1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Следующее утверждение является простейшим вариантом теоремы о неявной функции. Утверждение 1. Если функция Е: 11(хо, уо) -+ К, определенная в окрестности ь1(хо, уо) точки (хо, уо) Н К~, такова, что Г Р и СОО(С; К), где р > 1, 2 Г(хо уо) = О 3 Е„'(хо,уо) ФО, то существуют двумерный промежуток 1 = 1 х 1ю где 1х = (х Е И ) ~х — хо~ < ск), 1у = (у Е Б~ ~ ~у — уо~ < Я, являющийся содержащейся в 11(хо, уо) окрестностью точки (хо,уо), и такая функция 1 Н СОО(1; 1,, ), что для любой точки (х,у) Н 1 х 1д Р(х, у) = О ЕЬ у = 1(х), (4) причем производная функции у = 1"(х) в точках х Н 1, может быть вычислена по формуле 1'(х) = — (Ро(х, ~(х))~ ' [Р.'(х, ~(х))] . (5) Прежде чем приступить к доказательству, дадим несколько возможных переформулировок заключительного соотношения (4), которые должны заодно прояснить смысл самого этого соотношения.
Утверждение 1 говорит о том, что при условиях 1', 2', 3' порция множества, определяемого соотношением Г(х,у) = О, попавшая в окрестность 1 = 1 х 1ь точки (хо,уо), является графиком некоторой функции 1: 1 -+ 1ь класса С~о)(1; 1ь). Иначе можно сказать, что в пределах окрестности 1 точки (хо, уо) уравнение г (х, у) = О однозначно разрешимо относительно у, а функция у = 1(х) является этим решением, т. е. г (х, 1(х)) = О на 1 .
3 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ бб1 Отсюда в свою очередь следует, что если у = Дх) — функция, определенная на 1, про которую известно, что она удовлетворяет соотношению Г(х, Дх)) = О на 1 и что 1(хо) = уе, то при условии непрерывности этой функции в точке хо Н 1 можно утверждать, что найдется окрестность Ь С 1 точки хо такая, что ДЬ) С 1р и тогда Дх) = 1(х) при х Е Ь. Без предположения непрерывности функции 1 в точке хо и условия Дхо) = уо последнее заключение могло бы оказаться неправильным, что видно на уже разобранном выше примере с окружностью.
Теперь докажем утверждение 1. ~ Пусть для определенности Г„'(хо, уе) > О. Поскольку Г Е С(1) ((1; 2), то Г„'(х, у) > О также в некоторой окрестности точки (хо, уе). Чтобы не вводить новых обозначений, без ограничения общности можно считать, что Г„'(х, у) > О в любой точке исходной окрестности 11(хе, уо). Более того, уменьшая, если нужно, окрестность 11(хе,уо), можно считать ее кругом некоторого радиуса г = 2~3 > О с центром в точке (хо уо). Поскольку ~Г(х, у) > О в П, то функция Г(хе, у) от у определена и монотонно возРастает на отРезке Уо — 13 < У < Уе + )3, слеДовательно, Г(хо уо — 33) < Г(хо уо) = О < Г(хо уо + )3).
В силу непрерывности функции Г в 11, найдется положительное число о < )3 такое, что при ~х — хр~ < о будут выполнены соотношения Г(х,уо — Р) < О < Г(х,ус+а). Покажем теперь, что прямоугольник 1 = 1, х 1ю где 1х = (х Е К ) )х — хо) < а1, 1„= (у Е К ( (у — уо) < 33), является искомым двумерным промежутком, в котором выполняется соотношение (4).
При каждом х Н 1 фиксируем вертикальный отрезок с концами (х, уо — Д), (х, уе + Д). Рассматривая на нем Г(х, у) как функцию от у, мы получаем строго возрастающую непрерывную функцию, принимающую значения разных знаков на концах отрезка. Следовательно, при х Е 1 найдется единственная точка у(х) Е 1л такая, что Г(х, у(х)) = О. Полагая у(х) = 3'(х), мы приходим к соотношению (4). ГЛ.
