1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Если уравнение (3) допускает явное решение х = х(х*), то, подставляя его в (4), получим явное выражение 1*(х*). Упражнения. 1. Найдите преобразование,Л ежандра функции — х а при а > 1 и получите классическое неравенство Юнга ДОПОЛНЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 661 Инволютивность преобразования Лежандра выпуклой функции Как уже было отмечено, соотношение (2) или эквивалентное ему неравенство 17) выполнено при любых значениях аргументов х, х' из областей определения функций / и /* соответственно.
Вместе с тем, как показывают формулы 13), 14), если х и х* связаны соотношением (3), то последнее неравенство 17) обращается в равенство, по крайней мере в случае гладкой строго выпуклой функции /. Вспоминая определение (1) преобразования Лежандра, заключаем, что в этом случае (8) Итак, преобразование Лежандра гладкой строго выпуклой функции инеолютивно, т. е. повторное его применение приводит к исходной функции.
Упражнения. 1. Верно ли, что /** = / для любой гладкой функции /? 2. Верно ли, что /*** = /* для любой гладкой функции /? 3. Дифференцируя соотношение (4), с учетом (3) и при условии, что / (х) ~ О, покажите, что х = /*(х*) и, следовательно, )(х) = хх*— — 1*(х*) (инволютивность).
4. Проверьте, что в соответствующих точках х, х*, связанных равенством (3), / (х) = 1/11*) 1х*) и /1611х) = — 1/*)161(х*)/Я*) )~(х*). 5. Семейство прямых рх + р4, зависящих от параметра р, является семейством касательных к некоторой кривой (огибаюп4ей этого семейства). Найдите уравнение этой кривой.
Заключительные замечания и комментарий В рамках разговора о выпуклых функциях мы дали начальные представления о преобразовании Лежандра на уровне функций одной переменной. Однако уже они облегчат восприятие этого преобразования и дополнкник з. пркокрлзовлник лкжлндрл ббв работу с ним в ряде важных более общих случаях применения преобразования Лежандра в теоретической механике, термодинамике, уравнениях математической физики, вариационном исчислении, выпуклом анализе, контактной геометрии,... с которыми многим еще предстоит иметь дело. Там будут проанализированы различные детали и возможные развития самого понятия преобразования Лежандра. Здесь же добавим только следующее. Как показывает равенство (3), аргументом преобразования Лежандра является производная или, равносильно тому, дифференциал исходной функции.
Если бы аргумент х был, например, вектором линейного пространства Х со скалярным произведением (, ), то обобщением определения (1), естественно, было бы соотношение (9) 1*(х*):= зпр((х',х) — Дх)). Если под х* вообще понимать линейную функцию на пространстве Х, т.е. считать, что т' — элемент двойственного Х пространства Х* и действие х* на вектор х, т.е. х*(х), по-прежнему обозначать через (т*,т), то определение (9) сохранится и будет совсем ясно, что если функция у была определена на области пространства Х, то ее преобразование Лежандра (' оказывается определенным в области пространства Х', двойственного пространству Х. ДОПОЛНЕНИЕ 4 ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА, ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ИДЕЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (начальные представления) Интеграл Римана — Стилтьеса Конкретная задача и наводящие соображения.
Мы рассмотрели целый ряд примеров эффективного использования интеграла при вычислении площадей, объемов тел вращения, длин путей, работы сил, энергии... Обнаружили потенциальность гравитационного поля и подсчитали вторую космическую скорость для Земли. Располагая аппаратом интегрального исчисления, убедились, например, в том, что длина пути не зависит от его параметризации. Заодно отметили, что некоторые вычисления (например, длины эллипса) связаны с незлементарными функциями (в данном случае с эллиптическими). Все перечисленные выше величины (длины, площади, объемы, работа, ... ), как и сам интеграл Римана, аддитивны. Мы знаем, что любая аддитивная функция 1[а, )3] ориентированного промежутка [а, Д С с [о,б] имеет вид 1[а,~3] = Г()3) — Г(а), если положить Г(х) = 1[о,х]+С.
В частности, можно взять произвольную функцию Г и по ней построить аддитивную функцию 1[а, )3] = Р()3) — Р(а), считая 1[а, х] = Р(х). Если функция Р разрывна на отрезке [а, б], то там разрывна и функция 1[о, х]. Но тогда она не может быть представлена в виде интеграла х Римана [ р(1) ск ни от какой интегрируемой по Риману функции (плота ности р), т. к. такой интеграл, как мы знаем, непрерывен по х.
664 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА Пусть, например, отрезок [ — 1, 1] — нить, в середине которой закреплена бусинка массы 1. Если 1[е»,)3] — масса, попавшая в промежуток [с«,)3] С [ — 1,1], то функция 1[ — 1,х] равна нулю, пока — 1 < х < О, и равна единице, когда О < х < 1. Если попытаться описать такое распределение массы на отрезке в терминах плотности распределения [т. е.
