1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Следующие три рисунка иллюстрируют сказанное. На рис. 53, а, с изображено расположение графика функции по отношению к касательной плоскости в окрестности точки локального экстремума (соответственно, минимума и максимума), а на рис. 53, Ь вЂ” в окрестности так называемой седловой критической точки. с1. Касательная плоскость и касательный вектор. Мы знаем, что если путь Г: 1 — ь Из в Из задается дифференцируемыми функциями х = х(1), у = у(1), э = э(1), то вектор (х(0), у(0), й(0)) есть вектор р 4.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 549 скорости в момент 1 = О. Это направляющий вектор касательной в точке хр = х(0), ур = у(0), гр = г(0) к кривой в ~к, являющейся носителем пути Г. Рассмотрим теперь путь Г: 1 — + Я на графике функции я = Дх, у), задаваемый в виде х = х(1), у = у(1), г = Дх($), у(1)). В этом конкретном случае находим, что (х(0), у(0), й(0)) = (х(0), у(0), †(хр, ур)х(0) + †(хр, ур)у(0)), ду , ду ' дх ду откуда видно, что найденный вектор ортогонален вектору (23), нормальному к графику 5 функции в точке (хр,ур,у(хр,ур)).
Таким образом, мы показали, что если вектор ((,О,~) касателен в точке (хр, ур, Дхр, ур)) к некоторой кривой на поверхности Я, то он ортогонален вектору (23) и (в этом смысле) лежит в плоскости (22), касательной к поверхности Я в указанной точке. Точнее можно было бы сказать, что всЯ пРЯмаЯ х = хр+(1, У = Ур+0$, г = Дхр, Ур)+~1 лежит в касательной плоскости (22). Покажем теперь, что верно и обратное утверждение, т. е. если прямая х = хр + ~1, у = ур + тф, л =,('(хр, ур) + ~1 или, что то же самое, вектор (с, и, ~) лежит в плоскости (22), касательной к графику Я функции я = Дх, у) в точке (хр, ур, ~(хр, ур)), то на Я есть путь, для которого вектор (С, и, ~) является вектором скорости в точке (хр, ур, у (хр, ур)).
В качестве такового можно взять, например, путь х = ха+О, У =Ур+ЧС, Я = У(ха+6 Ур+0~). В самом деле, для него х(0) = с, у(0) = и, й(0) = — (хр,ур)с + —,(хр,ур)0. ду ду дх ' ду Ввиду того, что ду , ду †(хр, ур)х(0) + †(хр ур)у(0) — й(0) = 0 дх ду и по условию также ду ду — (хр, УрМ + — (хр, Ур) Π— 1 = О, дх ' ду заключаем, что (х(0),у(0),й(0)) = ((,О,~). ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 550 итак, касательная плоскость к поверхности Я в точке (хе,уе,ге) обРазована вектоРами, касательными в точке (хе, Уе, лв) к кРивым, пРоходящим на поверхности Я через укаэанную точку (рис.
54). Это уже более геометричное описание касательной плоскости. Во всяком случае, из него видно, что если инвариантно (относительно выбора системы координат) определена касательная к кривой, то касательная плоскость также определена инвариантно. Для наглядности мы рассматривали функции двух переменных, однако все сказанное, очевидно, переносится и на общий случай функции у = 1'(х1,..., х ) (24) т переменных, где т б М Плоскость, касательная к графику такой функции в точке (хе,..., те, 1(те,..., те ) ), запишется в виде Рис.
54. у = У(то ":хо™) +,', д ,(ло " яо™Пх* — то)' (25) 1=1 вектор ду д1 †(ха)> . †(хо) — 1 дх' ' ' 'дх~ Задачи и упражнения 1. Пусть г = /(х, у) — функция класса СО1(С; К). а) Если ус(х,у) ив з 0 в С, то можно ли утверждать, что функция 1' не д я зависит от у в области С? Ь) При каком условии на область С ответ на предыдущий вопрос положителен? есть нормальный вектор плоскости (25). Сама эта плоскость, как и график функции (24), имеет размерность т, т. е.
любая точка задается теперь набором (х1,...,х ) из т координат. Таким образом, уравнение (25) задает гиперплоскость в К Дословно повторяя проведенные выше рассуждения, можно проверить, что касательная плоскость (25) состоит из векторов, касательных в точке (лед,..., т~™~, 1(лед,..., те™)) к кРивым, пРохоДЯщим чеРез этУ точку и лежащим на гп-мерной поверхности д — графике функции (24).
г 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 551 2. а) Проверьте, что для функции г г хУ-*-~ — -Ут, если хг + Уг ~ О, т(х у) — х +у О, '+у' =О, имеют место следующие соотношения: (0,0) = 1 ф -1 = (0,0). дг( дг( дхду дудх дг1 дг (хо уо) — (то уо). дхду ' дудх 3. Пусть х,..., х'" — декартовы координаты в Кто. Дифференциальныи оператор дг ,, дх" действующий на функции ~ В С1~~(С; К) по правилу дг т Ь (' = ~~ — (х,..., х™), д*тг называется оператпором Лапласа. Уравнение Ь| = 0 относительно функции т' в области 0 с ~е называется уравнением Лапласа, а его решения — гармоническими функциями о областаи С.
