1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Лемма Морса. К рассматриваемому кругу идей принадлежит также красивая сама по себе и важная в приложениях лемма МорсаН о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к каноническому виду в окрестности невырожденной критической точки. Определение 4. Пусть хо — критическая точка функции 7' Н е С~2~(У;%), определенной в окрестности У этой точки. Критическая точка хо называется невырожденной критической точкой функции 7", если гессиан функции в этой точке (т.е.
матрица —:-л — (хо), составленная из частных производных второго порядка) дх'дх~ имеет отличный от нуля определитель. Если хо — критическая точка функции, т.е. 7" (хо) = О, то по формуле Тейлора У(х) У(хо) = ~~ Х~' ~;9 1(хо)(х — хо)(х — хо)+о(~~х — хо8 ) . (18) 2 Лемма Морса утверждает, что локально можно сделать такую замену х = д(у) координат, что в координатах у функция 7" будет иметь вид (у од)(у) — у(х )= — (у ) —...— (у ) +(у ~ ) +...+(у ) . Если бы в правой части равенства (18) отсутствовал остаточный член о (9х — хо9з), т.е.
разность 1'(х) — 1(хо) была бы просто квадратичной формой, то,как известно из алгебры, линейным преобразованием ее можно было бы привести к указанному каноническому виду. Таким образом, утверждение, которое мы собираемся доказать, есть локальный вариант теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Доказательство его будет использовать идею дока- ОХ. К. М. Морс (1992 — 1977) — американский математик; основные труды посалщены применению топологических методов к различным разделам анализа. 1а некОтОРые следстВия теОРемы О неяВЯОЙ Функции 693 Дх,...,х ) = ~х'д;(х,...,х ), (19) причем д;(0) = -~1(0).
а**' ~ Равенство (19) — это, в сущности, иная полезная запись уже известной нам формулы Тейлора с интегральным видом остаточного члена. Оно вытекает из равенств 1 1 д тх1 тх'" тп то' ..., ) =/~то*""'1* ~я=1 .')'ЖО,' ... ~,")л Ж дх' о о если положить д;(х,...,х ) = —,(тх,...,1х )~й (г = 1,...,т). о То, что д;(0) = ;.(0) (г = 1,...,т), очевидно, а то, что д; от Н Сто 1)(11; Ж), тоже нетрудно проверить.
Но мы не будем сейчас заниматься этой проверкой, поскольку в свое время будет доказано общее правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, из которого нужное нам свойство функций д; будет непосредственно вытекать. Таким образом, с точностью до указанной проверки, формула Адамара (19) установлена. > Лемма Морса. Если 1': С вЂ” + К вЂ” функция класса Стз1(С;К), определенная на открытом множестпве С с КЙ, а хо й С вЂ” невырожденная критическая точка этпой функции, то найдется такой диффеоморфизм д: $' — + П некоторой окрестности начала координата 0 зательства этой алгебраической теоремы. Мы будем опираться также на теорему об обратной функции и следующее предложение. Лемма Адамара.
Пусть 1: у-+ К вЂ” функция класса С01 (11; К), р > >1, определенная в выпуклой окрестпности 11 точки 0=(0,...,0) Н К и такая, что т" (О) = О. Тоеда существуют функции д; й СОт Ц(11;К) (г = 1,...,т) такие, что в П имеет место равенство 594 ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ пространства К на окрестность У точки хо, что для есех точек у е 1' (год)(у) = У(ХЕ) — ~(у1)г+ .. + (уя)г~ + ~(дЬЬ1)г+ + (д )г~ м Линейными заменами вопрос сводится к случаю, когда хо = 0 и 1(хо) = О, что мы в дальнейшем и будем считать выполненным. Поскольку хе = 0 — критическая точка функции 1, то в формуле (19) д;(0) = 0 (4 = 1,..., т). Тогда по той же лемме Адамара д;(х',...,х ) =,~ хгЬ;,(х',...,х ), 1=1 где Ь; — гладкие функции в окрестности точки О, и, следовательно, у(х',..., т) = ~ хь 1Ь,(х',...,х-).
1З= 1 (20) Подставляя здесь, если нужно, вместо Ь; функции Ь; = -(Ь, + Ь,), 1 г можем считать, что Ь; = Ь ьь Заметим также, что, в силу единственности тейлоровского разложения, из непрерывности функций Ь, следует, дгс что Ь; (0) = —;.-г —.(0) и, значит, матрица (Ь; (0)) невырожденная.
дх'дх' Теперь функция 1' записана подобно квадратичной форме и мы хотим, так сказать, привести ее к диагональному виду. Как и в классическом случае, будем действовать по индукции. Предположим, что существуют координаты и1,...,и в окрестности У1 точки 0 Е К, т.е. диффеоморфизм х = у(и) такой, что в координатах и1,..., и™ (,1 од)(и) = ~(и ) х... ~ (и' ) + ~~ и'и~Н,,(ни,...,и'"), (21) гдег>1,аН1 =Н;. Заметим, что при г = 1 соотношение (21) имеет место, что видно из формулы (20), где НО = Ькь По условию леммы, квадратичная форма 2,' х'хг Ь; (0) невырождена,1=1 ная, т.е.
