1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Таким образом, пары (г, С), где С Е ТЯ,ю [[Ц = 1, а 8 — вещественные числа из некоторой окрестности с'(0) нуля в К, могут служить аналогом полярных координат в некоторой окрестности точки хо Е Я на поверхности Я. 4. Пусть функция Е Е СО~(К"; К), не имеющая критических точек, такова, что уравнение Е(х',...,х") = 0 задает в К" компактную поверхность Я (т.е. Я как подмножество К" является компактом). Для любой точки х ~ Я находим вектор п(х) = ягас1Е(х), нормальный к Я в точке х. Если каждую точку х Е Я заставить двигаться равномерно со своей скоростью О(х), то возникает зависящее от времени 8 отображение Я Э х + х + п(х)8 е К". а) Покажите, что при достаточно близких к нулю значениях 1 это отображение биективно и при каждом таком значении 1 из Я получается гладкая поверхность Уг Ь) Пусть Š†множест в К"; б-окрестностью множества Е назовем совокупность тех точек К", расстояние которых до Е меньше б.
Покажите,что при значениях 1, близких к нулю, уравнение г'(х,...,х") = $ задает компактную поверхность 5~ С Кв, и покажите, что поверхность Я~ лежит в б(1)-окрестности поверхности Ям где б(1) = о(1) при 1 -+ О. с) С каждой точкой х поверхности 5 = Ее свяжем единичный вектор нормали О( ) [[О(: )[[ и рассмотрим новое отображение Я Э х + х + п(х)1 е К".
Покажите, что при всех достаточно близких к нулю значениях 1 это отображение биективно, получающаяся иэ Я при конкретном значении 1 поверхность Б, гладкая и если 11 Ф 1г, то ЯО О Яс, = И. о) Опираясь на результат предыдущей задачи, покажите, что найдется число б ) 0 такое, что между точками б-окрестности поверхности Я и парами (1,х), где 1 е ) — б,б[ С К, х ~ Я, имеется взаимно однозначное соответствие; если (1',..., г~) — локальные координаты на поверхности Я в окрестности Уя(хе) точки хо, то величины (1, 1',..., 8~) могут служить локальными координатами в некоторой пространственной окрестности П(хе) точки хо е К" . е) Покажите, что при [1[<б точках б Яявляетсяближайшейк (х+п(х)1) Е е К" точкой поверхности Я.
Таким образом, поверхность У~ при [1[ < б есть геометрическое место точек пространства К", удаленных от поверхности Я на расстояние [1[. з 7. ПОВЕРХНОСТЬ В И" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 627 5. а) Пусть с(р. .Е -+ И вЂ” функция на к-мерной гладкой поверхности Е С С И", определенная равенством д (х) = !)р — х)~з, где р — фиксированная точка И", х — точка з', а 0р — х~! — расстояние в И" между этими точками. Покажите, что в точках экстремума функции Н,(х) вектор р — х ортогонален поверхности з'.
Ь) Покажите, что на любой прямой, ортогонально пересекающей поверхность Е в точке д В Я, имеется не более я таких точек р, что функция Нр(х) имеет и своей вырожденной критической точкой (т. е. точкой, в которой гессиан функции обращается в нуль). с) Покажите, что в случае кривой з (я = 1) на плоскости Из (и = 2) точка р, для которой точка о В Я является вырожденной критической точкой функции с(р(х), совпадает с центром кривизны кривой з' в точке и В з'.
6. Постройте в плоскости и~ с декартовыми координатами х, у линии уровня функции Дх, у) = ху и кривую з = ((х у) е И ( х + у = 1). Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи об экстремуме функции 7Ь. 7. На плоскости Из с декартовыми координатами х, у определены следующие функции класса Сч '1 (Из; И): 1 х — у + е '7* я1п —, если х ф О, г'(х,у) = х — д, если х = О. /(х,у) = х — у; а) Нарисуйте линии уровня функции 7 (х, у) и линию з', заданную соотношением г'(х,у) = О.
Ь) Исследуйте на экстремум функцию Дя. с) Покажите, что условие определенности формы дВ/(хс)~'(1 на Тз,, в отличие от условия определенности формы д; Т,(хс)~'(1 на ТБ~в, приведенного в теореме 2, еще не является достаточным для того, чтобы подозрительная точка хс В з' была точкой экстремума функции Дя. о) Проверьте, является ли точка хо = (0,0) критической для функции 7 и можно ли исследовать поведение 1 в окрестности этой точки только с помощью второго (квадратичного) члена формулы Тейлора, как это подразумевалось в с). е) На примере пары функций г'(х, р) = 2хэ + у, Дх, у) = хз+ у покажите, что 7 может иметь строгий максимум в точке кривой г'(х, у) = О, хотя на касательной к этой кривой в этой точке функция 7 имеет строгий минимум.
Это еще раз подчеркивает роль функции Лагранжа в формулировке доказанного выше достаточного признака условного экстремума. 1) На примере пары функций г'(х,у) = х~ — уз, 7'(х,у) = у покажите, что при Ь(х,у) = 7'(х,у) + Аг' уравнение Ы = 0 может не иметь решения, ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 628 когда экстремум у достигается в особой точке кривой Р(х, у) = О.
