1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. от системы координат, в которой функция имеет канонический вид. Это число называется индексом критиической гаечки. З 7. Поверхность в К" и теория условного экстремума Для неформального понимания важной в приложениях теории условного экстремума весьма полезно иметь некоторые начальные сведения о поверхностях (многообраэиях) в пространстве К". гладких функций такова, что осуществляемое ею отображение 7" = (7" г,..., у'") имеет в точке хе — — (хе,...,хе ) ранг т, то переменные (С',...,С ) могут служить криволинейными координатами в некоторой окрестности Ьг(хе) точки хе и любая функция у: 17(хе) -+ 2 может быть записана в виде ~р(х) = = Р(/г(х),..., ( (х)), где Е = ~р о ( е) Ранг отображения, осуществляемого системой гладких функций, называют также Рангом этой системы.
Покажите, что если ранг системы гладких функций 7"(хг,...,х ) (1 = 1,...,/с) равен Й и ранг системы (',...,~,у тоже равен Й в некоторой точке хе Е ~н, то в окрестности этой точки ~р(х) = = г'(у'(х),..., у" (х)). Указание. Используйте с), с1) и покажите, что ГЛ. ЧШ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 59В 1. Поверхность размерности Й в Ж .
Обобщая понятие закона движения х = х(1) материальной точки, мы в свое время ввели понятие пути в К" как непрерывного отображения Г: 1 — > К" промежутка 1 С Я. Степень гладкости пути определялась как степень гладкости этого отображения. Носитель Г(1) С К" пути мог быть довольно причудливым множеством в К", которое иногда только с очень большой натяжкой можно было бы назвать линией. Например, носитель пути мог оказаться просто точкой. Аналогично, непрерывное или гладкое отображение 1: 1" -+ Р." й-мерного промежутка 1" С Кь, называемое й-путем е К", может иметь в качестве образа 1'(1") совсем не то, что хотелось бы назвать й-мерной поверхностью в К". Например, это снова может быть точка.
Чтобы гладкое отображение 1: С -+ К" области С с и'" определяло в К" й-мерную геометрическую фигуру, точки которой описываются Й независимыми параметрами ф,...,1") Н Н С, достаточно, как мы знаем из предыдущего параграфа, потребовать, чтобы в каждой точке 1 Н С ранг отображения 1: С -+ К" был равен Й (разумеется, й < п).
В этом случае отображение 1': С -+ 1'(С) локально (т. е. в окрестности любой точки 1 Н С) является взаимно однозначным. Действительно, пусть ганя 1'(19) = Й и он реализуется, например, на первых Й из п функций х~ = У~(1,...,1 ), .е ~~(~1 ~ь) задающих координатную запись отображения 1: С вЂ” ~ Р". Тогда по теореме об обратной функции переменные г',..., г" в некоторой окрестности У(~е) точки 19 можно выразить через переменные х~,..., х~.
Значит, множество 1'(У(~е)) может быть записано в виде ь+~ ь+~( ~ ь~ х" = ~р"(х,...,х ) (т.е. оно взаимно однозначно проектируется на координатную плоскость х~,..., х~), и потомУ отобРажение 1: У(19) — > 1(с1(~е)) Действительно взаимно однозначное. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В Е" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 599 Однако уже на примере одномерного гладкого пути (рис. 61) ясно, что подобная локальная взаимная однозначность отображения 1: С -+ -+ К" из области С параметров в пространство К" вовсе не обязана быть взаимной однозначностью в целом. Траектория может иметь многократные самопересечения, поэтому если мы желаем определить гладкую й-мерную поверхность в К' и видеть ее как множество, которое около каждой своей точки устроено как несколько деформированный кусок й-мерной плоскости (Й-мерного подпространства пространства К"), то нам не достаточно регулярно отображать канонический кусок С С К~ й-мерной поверхности в пространство К", но необходимо также следить за тем, как он в целом оказывается вложенным в это пространство.
Определение 1. Множество о с К" будем называть ь.-мерной зладной поверхностью в пространстве К" (или и-мернььн нодмноаооброзием К"), если для любой точки хв Е з найдутся окрестность У(хв) в К" и диффеоморфизм ~р: 11(хе) + Х" этой окрестности на стандартный н-мерный промежуток 1" = 1г Е К" ~ )Р~ ( 1, г = 1,...,н'1 пространства К", при котором образ множества 5 О У(хв) совпадает с лежащей в 1 частью Й-мерной плоскости пространства К", задаваемой соотношениями гь ь~ = О, ..., 1" = 0 (рис. 62). П(хо) Рис. 62. Степень гладкости поверхности з будем измерять степенью гладкости диффеоморфизма у. ГЛ. Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 600 Если смотреть на переменные 11,..., 1" как на новые координаты в окрестности У(ха), то определение 1 в сокращенном варианте можно переформулировать следующим образом: множество Я с К" называется к-мерной поверхностью (к-мерным подмногообразием) в К", если для любой точки ха б Я можно указать окрестность У(ха) и такие координаты 1~,..., 1" в ней, что множество Я Г1 У(хс) в этих координатах задается соотношениями 1ь1~ =...
