1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 115
Текст из файла (страница 115)
абзац после формулы (3)) постоянен. Непосредственно видно, что г'(х,у) = 0 <=~ д,(у) = у. Отображение (10) является сжимающим, если х и у близки к 0 в Х и У. В самом деле, — (у) = Ь' — (Гя(0,0)) Е„(х,у). Здесь Е тождественное (единичное) отображение, а поскольку г„'(х, у) непрерывно в точке (0,0), то найдется число Ь е К такое, что при [[х[[ < Ь и [[у[[ < Ь нд. 1 дд 2 (12) Заметим, наконец, что при любом е Е]0, Ь[ найдется с Е]0, Ь[ такое, что если [[х[[ < б, то отображение д переводит отрезок (шарик) [[д[[ < с в себя.
Действительно, ведь Е(0, 0) = О, значит, в силу (10), и де(0) = О. Ввиду непрерывности г в точке (0,0) из (10) следует, что найдется число Б е]О,Ь[ такое, что [[д (О)[[ < тя при [[х[[ < с. Итак, при [[х[[ < д отображение д: В(с) -+ У отрезка (шара) В(с) = 1 = 1у Е У [ [[у[[ < е) смещает его центр не более чем на -г, при этом, в силу (12), сжимая В(е) по крайней мере вдвое.
Значит, д (В(с)) с В(с) при [[х[[ < Б. По условию У вЂ” полное пространство, поэтому и В(с) С У тоже полное метрическое пространство (относительно индуцированной метрики). Тогда, в силу принципа неподвижной точки, найдется, и притом единственная, точка у = у[х) Е В(с), неподвижная при отображении д : В(е) -+ В(е). Тем самым при любом х таком, что [[х[[ < д, мы нашли, и притом единственное в пределах В(е), значение у = у[х) (Щх)[[ < с) такое, что Р(х,1[х)) = О. ДОПОЛНЕНИЕ 5.
ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 680 (Сечение области Р = 11х,у) Е Х х У ! ()х)) < д, ))у() < е), проходящее через точку (х, 0), — это отрезок (шарик) В(е), в котором и находится соответствующая неподвижная точка у = у1х).) Итак, показано, что (Р(х,у) = 0 при Ох0 < Ю и Оу0 < е) в=» (у = 11х), где //х0 < б). (13) Заметим, что мы не только получили соотношение (9), но, в силу конструкции, по любому е Е]0, Ь[ умеем подбирать д > 0 так, чтобы выполнялось (13).
Поскольку функция 1 уже найдена и фиксирована, это означает и то, что ДО) = О, и то, что 1 непрерывна при х = О. ~ Доказанную теорему можно рассматривать как теорему существования неявной функции у = 1 1х). Посмотрим теперь, какие свойства функции Р и как наследуются функцией 1. Непрерывность неявной функции. Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функции Р, Г„' непрерывны не только в точке (хо, уо), но и в некоторой ее окрестности, то и неявная функция 1 непрерывна в некоторой окрестности хо.
< Действительно, в этом случае условия теоремы окажутся выполненными во всех близких к (хо,уо) точках множества Р(х,у) = 0 и каждую из них можно было бы рассматривать как исходную (х„,уо). Функция же 1 уже найдена и фиксирована. Внимание! Вспомните задачу: если отображение А — » А 1 (например, для матриц А) определено в А, то определено и в окрестности А. > Дифференцируемость неявной функции. Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функция Г дифференцируема в точке (хо, уо), то неявнол функция 1" дифференцируема в точке хо, причем 1'(хо) = -(Е,,'(хо, уо)) 'Р.'(хо,уо) ДОПОЛНЕНИЕ 8.
ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 681 м Учитывая дифференцируемость Г в точке (хо, уо), можно написать,что Г(х у) — Г(хо уо) = = Г,'(хо, уо)(х — хо) + Г,',(хо, уо)(у — уо) + о(!х — хо!+ Ь вЂ” уо1). Полагая для упрощения записи (хо, уо) = (0,0) и считая, что мы пере- мещаемся только вдоль кривой у = 1(х), получаем 0 = Г'(0,0)х+ Г„'(0,0)у+ о(/х/+ )у/), или у = — (Г„'(0,0)) 'Г,'(0,0)х — (Гр(0,0)) 'о(/х)+ !у!). (15) Поскольку у = 1" (х) = у'(х) — 1" (О), то формула (14) будет оправдана, если мы покажем, что при х — ~ 0 второй член в правой части (15) есть о(х). По НГ„'(0,0)Г'оИ+ Ь!)! < Щ(0,0)Г'!! 1оИ+ М)! =оИ4+ Ь!) Далее, !! — (Г„'(0,0)) ~Р'(0,0)!! < ЦРд(0,0)) ~)) ))~Г(0,0)!) = а < со, поэтому из (15) получаем, что )у! < а!х/+ о(!х! + /У)), где у = у(х) -+ 0 но=о(х)-+Оприх-+О.
Значит, (у) < (х) < 2а)х! при х, достаточно близких к О. Учитывая это, из (15) получаем, что при х -+ 0 У(х) = — (Г„'(0,0)) 'Г'(О, 0)х+ о(х). А это с учетом у (О) = 0 дает (14). ~ ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ чтУНКЦИИ 882 Непрерывная дифференцируемость неявной функции. Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функции Е' и ~„' определены и непрерывны в окрестности точки (хв,уо), то и неявная функция ~ непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Короче говоря, если Е е СО), то и 1' е СО~. М В этом случае условия дифференцируемости 1 и формула (14) оказываются выполнены не только в (хш уо), но и во всех точках «кривой«Е(х, у) = О, близких к (хо, ув).
