1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 111
Текст из файла (страница 111)
), такое же вездесущее в анализе, как н в геометрии. Логарифм по основанию е вместо 1оя, часто обозначают через 1п, что и отражено во второй строчке таблицы. Использование логарифмов по этому основанию, называемых натуральными логарифмами, упрощает многие формулы (что, например, видно из сравнения второй и третьей строк таблицы). 654 ДОПОЛНЕНИЕ ь МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) В частности, (12) Снова к числу Мы все время молчаливо предполагали, что имеем дело с функциями., определенными на множестве вещественных чисел.
Но правые части равенств (11), (12), (13) имеют смысл и при подстановке вместо х нол«нленсносо числа г = х + гу. Тогда мы сможем сказать, что бы значило е', сов 2, в1п2. 'Упражнение. Откройте вслед за Эйлером связывающую элементарные функции формулу е"' = сову + 4айпу и вытекающее из нее замечательно красивое соотношение е' + 1 = О, связывающее основные константы математических наук (арифметики, алгебры, анализа, геометрии и даже логики). И что теперь? Как говорится, «на пальцах«, без подробностей и обоснований вам дано некоторое представление о дифференциальном исчислении — ядре первого семестра курса математического анализа.
По дороге мы встретились с понятиями числа, функции, предела, производной, ряда ..., которых пока коснулись только поверхностно. Теперь, когда вы знаете, зачем что нужно, придется на время погрузиться в подробное, тщательное рассмотрение всех этих понятий и объектов. Понимание их необходимо для профессионального математика.
Пользователю зто не обязательно. Большинство водит автомобиль, не открывая капот. Но это только потому, что кто-то хорошо разбирается в двигателях и сделал надежно работающий аппарат. 2 1 «« ах=1+ х+ х + + хп+ (11) 1! 2! н! совх=1 — — х +...+( — 1) х +... 2 ь 1 2«« 2! (2й) ! вшх= — х — — х +...+( — 1) з ь 1 2ь«4 1! 3! ' (2й + 1)! х +... (13) Мы получили представление сравнительно сложных функций в виде суммы (бесконечной суммы — ряда) простейших функций, допускающих вычисления обычными действиями арифметики. Конечные куски этих сумм — полиномы. Они дают хорошие приближения раскладываемых в такой ряд функций.
ДОПОЛНЕНИЕ 2 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ л РАВНЕНИЙ Корни уравнений и неподвижные точки отображений Заметим, что уравнение Дх) = О, очевидно, равносильно уравнению а(хЩх) = О, если а(х) ф О. Последнее уравнение, в свою очередь, равносильно соотношению х = х — а(х)Дх), в котором х можно интерпретировать как неподвижную точку отображения ~р(х):= х — а(хЩх). Таким образом, отыскание корней уравнений равносильно отысканию неподвижных точек соответствующих отображений. Сжимающие отображения и итерационный процесс Отображение у: Х + Х множества Х с 1к в себя будем называть сжимающим отображением, если существует такое число д, О < д < 1, что для любой пары точек х', х" и их образов р(х'), ~р(хп) выполняется неравенство )~о(х') — ~р(хп)! < д~х' — х"!.
Ясно, что это определение без изменений распространяется на отображения любых множеств, где определено расстояние И(х', х") между точками; в нашем случае с1(х', х") = ~х' — хп~. Ясно также, что сжимающее отображение непрерывно и может иметь не более одной неподвижной точки. Пусть р: [а, 6) — ~ (а, 6) — сжимающее отображение отрезка (а, 6) в себя. Покажем, что итерационный процесс х„>1 = 1о(х„), начинающийся в любой точке хе этого отрезка, приводит к точке х = 1пп х„, неподвижной для отображения у.
65б ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ Заметим сначала, что (х„» 1 — х„) < д)х„— х„1) « ... д" (х1 — хо), поэтому для любых натуральных т, п, таких что т ) и, вставляя промежуточные точки и используя неравенство треугольника, получаем оценку !х — х.! <!х — х 1!+" +!х! — хо! < < И +" +ч")!х1 — хо! < ~ !х1 — хо!, 1 — о из которой следует, что последовательность 1х„) --фундаментальная (последовательность Коши). Значит, по критерию Коши она сходится к некоторой точке х отрезка (а, Ь).
Эта точка — неподвижная точка отображения р: ~а, Ь] -+ [а, Ь), ибо переход к пределу при п -+ оо в соотношении х„.1.1 = р(х„) дает равенство х = о1(х). (Здесь мы воспользовались тем очевидным фактом, что сжимающее отображение непрерывно; кстати, оно даже равномерно непрерывно.) Переход к пределу при т — 1 оо в соотношении ~х — х„( < — (х1 — хо ~ о 1 — о дает оценку !х-х.! < !х1-хо! Ч 1-д величины уклонения приближения х„от неподвижной точки х отобра- жения ~р. Метод касательных (метод Ньютона) Доказывая теорему о том, что непрерывная на отрезке вещественнозначная функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, имеет на этом отрезке по крайней один нуль (точку, где 1'(х) = 0), мы предъявили и простейший (но зато универсальный) алгоритм отыскания этой точки (деление отрезка пополам).
