1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Поэтому указанная сумма при А(Р) -+ О стремится к значению этого интеграла, что и завершает доказательство равенства (2). Задача. Мы провели доказательство, используя теорему о среднем, справедливую для вещественнозначных функций. Используя теорему о конечном приращении, проведите доказательство для векторнозначных (например, комплекснозначных) функций. Смункция Хевисайда и пример вычисления интеграла Римана — Стилтьеса. Функ14ия Хееисаада Н: И -+ К определяется соотношениями Н(х) = О при х < О и Н(х) = 1 при О < х. ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА 667 Ь Подсчитаем интеграл [ у(х) йН(х).
По определению (1) составим а сумму ~ Я,)ЬН, = ~ 1(С,)(Н(х1) — Н(х, 1)). В силу определения 1=1 1=1 функции Хевисайда зта сумма, очевидно, равна нулю, если отрезок [а, Ь) не содержит точки О, и равна 1(с,), если точка 0 попала на некоторый отрезок [х; 1,х;] (точнее, внутрь него или в его конец х,). В первом случае интеграл, конечно, равен нулю. Во втором случае при А(Р) -+ 0 точка С1 Е [х, .1, х,) стремится к О, позтому если функция 1 непрерывна в О, то пределом рассматриваемых сумм будет величина 1(0). Если же функция 1' разрывна в О, то малым изменением значения С1 можно заметно менять значение 1 ®) и, значит, интегральные суммы не будут иметь предела при А(Р) + О. Ясно, что последнее наблюдение имеет общий характер: совпадение точек разрыва функций 1 и д, участвующих в интеграле Римана— Стилтьеса (1), неизбежно ведет к отсутствию предела, если такал точка оказалась внутри отрезка интегрирования.
Итак, проведенный подсчет показывает, что если, например, ~р— функция класса Со(ж', И), т.е. заданная на всей прямой непрерывная вещественнозначная функция, тождественно равная нулю вне некоторого ограниченного множества, то ~р(х) с1Н(х) = ~р(0). Обобщенные функции Дельта-функция Дирака — эвристическое описание.
Как уже бь1ло отмечено выше, физики, и не только они, вслед за Дираком используют дельта-функцию Б. Эта «функция» равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечна. Но вместе с тем (и это главное) 668 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА р Г б(х) Ых = О, если с«< р < 0 или если 0 < с«< )3, а каковы бы ни были числа с«и )3.
Естественно считать, что умножение подынтегральной функции на число приводит к умножению интеграла на это же число. Но тогда если некоторая функция р непрерывна в начале координат, то, учитывая, что она почти постоянна в малой окрестности У(0) начала координат, а интеграл ) д(х) «(х = 1, заключаем, что должно быть ца) (4) ~р(х)5(х) дх = ~р(0). Сравнивая соотношения (2), (3) и (4) и продолжая эту смелую цепочку заключений, приходим к выводу, что Н'(х) = Цх).
(5) Разумеется, ни в какую классику это не укладывается. Но изложенные соображения вполне конструктивны, и если бы непременно надо было написать значение Н'(х), то мы написали бы именно то, что и сейчас: О, если х ф О, и +со, если х = О. Соответствие функция — функционал. Один из способов выхода из сложившихся затруднений состоит в следующей идее расширения (обобщения) самого понятия «функция». Будем смотреть на функцию через ее взаимодействие с другими функциями.
(Ведь нас обычно не интересует внутреннее устройство аппарата, например человека, и мы считаем, что знаем объект, если знаем, как объект отвечает на входные воздействия, на те или иные входящие вопросы.) Возьмем интегрируемую на отрезке (а, 5) функцию у и рассмотрим порождаемый ею функционал А «(функцию на функциях) ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА 669 А7((е) = ~(х)~р(х) дх. (7) Зная значения функционала Ау на пробных функциях, мы, если надо, легко найдем значение ('(х) функции у в любой точке, где эта функция непрерывна.