(См. выше предостерегающее «Внимание!«.) Тогда в некоторой окрестности точки хо в соответствии с формулой (14) (14') откуда видно, что 1' — непрерывна. Внимание! Вспомните, что отображение А + А ' непрерывно. в Высшие производные неявной функции. Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функция Г пРинадлежит классУ С(т«) в некотоРой окРестпности точки (хв, Ув), то и 1" принадлежит классу С~") в окрестностпи хо.
~ Пусть, например, Е е С~2). Поскольку 1 Е СО), то правую часть равенства (14') можно продифференцировать в соответствии с правилом дифференцирования композиции функций. Получается формула для 1в(х), из которой следует непрерывность 1в(х). Более того, как в формуле (14') для у'(х) справа участвуют первые частные производные г' и сама функция 1 (но не 1'), так и в формуле для 1 (х) участвуют вторые частные производные г" и функции 1, 1 (но не 1"). Значит, если г' Е С(~), то у" (х) снова можно дифференцировать и мы снова приходим к формуле, теперь уже для 1«в(х), в которой участвуют третьи частные производные Р, а также производные функции 1 (1, 1', 1в) только меньшего порядка.
По индукции получаем то, что и утверждалось. ~ Внимание/ Вспомните, что отображение А + А ~ дифференцируемо и даже бесконечно дифференцируемо. ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 683 Задача. 1. Найдите у" (л) (т, е, выпишите формулу для вычисления ?л(я)(ЬО Ь1) при заданных векторах смещения Ьп Ьз). 2. Как выглядит (упрощается) формула для ~"(х) в случае, когда х, у и г = Г(т, у) — числовые вещественные или комплексные переменные? Задача (метод неопределенных коэффициентов). Зная первые (или все) коэффициенты ряда Тейлора функции Г, найдите первые (или все) коэффициенты ряда Тейлора неявной функции ? .
Задача. 1. Запишите в координатной форме формулировку теоремы о неявной функции для случая Г: 2 х ж" — ~ К", когда т = п = 1 и когда п > 1. 2. Пусть Г: К"' -+ К" (т > и) — линейное отображение максимального ранга (= и). Какова размерность подпространства Г '(О) с К™ и какова его коразмерность? Пусть теперь Г; К -+ й" (т > и) — произвольное гладкое отображение, Г(0) = 0 и гапЕГ'(т) = и. Ответьте на те же вопросы (йппГ 1(0) =? сойшГ '(О) =?) в отношении множества Г 1(0). ЛИТЕРАТУРА 1.
Классика 1.Первоисточники Ньютон И. а. Математические начала натуральной философии. Пер. с лат. В кнс Крылов А. Н. Собрание трудов. Т.7.— Л.— Мс Изд-во АН СССР, 1936, с. 57 — 662. Ъ. Математические работы. — М. — Лс ОНТИ, 1937. Лейбниц Г. В. Избранныеотрывкиизматематическихсочинений. Успехи машем. наук, 1948.
3(1), 165-205. 2. Важнейшие систематические изложения предмета Эйлер Л. а. Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. — Мл Физматгиз, 1961. Ь. Дифференциальное исчисление. — М.-Лс Гостехиздат, 1949. с. Интегральное исчисление. В 3-х т. — Мс Гостехиздат, 1956 †19.
Коши О. Л. а. Алгебраический анализ. — Лейпциг; Бэр и Хзрманн, 1864. Ь. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. — СПбс Имп. Акад. наук, 1831. ЛИТЕРАТУРА 685 11.УчебникиП Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу.
— Мл Высшая школа, 2000. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сеидов Б. Х. Математический анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб. — Мл Изд-во Моск. ун-та, 1985, 1987. Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч.— Мл Изд-во Моск. ун-та, 1993, 1995, Кудрявцев Л. Д.
Курс математическогоанализа. ВЗхт.— Мл Высшая школа, 1988, 1989. Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т.— Мл Наука, 1990. 111. Учебные пособия Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. — Мс Изд-во Моск. ун-та, 1988. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — Мл Наука, 1990. Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу.— Мл Наука, 1992. Решетняк Ю. Г.
Курс математического анализа. — Новосибирск: Издво Инс-та матем. Ч. 1, книги 1 и 2, 1999. Ч. П, книги 1 и 2, 2000, 2001. Рудин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е.— Мл Мир, 1976. Шилов Г. Е. а. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1 -2.— Мс Наука, 1969. Ъ. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. В 3-х ч. — Мл Наука, 1972. Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. Изд. 7-е, стереотип. — Мл Наука, 1969. 0 ~Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Механикаэ, «Прикладная математика и информатика». ЛИТЕРАТУРА 686 1Ч.
Дополнительная литература Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций действительного переменного. — Мл ГТТИ, 1938. Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Сб. статей. К 100-летию со дня рождения. — Мл Мир, 1979. Арнольд В. И. а. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов.— Мл Наука, 1989. Ъ. Математические методы классической механики. — Мл Наука, 1989. Боос В. Лекции по математике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