=1" =О. Роль стандартного промежутка в определении 1 чисто условная и примерно такая же, как роль стандартного размера или формы страницы в географическом атласе. Каноническое расположение промежутка в системе координат 11,..., 1" также относится к области стандартизации и не более того, поскольку любой куб в К" дополнительным линейным диффеоморфизмом всегда можно преобразовать в стандартный и-мерный промежуток. Этим замечанием мы часто будем пользоваться, сокращая проверку того, что некоторое множество Я С К" является поверхностью в К". Рассмотрим примеры.
Пример 1. Само пространство К" является и-мерной поверхностью класса С1 ). В качестве отображения ~р: К" -+ 1" здесь можно взять, например, отображение ( = — агсйбх 2 1 7Г (г = 1,..., и). Пример 2. Построенное в примере 1 отображение заодно устанавливает, что надпространство векторного пространства К", задаваемое условиями хй+1 = ... = х" = О, является к-мерной поверхностью в К" (или й-мерным подмногообразием К" ). Пример 3. Множество в К", задаваемое системой соотношений а1х1 +...
+ а1х" + а1 х"+1 +... + а1,х" = О, 1 й й+1 а" йх' +... + а" йх" + а" х" ~ ' +... + а" йх" = О 1 й й-~-1 и при условии, что ранг этой системы равен и — Й, является Й-мерным подмногообразием К". 17. ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА б01 Действительно, пусть, например, определитель 1 1 аь„, ... а„ я-Ь в-Ь а„+, ... а„ отличен от нуля. Тогда линейное преобразование 1 =х, ~ь ь 1+ =ах +...+а„х", 1 1"=а" х +...+а" х", 1 очевидно, является невырожденным.
В координатах 8',..., 1" наше множество задается условиями 1ь+' = ... = 1" = О, уже рассмотренными в примере 2. Пример 4. График определенной в некоторой области С с Й" 1 гладкой функции х" = у(х',..., х" ') является гладкой (и — 1)-мерной поверхностью в К". Действительно, полагая < 1' = х' (г = 1, ..., п — 1), 1" = х" — Дх,...,х" ), мы получаем систему координат, в которой график нашей функции имеет уравнение ~" = О. Пример 5. Окружность х~ + уз = 1 в Ф является одномерным подмногообразием в К~, что устанавливается разобранным в предыдущем параграфе локально обратимым переходом к полярным координатам (р, ~р), в которых окружность имеет уравнение р = 1.
Пример 6. Этот пример является обобщением примера 3 и вместе с тем, как видно из определения 1, дает общую форму координатной записи подмногообразий пространства К". ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 002 Пусть .Р(х',...,х") (г = 1,...,и — й) — система гладких функций ранга и — к. Покажем, что соотношения (2) задают в К" подмногообразие Я размерности к. Пусть в точке хе Е Я выполнено условие дР~ д~е дх~+ дх" 1хо) Ф О. дР" ~ дЕ'" дх"+' дя" Тогда преобразование Е г' = з1 (г = 1,...,Й), 1' = Р™(я1 х") (г = Й + 1,..., п) в силу теоремы об обратной функции является диффеоморфизмом некоторой окрестности рассматриваемой точки.
В новых координатах 1",..., 1" исходная система будет иметь вид 1"+1 = ... = 1" = О; таким образом, Я является Й-мерной гладкой поверхностью в К". Пример 7. Множество Е точек плоскости К2, удовлетворяющих уравнению х2 — у2 = О, состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат. Это множество не является одномерным подмногообразием К2 (проверьте!) именно из-за указанной точки пересечения.
Если удалить из Е начало координат О Е К2, то множество Е 10 уже, очевидно, будет удовлетворять определению 1. Заметим, что множество Е1 О несвязно. Оно состоит из четырех не имеющих общих точек лучей. Таким образом, удовлетворяющая определению 1 к-мерная поверхность в К" может оказаться несвязным подмножеством, состоящим из некоторого числа связных компонент (и уже эти компоненты являются связными Й-мерными поверхностями).
Часто под поверхностью в К" понимают именно связную й-мерную поверхность. Сейчас нас будут интересовать проблемы отыскания экстремумов функций, заданных на 17. ПОВЕРХНОСТЬ В Ж И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 603 поверхностях. Это локальные проблемы, поэтому в них условие связно- сти поверхности не проявляется.
,/с-~-1 ь-~-1( 1 ь) х" = ~р"(х,...,х ) (4) (для упрощения записи мы считаем, что уже система функций 1 1,..., 1 ~ имеет ранг к). Полагая Р'(х,...,х") = х +' — х '(х,...,х ) записываем систему (4) в виде (2). Поскольку соотношение 13) выпол- нено, то в силу примера 6 множество 1(П1ге)) действительно является Й-мерной гладкой поверхностью в К". 2. Касательное пространство. При рассмотрении закона движения х = х1г) материальной частицы в Ф, исходя из соотношения х(1) = х(0) + х'(0)1+ о(г) при 1 — > 0 (5) и считая, что точка 1 = 0 не является критической для отображения К Э 1 ~-~ х(г) Е Кз, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
