роль играет следующая сисгаема уравнений Эйлера — Лавранжа: где Х (г,х, и) — заданная функция переменных С, х, е, среди которых й обычно является временем, х — координатой, а и — скоростью. Это система двух уравнений на три переменные. Из нее обычно желают найти зависимости х = х(г) и и = е(й), что по существу сводится к отысканию закона движения х = х(г), ибо о = х(в).
л Запишите подробно первое уравнение системы, раскрыв производную —, лг' с учетом того, что х = х(г) и и = и(г). Ь) Покажите, что если от переменных г, х, и, Х перейти к так называемым каноническим переменным г, х, р, Н, сделав преобразование Лежандра < дХ, р= ди Н = ре — Х, по переменным и, Х, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера-Ла- гранжа приобретет симметричный вид дН Р дх 639 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ с) В механике чаще всего вместо х и е = х используют обозначения ц и д. В многомерном случае, когда 1 (1, д, 9) = Ь(г, д',..., д'", 9',..., 9 ), система уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид дЬ Н дЬ'| —.
— — —,) (г,д,ц) =0 (1 = 1,...,т) . О9' а а9*) Сделав преобразование Лежандра по переменным д, 1,, перейдите от переменных 8, д, д, Е к каноническим переменным 1, д, р, Н и покажите, что при этом система уравнений Эйлера — Лагранжа перейдет в следующую систему уравнений Гамильтона дН , дН р, = — —,, 4' = — (1 = 1,..., тп) . д9' ' дР, ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 1 семестр Введение в анализ (число, функция, предел) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1.
Действительные числа. Ограниченные (сверху, снизу) числовые множества. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани множества. Неограниченность множества натуральных чисел, принцип Архимеда и всюду плотность множества рациональных чисел. 2. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел К (вложенные отрезки, конечное покрытие, предельная точка). 3. Предел последовательности и критерий Коши его существования. Критерий существования предела монотонной последовательности. 4. Ряд и его сумма.
Геометрическая прогрессия. Критерий Коши и необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Абсолютная сходимость. 5. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Теорема сравнения. Ряд Дя) = 2 и '. п=1 6. Предел функции. Основные базы предельного перехода. Определение предела функции при произвольной базе и его расшифровка в конкретных случаях. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение финального поведения функций, асимптотические формулы и основные операции с символами о(), 0(). Т. Взаимосвязь предельного перехода с арифметическими операциями и Мпх отношением порядка в К.
Предел — при х -+ О. х 1,х 8. Предел композиции функций и монотонной функции. Предел (1+ — ) при х -+ оо. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 9. Критерий Коши существования предела функции. 10. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, рациональной функции и тригонометрических функций. 11. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значения, максимумы, равномерная непрерывность). 12. Разрывы монотонной функции. Теорема об обратной функции.
Непрерывность обратных тригонометрических функций. 13. Закон движения, перемещение за малое время, вектор мгновенной скорости, траектория и касательная к ней. Определение дифференцируемости функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений. Единственность дифференциала. Производная вещественнозначной функции вещественного переменного и ее геометрический смыся. Дифференцируемость функций сйпх, созх, е, 1п ~х(, х". 14.
Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцирование многочлена, рациональной функции,тангенса и котангенса. 15. Дифференциал композиции функций и обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. 16. Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции (лемма Ферма). 17. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (о среднем). 18. Формула Тейлора с остаточными членами в формах Коши и Лагранжа. 19. Ряд Тейлора. Тейлоровские разложения функций е*, соз х, сйп х, 1п(1+ х), (1+ х) (бином Ньютона). 20. Локальная формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано). 21. Взаимосвязь характера монотонности дифференцируемой функции и положительности ее производной. Достаточные условия наличия или отсутствия локального экстремума в терминах первой, второй и высших производных.
22. Правило Лопитэля. 23. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению к касательной. 24. Общее неравенство Иенсена для выпуклой функции. Выпуклость (вогнутость) логарифма. Классические неравенства Коши, Юнга, Гельдера и Минковского. 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