предела отношения массы, попавшей в окрестность точки,к величине окрестности, когда последняя стягивается к точке), то мы должны были бы считать, что р(х) = О при х ф О и р(х) = +ос при х = О. Физики, а теперь и все, вслед за Дираком называют эту «функцию» [такую плотность распределения) дельта-функцией, обозначают ее через б и пишут, д д что [ б(х) 0х = 1, если е» < О <,3 и [ б[х) «1х = О, если с«< ~3 < О или а а если О < с«< )3, каковы бы ни были числа с«и ~3. Разумеется, интеграл, понимаемый традиционно, например по Риману, здесь не имеет смысла (уже по одному тому, что под интегралом стоит неограниченная «функция»).
Вольное употребление символа интеграла здесь — всего-навсего замена аддитивной функции 1[о, Щ рассмотренной выше, когда мы говорили о бусинке на нитке. Пример (центр масс). Вспомним фундаментальное уравнение тат = Р движения точки массы т под действием силы Г, где т— радиус-вектор точки. Если имеется система из и материальных точек, то для каждой из них имеется свое равенство т,т'; = г;. Суммируя эти равенства, получаем соотношение 1 тп«т« = 1 Г;, которое мож«=1 «=1 но переписать в виде М ',[ †«т, = 1 Р, или в форме Мт«« = Р, где «=1 »=1 п ь М = 1 т„Е = 1 г) и тм = ,'> — «т;. То есть если совокупную мас»=1 »=1 «=1 су системы поместить в точку пространства, радиус-вектор которой а 'ч тм = 1 — «т,, то под воздействием силы Г = 1 Г, она будет двигать«=1 «=1 ся согласно закону Ньютона, какими бы сложными ни были взаимные движения отдельных частей системы. Точка пространства, радиус-вектор которой 1 — «т; мы нашли, на»=1 зывается иентаром масс сиппемь«материальных точек.
Пусть теперь перед нами стоит задача найти центр масс материального тела, т. е. области Р пространства, в которой как-то распределена ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА 665 масса. Пусть в элементе объема Ио сосредоточена масса йт, и пусть М вЂ” общая масса тела Р. Тогда, надо полагать, М = ] дт, а центр В 1 масс надо бы находить по формуле — [ гйп, где г — радиус-вектор мп элемента массы евши. По объемам мы пока интегрировать не умеем, поэтому рассмотрим одномерный случай, который тоже вполне содержателен. Итак, вместо области П рассмотрим отрезок [а, 6] координатной оси К.
Ь Тогда М = [ дт, а центр масс надо бы находить по формуле а Ь вЂ” ] ха)т, где х — координата элемента массы е~т, который поэтому а можно написать и поточнее как Йпь(х). Смысл написанного, по-видимому, должен быть следующим. Берем разбиение Р отрезка [а,6] с какими-то отмеченными точками (1 е Е [х; 1,х,].
Отрезку [х, 1,х,] отвечает масса Ьт,. Составляем суммы Ьт;, ~;(,Ьть и, переходя к пределу, когда параметр Х(Р) разбиения стремится к нулю, находим соответственно то, что обозначено как ь ь [ дт и / х дт. а а Мы приходим к следующему обобщению интеграла Римана. Определение интеграла Римана — Стилтьеса. Пусть 1 и д— функции, вещественно-, комплексно- или векторнозначные на отрезке [а,Ъ] С К. Пусть (Р,() = (а = хр < С1 < х1 « ...
х„1 < С„< х„= = Ъ) — разбиение этого отрезка с отмеченными точками и параметром Л(Р). Составим сУммУ ~ ~[с,,)ььдб гДе Ьд, = д(х,) — д(хь 1). 1=1 Интегралом Римана — Стилтьеса функции у по функции д на отрезке [а, 6] называется величина ь Г 1[х) Йд(х):= 1пп ~~> 1((,)ььд„ Л1Р) — ~0 а 1=1 если указанный предел существует. В частности, когда д(х) = х, мы возвращаемся к стандартному интегралу Римана. ббб ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА Случай сведения интеграла Римана — Стилтьеса к интегралу Римана. Отметим также, что если функция д гладкая, а у — функция, интегрируемая по Риману на отрезке [а, Ь], то ь ь у'(х) дд(х) = ) (х)д'(х) дх, (2) т.
е. в этом случае вычисление интеграла Римана — Стилтьеса сводится к вычислению интеграла Римана от функции 1'д' на рассматриваемом отрезке. В самом деле, пользуясь гладкостью функции д и теоремой о среднем, перепишем сумму, стояшую в равенстве (1) справа, в следующем виде: ~ У(6)~1д1 =~ У(6)(д(') — д(х*- )) =~ У(6)д'(6Нхь — '- ) = а=1 1=1 1=1 в п = ~, У(6)д'(6)~ь 1+,У, УЖ)(д'(6) — д'(6))2 В силу равномерной непрерывности функции д' на отрезке [а, Ь] и ограниченности функции у, последняя сумма стремится к нулю при А(Р) -+ -+ О. Предпоследняя сумма есть обычная интегральная сумма для интеграла, стоящего в (2) справа. В силу сделанных предположений о функциях у и д, функция уд' интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