У1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 552 Теперь установим, что 1 Е С(Р) (1.; Хя). Покажем сначала, что функция Х непрерывна в точке хо и что 1(хо) = уо. Последнее равенство, очевидно, вытекает из того, что при х = хо имеется единственная точка у(хо) Н 1„такая, что Г(хо, у(хо)) = = О. Вместе с тем по условию Г(хо, уо) = О, поэтому 1(хо) = уо.
Фиксировав число е, О < с < (3, мы можем повторить доказательство существования функции 1(х) и найти число б, О < б < а, так, что в двумерном промежутке 1 = 1 х Хю где Хх = (х Е К ! )х — хо! < б), 1„= (у Н К ) )у — уо) < с), будет выполнено соотношение (6) (Г(х, у) = О в 1) Оо (у = 1(х), т. Е 1~) с некоторой вновь найденной функцией Х: 1 -+ 1ю Но 1 С 1, Хо С Хо и 1 С 1, поэтому из (4) и (6) следует, что 1(х) = 1(х) при х Н 1 С 1 . Тем самым проверено, что ~Дх) — 1(хо) ~ = = )У(х) — уо! < с при )х — хо( < б.
Мы установили непрерывность функции Х в точке хо. Но любая точка (х,у) Н 1, в которой Г(х,у) = О, также может быть принята в качестве исходной точки построения, ибо в ней выполнены условия 2', 3'. Выполнив это построение в пределах промежутка 1, мы бы в силу (4) вновь пришли к соответствующей части функции 1, рассматриваемой в окрестности точки х. Значит, функция Х непрерывна в точке х. Таким образом, установлено, что 1 Н С(1; 1„). Покажем теперь, что 1 е СОО(1; 1„), и установим формулу (6). Пусть число Ьх таково, что х+ Ьх Е 1 .
Пусть у = 1(х) и у+ Ьу = = 1(х + Ьх). Применяя в пределах промежутка 1 к функции Г(х,у) теорему о среднем, находим, что О = Г(х+ Ьх,У(х+ Ьх)) — Г(х, Х(х)) = = Г(х+ Ьх,у+ Ьу) — Г(х,у) = = Г'(х+ОЬх,у+ ОЬу)Ьх+ Г„'(х+ ОЬх,у+ОЬу)Ьу (О < д < 1), откуда, учитывая, что Г„'(х, у) ~ О в 1, получаем Ьу Г'(х+ ОЬх, у+ ОЬу) (7) Ьх Г„'(х+ОХ)х,у+ОЬу) 55. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 563 Поскольку 1 Н С(1; 1„), то при Ьх -+ 0 также Ьу — > 0 и, учитывая, что Г Н С~О(17; В), из (7) в пределе при Ьх -+ 0 получаем у/( ) ~х(х~ у) Г„(,у)' где у = 1'(х). Тем самым формула (5) установлена.
В силу теоремы о непрерывности композиции функций, из формулы (5) вытекает, что 1 Е С~")(1; 1„). Если Г е С(з~((1; К), то правая часть формулы (5) допускает дифференцирование по х и мы находим, что 1" (х) — — * *" " " "", (5') ГГЯ + ГЯ У~( )] Гф Г~ 1ГЯ + ГЯ У~( , )2 Пример 1. Вернемся к рассмотренному выше соотношению (1), задающему окружность в м~, и проверим на этом примере утверждение 1. В данном случае Г(х,у) = х +у — 1 и очевидно, что Г Е С~ ') (й~; и). Далее, Г'Г(х,у) = 2х, Г„'(х,у) = 2у, поэтому Г„'(х, у) ф О, если у ф О.
Таким образом, в силу утверждения 1, для любой точки (хш уе) данной окружности, отличной от точек ( — 1, 0), (1, 0), найдется такая окрестность, что попадающая в нее дуга окружности может быть записана в виде у = 1(х). Непосредственное вычисление подтверждает это, причем 1(х) = ~/à — хз или 1(х) = — ~/1 — хз. Далее, в силу утверждения 1, Г~(хо Уо) хе Г„'(хо уо) уе (8) где Г', Г„', Г", Г,"„, Г„"„вычисляются в точке (х, 1(х)). Таким образом, 1 Н С~з)(1; 1я), если Г Е С~з)(11; В). Поскольку порядок производных от 7', входящих в правую часть соотношений (5), (5') и т. д., на единицу ниже, чем порядок производной от 1, стоящей в левой части равенства, то по индукции получаем, что 1 Н СОО(1; 1„), если Г Н С~р)((1; К).