Х-~-Е Задача. а) Проверьте, что величина — ] у (1) ~й (интегральное 2Е Х вЂ” Е среднее) при е — 1 +О стремится к ('(х) в любой точке х непрерывности интегрируемой функции 1. Ь) Покажите, что ступенчатую функцию 8„равную нулю вне от- 1 резка [ — с, е] и равную — на самом этом отрезке (функция б, имитирует д-функцию Дирака), можно аппроксимировать гладкой функцией Б, с теми же свойствами: б,(х) > О на К, Б,(х) = О при [х[ > е и Е ] б,(х) Ых = 1, т. е. [ бе(х) Ых = 1. и — Е Х-~-Е с) Покажите теперь, что если е — + О, то ] 7(1)д,(х — 4) е(е -+ у'(х) в любой точке х непрерывности интегрируемой функции ) .
Функционал как обобщенны функция. Итак, интегрируемая функция порождает линейный функционал Ау (линейную функцию на векторном пространстве функций Се [а, 6] или на Се ((к)), определен( ) ( ) ный формулами (б) или (7), причем по функционалу Ау сама интегрируемая функция восстанавливается во всех точках непрерывности (т.е. почти всюду). Таким образом, функционал Ау можно рассматривать как иную кодировку или интерпретацию функции 1, рассматриваемой в зеркале функционалов.
По в этом зеркале можно увидеть и иные линейные функционалы, которые не порождаются указанным способом никакой интегрируемой функцией. Примером может служить уже встретившийся нам функци- Чтобы миновать технические затруднения, будем считать пробееьее Яункции у гладкими и даже из класса Се [а,б] бесконечно диффе- ( Х) ренцируемых функций, обращающихся в нуль в окрестности концов отрезка.
Можно даже продолжить обе функции у, у нулем вне отрезка [а, б] и вместо интеграла по отрезку писать интеграл 670 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА опал ] ~о(х) <ХН(х) = у(0), который мы обозначим как Аь (учитывая желание написать о(х) ах вместо аН(х)). Функционалы первого типа называют регулярными, а второго —— сингулярными. На функционалы и будем смотреть как на обобщенные функции. Множество рассмотренных функционалов содержит наши обычные функции в виде подмножества, состоящего из регулярных функционалов.
Итак, в связи с рассмотрением интеграла Римана и его обобщения в виде интеграла Стилтьеса мы дали представление об идее построения обобщенных функций. Не станем погружаться в детали теории обобщенных функций, связанные, например, с рассмотрением различных пространств пробных функций и построением линейных функционалов (обобщенных функций) на них. Лучше продемонстрируем правило дифференцирования обобщенных функций. А здесь, в качестве заключительного замечания, указывающего на полезную роль интеграла Стилтьеса, добавим, что на пространстве С[а, 6] функций ьо, непрерывных на отрезке [а, Ь], любой (как регулярный, так и сингулярный) линейный непрерывный функционал представляется в виде интеграла Стилтьеса ь ] р(х) Ыд(х) с некоторой, должным образом подобранной, функцией д.
а (Подобно Тому, как сингулярный функционал Аь, представляющий обобщенную функцию б, имеет вид ] ~р(х) ЫН(х), указанный в формуле (3).) Мы начали с примера, где при отыскании центра масс нам встреь ь тился интеграл Стилтьеса [ хдт(х). Интеграл М„= [ х" дт(х) назыа а вается моментом порядка и соответственно меры (например, вероятностной) или массы, или заряда, распределенных на отрезке [а, 6].
Особенно часто встречаются моменты Мо, Мы Мг: Мо — совокупная масса (мера, заряд); Мь/Мо — дает центр масс в механике, а М1 — математическое ожидание случайной величины в теории вероятностей; Мг— момент инерции в механике и дисперсия случайной величины с математическим ожиданием М1 = 0 в теории вероятностей. Одна из задач теории моментов — восстановление распределения по его моментам. ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА б?1 А~(р):= А? ( р) = 1" (х)р(х) дх = ~(х) р(х) ~~~ ~— ~(х) р'(х) дх = — У(х)р'(х) дх =: -А?(р'). Итак, мы нашли, что в рассмотренном случае А? (р) = — А?(р') (8) Это дает основание принять следующее определение А'(~р):= — А(р').