11ес(Ь; (0)) ф О. Замена переменных х = у(и) осуществляется диффеоморфизмом, поэтому с$е1 р'(0) ~ О. Но тогда и матрица 16. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 595 формы ~(и1)2 ~... ~ (ит 1)2 + 2 идидНд2(0), получаемая из матридД=т цы (6; (0)) домножением справа на матрицу р'(0) и слева на транспонированную по отношению к р'(0) матрицу, тоже невырожденная. Следовательно, по крайней мере одно из чисел Н; (О) (г, 2 = г,..., т) ддд отлично от нуля. Линейной заменой переменных форму 2 и'и1Нд2(0) дН=т можно привести к диагональному виду, поэтому можно считать, что в равенстве (21) Н„„(0) Ф О. Ввиду непрерывности функций Н; (и) неравенство Н„,(и) ~ 0 будет выполнено также в некоторой окрестности точки и = О.
и д[,',,,)= ~н~(,.т д фд д,д р д. классу Сд0(1т2,%) в некоторой окрестности У2 С 111 точки и = О. Сделаем теперь переход к координатам (о',..., о™) по формулам о' = и', 1 ~о, (22) Н„,(и1,..., и"') Якобиан преобразования (22) в точке и = О, очевидно, равен ф(0), т. е. отличен от нуля. Тогда в силу теоремы об обратной функции можно утверждать, что в некоторой окрестности Нз С Н2 точки и = 0 отображение о = тР(и), заданное соотношениями (22), является диффеоморфизмом класса С(ц(сдз, К ) и потому переменные (о',...,о™) действительно могут служить координатами точек Нз.
Выделим в правой части равенства (21) все члены и'и"Н„(и~,..., и ) + 2 ~~> и"и2Н„2(и~,..., и™), (23) содержащие й. В записи (23) суммы этих членов мы использовали то, чтоН, =Н;. Сравнивая (22) и (23), видим, что выражение (23) можно переписать в виде 2 тт Знак ~ перед о'о" появляется в связи с тем, что Н„„= х(ф)~, причем берется знак плюс, если Н„„> О, и знак минус, если Н„, ( О. ГЛ. Ч1П.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 596 Таким образом, после замены п = гд(и) выражение (21) преобразуется в равенство т (у о ~р о гд ~) (и) = ~~) [~(п~)~) + ~~) п~игНг (гг~,,п™), г=1 гд>т где Н, — некоторые новые гладкие функции, симметричные по индексам г', г'. Отображение ого " является диффеоморфнзмом. Таким образом, завершен индуктивный переход от г — 1 к г н лемма Морса доказана. ~ Задачи и упражнения 1. Вычислите якобиан перехода (6) от полярных координат к декартовым координатам в К"'. 2. а) Пусть хс †некритическ точка гладкой функции Р: У -+ К, определенной в окрестности У точки хс = (хс,...,хе~) 6 К~.
Покажите, что в некоторой окрестности У С У точки хс можно так ввести криволинейные координаты (С~,...,Стл),что множество точек, выделяемое условием г'(х) = = Р(хс), в этих новых координатах будет задаваться уравнением Стл = О. Ь) Пусть д, т)т 6 СОО(Р; К) и пусть в области Р (~р(х) = 0) =~ (гл(х) = 0). Покажите, что если ягайло ф О, то в Р справедливо разложение гд = д сг, где д 6 С<ь О(Р; К). 3.
Пусть у: Кг -г Кг — гладкое отображение, удовлетворяющее системе уравнений Коши — Римана дР дуг дгтг дгтг д' Ъ" дхг дх' ' а) Покажите, что якобиан такого отображения равен нулю в некоторой точке тогда и только тогда, когда матрица у'(х) в этой точке нулевая. Ь) Покажите, что если у'(х) ф О, то в окрестности точки х определено обратное к у отображение у ',которое также удовлетворяет системе уравнений Коши-Римана. 4. Зависимосягь функций (прямое доказательство).
а) Покажите, что функции х'(х) = х' (г = 1,...,т) как функции точки х = (х',..., х'") 6 К"' образуют независимую систему функций в окрестности любой точки пространства К~. Ъ) Покажите, что, какова бы ни была функция ~ 6 С(К";К), система х~,..., л '", / функционально зависима. с) Если система гладких функций у1,...,уь, к ( т, такова, что ранг отображения г' = (1ч,...,.т'л) в точке хо = (хе~,..., хе~) 6 К™ равен к, то в некоторой окрестности этой точки ее можно дополнить до независимой системы 1',..., 1™, состоящей из тп гладких функций. в 7.
ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 597 с1) Если система сг = у'(х,...,х ) (1 = 1,...,гп) 5. Покажите, что ранг гладкого отображения у: 2 -+ К" является функцией, полунепрерывной снизу, т.е. ганя у(х) > гапку(хе) в окрестности точки хе с 1Р". 6. а) Дайте прямое доказательство леммы Морса для функций г: И -+ 3. Ь) Выясните, применима ли лемма Морса в начале координат к функциям у(х) = е ьл вш х 7'(х,у) = х . 7'(х) = х ; ((х) = х вш 1 у(х, у) = х — Зхр; с) Покажите, что невырожденные критические точки функции у е Е С1~1(и; и) являются изолированными: каждая из них имеет такую окрестность, в которой нет других критических точек функции у, кроме самой этой точки. о) Покажите, что число 1с отрицательных квадратов в каноническом представлении функции в окрестности невырожденной критической точки не зависит от способа приведения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