а ГЛ. У1П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 564 Непосредственное вычисление дает если 1(х) = ~/1 — х~, если 1(х) = — ~/à — х2, что можно записать одним выражением х х 1(х) =- — =-- У(:) у' вычисление по которому приводит к тому же результату Х(хо) =- —, ! хо Уо что и вычисление по формуле (8), полученной из утверждения 1.
Важно заметить, что формула (5) или (8) позволяет вычислять ('(х), даже не располагая явным выражением зависимости у = 1(х), если нам только известно, что 1'(хо) = уо. Задание же условия уо = 1'(хо) необходимо для выделения той порции линии уровня Р(х,у) = О,которую мы намереваемся представить в виде у = 1(х). На примере окружности видно, что задание только координаты хо еще не определяет дугу окружности и, только фиксировав уо, мы выделяем одну из двух возможных в данном случае дуг. 3. Переход к случаю зависимости Р(х1,..., х™, у) = О. Простым обобщением утверждения 1 на случай зависимости Р(х1,..., х™, у) = = О является следующее утверждение.
утверждение 2. Если функция Р: 11-+К, определенная в окрест- ности У с к ~ точки (хо,уо) = (хо,...,хо,уо) е к™+1, такова, что 1. Р~ СОН(11;К), р>1, 2' Р(хо,уо) = Р(х~о,...,х~о,уо) = О, 3' Р,'(хо, уо) = Р„'(хо~,...,хо,уо) ф О, то существуют (т+ 1)-мерный промежуток 1 = 1~~ х 11, где 1 =(х=(х~,...,х )ЕН !1х' — х~~!<о', 4'=1,...,т), 1р — — (у Н Й / )у — уо~ < (3), 55.ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ<ЬУНКЦИИ 565 лвллющийсл лежащей в 11 окрестностью точки (хо, уо), и такал функ- ция 1" е СО')(1™; 11), что длл любой точки (х, у) Е 1™ х 11 г'(х~,...,х™,у) = 0 «=Ь у = 1'(х~,...,х™), (9) причем частные производные функции у = 1'(х1,...,х ) в точках 1 могут быть вычислены по формуле дх* (10) Пример 2.
Предположим, что функция Р: С -+ И определена в области С С К™ и принадлежит классу СО)(С; К); хо = (хо1,..., хо™) Е н С и г'(хо) = г'(хв,...,хв™) = О. Если хв не является критической точкой функции Г, то хотя бы одна из частных производных функции Г в точке хв отлична от нуля. Пусть, например, (хо) ф О. Тогда, в силу утверждения 2, в некоторой окрестности точки хо подмножество К"', задаваемое уравнением Р(х1,..., х"') = О, может быть задано как график некоторой функции х = 1(х1,...,х 1), определенной в окрестности точки (хо,...,хв ) Е н~ ', непрерывно диффеРенЦиРУемой в этой окРестности и такой, что 1(хв,..., х~~ ) = х<~.
Таким образом, в окрестности некритической точки хо функции Г уравнение Р(х~,...,х )=0 задает (т — 1)-мерную поверхность. М Доказательство существования промежутка 1™ = 1"' х 11, функции у = 1(х) = 1(х1,..., х ) и ее непрерывности в 1' дословно повторяет соответствующие части доказательства утверждения 1, с единственным изменением, которое сводится к тому, что теперь под символом х надо понимать набор (х1,..., х ), а под символом а — набор (о',...,«х ). Если теперь в функциях Г(х',...,х,у) и 1(х1,..., х™) фиксировать все переменные, кроме х' и у, то мы окажемся в условиях утверждения 1, где на сей раз роль х выполняет переменная х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