(9) Здесь указано, как функционал А' действует на любую функцию р Е Се, и тем самым функционал А' полностью определен. Действие линейного функционала А на функцию 1е вместо А(1р) часто записывают в удобном во многих отношениях виде (А, р), напоминающем скалярное произведение и указывающем явно, что спаривание линейно по каждой из пары его переменных. В этих обозначениях, если теперь 1 — любая обобщенная функция, то в соответствии с определением (9) (10) Производные функции Хевисайда и дельта-функции. Подсчитаем, например, производную функции Хевисайда, рассматриваемой как обобщенную функцию, действующую по стандартному закону регулярной обобщенной функции (Н, ~р) = Н(х)~р(х) дх.
Дифференцирование обобщенных функций. Пусть А — обобщенная функция. Какую обобщенную функцию А' следовало бы считать производной от А? Рассмотрим вопрос сначала для регулярной обобщенной функции, т. е. для функционала Ау, порожденного некоторой классической функцией 1, например гладкой финитной функцией класса Се . Тогда про- (1) изводной А~ от А? естественно считать функционал Ар, порожденный функцией у' — производной исходной функции. Используя интегрирование по частям, находим, что ДОПОЛНЕНИЕ 4.
ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА 672 В соответствии с определением (9) или (10) (Н', у):= — (Н, у'):= — Н(х)р'(х) дх = — р'(х) дх = Ж о = — р(х)!+~ = у(0). Мы показали, что (Н', ~р) = у(0). Но ведь по определению обобщенной функции 6 имеем (6, р) = ~р(0). Значит, мы показали, что в смысле обобщенных функций имеет место равенство Н' = 6. Подсчитаем, например, еще 6' и 6", т. е. укажем действие этих функци- оналов: (6', р):= — (6, р'):= — р'(О); (6", у):= — (6', ~р'):= рл(0). Ясно теперь, что вообще (6("), р) = ( — 1)"р(")(О). Мы видим, что обобщенные функции бесконечно дифференцируемы.
Это их замечательное свойство имеет много разнообразных проявлений, разрешая операции, которые с обычными функциями возможны только при очень специальных ограничениях. В заключение сделаем еще следующее замечание общего характера. Пусть Х вЂ” векторное пространство, Х* — двойственное к Х векторное пространство, состоящее из линейных функций на Х, и пусть Х**— пространство, двойственное к пространству Х*. Значение х*(х) функции х* Н Х* на векторе х Н Х будем записывать, как и выше, в виде спаривания (х*,х). Фиксируя здесь х, мы получаем линейную функцию относительно х*. Таким образом, каждый элемент х Н Х можно трактовать как элемент пространства Х**, т.е.
мы имеем вложение 1: Х вЂ” ~ Х**. В конечномерном случае все пространства Х, Х*, Х** изоморфны и 1(Х) = Х**. В общем же случае 1(Х) е Х**, т. е. 1(Х) составляет только часть всего пространства Х**. Именно это и наблюдалось при переде от функций (им отвечали регулярные функционалы) к обобщенным функциям, которых оказалось больше. ДОПОЛНЕНИЕ 5 ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФЪ'НКЦИИ (альтернативное изложение) Постановка вопроса Постановка вопроса и наводящие соображения, конечно, обсуждались в реальной лекции, но здесь мы это опустим, поскольку соответствующий материал можно прочитать в ~ 5 главы Ъ'П1. Мы продемонстрируем здесь иной подход к доказательству теоремы о неявной функции, отличный и независимый от изложенного в 5 5 главы ЧП1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