Скорость сходимости тут порядка 2 ". В случае дифференцируемой выпуклой функции можно пользоваться значительно более эффективным в смысле скорости сходимости методом, предложенным еще Ньютоном. ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ 657 Строим касательную к графику данной функции / в некоторой точке (хо, /(хо)), где хо Н (а, 6). Находим точку хь где эта касательная пересекает ось абсцисс.
Повторяя процесс, получаем последовательность (х„) точек, которые быстро сходятся к точке х, в которой /(х) = О. (Можно проверить, что каждая следующая итерация приводит к удвоению верных значащих цифр приближения к х.) Аналитически, как легко проверить (проверьте!), метод касательных сводится к итерационному процессу Например, решение уравнения х™ — а = О, т.е. вычисление ~/а, при этом сводится к итерационному процессу 1 / а х„+1 — — — ~(т — 1)х„+ т1, х„'/ В частности, для вычисления ~/а методом касательных получаем хи-~-1 хп + Метод Ньютона, как видно из приведенных формул, ищет неподвиж- ные точки отображения (а(х) = х — —,.
Оно является специальным У(х) /'( )' случаем рассмотренного в самом первом разделе отображения (о(х) = 1 х — а(хЩх) и получается нз него при а(х) = —, /'(*) ' Заметим, что в общем случае отображение р(х) = х — а(х)/(х) и даже отображение (о(х) = х — —, участвующее в методе касательных, /(х) /'(*)' не обязано быть сжимающим. Более того, как показывают простые примеры, в случае общей функции / даже метод касательных не всегда приводит к сходящемуся итерационному процессу. Если же в выражении у(х) = х — а(хЩх) функцию а(х) удает- ся выбрать так, что на рассматриваемом отрезке )~р'(х)) < а < 1, то отображение (о: (а, 6] — > [а, 6), конечно, будет сжимающим.
1 В частности, если в качестве а взять постоянную,, то получим У (хо) / (о(х) = х —, и (о'(х) = 1 —, . Если производная функции / непре/'(хо) /'(хо) рывна по крайней мере в точке хо, то в некоторой ее окрестности будем б58 ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ иметь |у (я)~ = ~1 — —,~ < д < 1. Ксли отображение у переводит эту 1'(яо) окрестность в себя (что не всегда так), то стандартный итерационный процесс, индуцированный сжимающим отображением ~р этой окрестности, приведет к единственной в этой окрестности неподвижной точке отображения р, в которой исходная функция у обращается в нуль. ДОПОЛНЕНИЕ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА (первое обсуждение) Начальное определение преобразования Лежандра и общее неравенство Юнга Преобразованием Пелсандра функции )' переменной х называется новая функция 1' новой переменной х*, определяемая соотношением У'(х*):= йх'х — У(х)), х где верхняя грань берется по переменной х при фиксированном значе- нии х*.
Упражнения. 1. Проверьте, что функция 1* выпукла на своей области определения. 2. Нарисуйте график функции 1, прямую х'х и укажите геометрический смысл величины у'(х*). 3. Найдите у'*(х*), когда 11х) = ~х~ и когда 11х) = хз. 4. Заметьте, что из (1), очевидно, следует, что (2) х*х < 1*(х*) + 1'(х) при любых значениях аргументов х*, х из областей определения функций 1* и 1 соответственно. Соотношение (2) обычно называется общим неравенством Юнга или неравенством Юнга — Фенхеля, а функцию ~', например в выпуклом анализе, часто называют двойственной по Юнгу к функции 1. ДОПОЛНЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА ббб Конкретизация определения в случае выпуклых функций Если бы верхняя грань, фигурирующая в определении (1), достигалась в некоторой внутренней точке х области определения функции 1, а сама эта функция была бы гладкой (или по крайней мере дифференцируемой), то мы нашли бы, что х* = Г'(х) (3) и при этом 1*(х*) = х*х — )(х) = х,) (х) — 1(х).
(4) об< — а + — 5, а о (5) 1 1 где — + — = 1. а 2. Какова область определения преобразования Лежандра гладкой строго выпуклой функции у', имеющей асимптотами прямые пх и бх при х -+ †и х + +ос соответственно? 3. Найдите преобразование Лежандра функции е* и докажите не- равенство х1 < е*+11п— е (б) Тем самым в этом случае преобразование Лежандра конкретизируется в виде равенств (3), (4), из которых первое дает аргумент х*, а второе — значение 1*(х*) функции )'* — преобразования Лежандра функции ), (Заметим, что оператор ху'(х) — ) (х) встречался уже у Эйлера.) Если функция 1 к тому же еще и выпукла, то, во-первых, условие (3) выделит не просто локальный экстремум, а локальный максимум (проверьте!), который в этом случае, очевидно, будет и абсолютным максимумом; во-вторых, ввиду монотонного возрастания производной строго выпуклой функции уравнение (3) для такой функции однозначно разрешимо относительно х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