Это можно учесть, рассматривая вместо Ь функцию А(х, у) = Лоу + ЛР, допуская возможность Ло — — О. 8. В дифференциальной геометрии при определении главных кривизн и главных направлений бывает полезно уметь искать экстремум одной квадратичной формы 60и'иу при условии постоянства другой (положительно определенной) формы дОи'иг. Решите эту задачу по аналогии с разобранным выше примером 9. 9. Пусть А = [а') — квадратная матрица порядка п такая, что (а') = Ну (1 = 1,...,п), где Ны, .., ̈́— фиксированный набор из и неотрицательных действительных чисел. а) Покажите, что бег~ А при указанных условиях на матрицу А может иметь экстремум, только если строки матрицы А являются попарно ортогональными векторами в К".
Ь) Исходя из равенства десг А = деС А серег А', где А* — траиспонированная по отношению к А матрица, покажите, что при указанных выше условиях шахдеогА = Нг Н„ А с) Докажите, что для любой матрицы (а') имеет место иеравеиспгво Адамара бес (а'.) < П (~~ (а',) 6) Дайте наглядно-геометрическое истолкование неравенства Адамара.
10. а) Нарисуйте поверхности уровня функции у и плоскость Я в примере 10. Объясните на рисунке результат, полученный в этом примере. Ь) Нарисуйте линии уровня функции ( и прямую Я в примере 11. Объясните на рисунке результат, полученный в этом примере. 11. В примере 6 из 8 4 главы У, исходя из принципа Ферма, был получен закон Снеллиуса преломления света на поверхности раздела двух сред в случае, когда эта поверхность — плоскость. Остается ли этот закон в силе для произвольной гладкой поверхности раздела? 12. а) Материальная точка в потенциальном поле сил может находиться в положении равновесия (называемом также состоянием покоя или стационарным состоянием) только в критических (стационарных) точках потенциала. 17.
ПОВЕРХНОСТЬ В В" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА б29 При этом строгому локальному минимуму потенциала отвечает положение устойчивого равновесия, а локальному максимуму — неустойчивого. Проверьте это. Ь) К какой задаче на условный экстремум (которую и решал Лагранж) сводится вопрос о положении равновесия материальной точки, находящейся в потенциальном поле сил (например, тяжести) и стесненной идеальными связями (например, точка не может покидать некоторой гладкой поверхности, или бусинка — гладкой нити, или шарик — желоба)? Связь идеальна (нет трения); это значит, что ее воздействие на точку (реакция связи) происходит только в нормальном к связи направлении. с) Какой физический (механический) смысл имеют в этом случае разложение (31) — необходимый признак условного экстремума и множители Лагранжа? Кстати, каждую из функций системы (25) можно поделить на модуль ее градиента, что, очевидно, приводит к равносильной системе (если ее ранг всюду равен т).
Значит, все векторы дгас1гч(хе) в правой части соотношения (31) можно считать единичными нормалями к соответствующей поверхности. д) Не становится ли после приведенной физической интерпретации самоочевидным и естественным сам метод Лагранжа отыскания условного экстремума? НЕКОТОРЫЕ ЗАДА'ЧИ КОЛЛОКВИ'УМОВ Введение в анализ (число, функция, предел) 1. Длину стягивающего земной шар по экватору обруча увеличили на 1 метр. Образовался зазор. Достаточен ли он для прохода муравья? Каковы величины абсолютного и относительного увеличения радиуса Земли при таком увеличении длины экватора? (Радиус Земли и 6400 км.) 2. Как связаны полнота (непрерывность) действительных чисел, неограниченность натурального ряда и принцип Архимеда? Почему любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным? Объясните на модели рациональных дробей (рациональных функций), что принцип Архимеда может быть нарушен и что в таких числовых системах натуральный ряд ограничен и имеются бесконечно малые числа.
3. Четыре букашки, сидевшие в вершинах единичного квадрата, стали двигаться друг за другом с единичной скоростью, держа курс на преследуемого. Нарисуйте траектории их движения. Какова длина каждой траектории? Каков закон движения (в декартовых и полярных координатах)? 4. Нарисуйте диаграмму вычисления ~/а (а ) О) итерационным процессом х„.ы = — х„+— Как находить фа? Как связано решение уравнений с отысканием неподвижных точек? Верно ли, что каждое непрерывное отображение у: [О, Ц вЂ” ~ [О, 1) имеет неподвижную точку? 5.
Пусть д(х) = ('(х) + о(у(х)) при х -+ оо. Верно ли, что тогда и у(х) = = д(х) + о(д(х)) при х -+ сю? Пусть известно,что о(у(х)) = 0(д(х)) при х -+ сю. Верно ли,что тогда и 0(д(х)) = о(у(х)) при х — ~ со (например, когда ( = д) ? НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ б31 Известно, что всегда 0(у)+о(1) = 0(1), и о(1)+о(1) = о(1), и 2о(у) = о(1) при фиксированной базе. Следует ли отсюда, что о(1) = О? 6. Известно, что произведение двух или любого конечного числа бесконечно малых является функцией бесконечно малой.
Приведите пример, показывающий, что для бесконечных произведений это уже не всегда так. 7. Зная степенное разложение функции е, найдите методом неопределенных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все) степенного разложения функции 1п(1 + х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