а) Покажите, что если х = (х',..., х™) и 'цх)! = т=т ~. (х)', то при тп > 2 функция У( ) =!1*Г'— является гармонической в области К'" ~ О, где 0 = (О,..., 0). Ь) Докажите, что если функция у(х, у) имеет частные производные —. и ау дт' — в некоторой окрестности П точки (хо уо) и если смешанная производная ау (или а а ) существует в П и непрерывна в (хо, уо), то смешанная произагр ба т водная (соответственно, —, ) также существует в этой точке и имеет оуох дхду место равенство ГЛ.
УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 552 Ь) Проверьте, что функция 1(х, ° ° °,х,с) = 'ехр 1 2 ) 1 с' 11*!Г'1 (2а~/яС) 1, 4а21 ) ' д 2 д2с т.е. что дй = а2 2 — ст в любой точке области определения функции. дс, 1дхт 4. Формула Тейлора в мультпиинденсных обозначениях. Символ ст:= (ос,..., а ), состоящий из неотрицательных целых чисел оп 1 = 1,..., пс, нели!веется мультаииндексом ст.
Условились в следующих обозначениях: М:=!о 1+ +! 1, Ст:= Ос ° ° ° Ото д — ! наконец, если а = (ас,..., а„,), то аь а ! аль 1 ''' ьт а) Проверьте, что если й Е М, то Ь! !ь!=й о ( ! 1 или Ь! (ас+...+а,„) = т — а, л !а)=й где суммирование ведется по всем наборам о = (ос,..., о ) неотрицательных Пт целых чисел, таким, что 2,' !о,~ = й. 1=1 Ь) Пусть д' !1 (дх') ' ... (дх )ь Покажите, что если / Е С<й!(С;К), то в любой точке х Е С имеет место равенство сс! Ьсй = '~ †;И У(х)Ь , !а!=й дс! 1„1'(х) Ь" с!й..йт =й где Ь = (Ь',..., Ь ). определенная при С > 0 и х = (х,...,х ) Е Й'ь, удовлетворяет уравнению тпеплопроводностпи дУ вЂ” =а сзу, дс ~ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ с) Проверьте, что в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа можно записать в виде У(х+Ь) = ~ —,В 1( )б + ~ —,и У(х+ВЬ)й . 1 1 )о)=о )а)=о д) Запишите в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора с интегральным остаточным членом (теорема 4).
5. а) Пусть 1ы = (х = (х',...,х ) Е К ~ ~х'~ < с', ь = 1,...,т)— т-мерный промежуток, а 1 — отрезок [а, Ь~ С К. Покажите, что если функция 1(х, у) =,1(х', ., х, у) определена и непрерывна на множестве 1ы х 1, то для любого положительного числа е > 0 найдется число б > 0 такое, что если х й 1~, ум уг й 1 и (уь — уг( < б, то (,((х, уг) — г'(х, уг) ~ < е. Ь) Покажите, что функция ь Р(х) = / 1(х,у) ду определена и непрерывна на промежутке 1 с) Покажите, что если 1 Е С(1"'; К), то функция У'(х,е) = 1'(ех) определена и непрерывна на 1"' х 1', где 1' = (1 Е К ( )Ц < 1). д) Докажите следующую лемму Адамара. Если 1 В СО~(1'";К) и 1(0) = О, то существуют функции дм...,д й Е С(1; К) такие, что 1(х,..., х ) = ~~ х'д;(х,..., х~) в=1 в 1~, причем д,(0) = †.(0), г = 1,...,т. д1 дхь 6. Докажите следующее обобщение теоремы Ролла длл функций многих переменных.
Если функция 1 непрерывна в замкнутом шаре В(Оег), равна нулю на его границе и дифференцируема во внутренних точках шара В(0;г), то по крайней мере одна из внутренних точек этого шара является критической точкой функции. Т. Проверьте, что функция 1(х, у) = (у — х ) (у — Зхг) не имеет экстремума в начале координат, хотя ее ограничение на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум в этой точке.
ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 554 8. Метод наименьших квадратов. Это один из наиболее распространенных методов обработки результатов наблюдений. Он состоит в следующем. Пусть известно, что физические величины х и у связаны линейным соотношением [26) у = ах+6, или пусть на основе экспериментальных данных строится эмпирическая формула указанного вида.
Допустим, было сделано п наблюдений, в каждом из которых одновременно измерялись значения х и у, и в результате были получены пары значений хы у1, .., .х„, у„. Поскольку измерения имеют погрешности, то, даже если между величинами х и у имеется точная связь [26), равенства уь = ахь+Ь могут не выполняться для некоторых значений Й 6 [1,..., и], каковы бы ни были коэффициенты а и Ь. Задача состоит в том, чтобы по указанным результатам наблюдений определить разумным образом неизвестные коэффициенты а и 6. Гаусс, исходя из анализа распределения вероятности величины ошибки наблюдения, установил, что наиболее вероятные значения коэффициентов а и 6 при данной совокупности результатов наблюдений следует искать, исходя из следующего принципа наименьших квадратов: если дь = [ахи + 6) — уь — невязка Ь-го наблюдения, то а и 6 надо выбирать так,чтобы величина дг в=1 т.
е. сумма квадратов невязок, была минимальной. а) Покажите, что принцип наименьших квадратов в случае соотношения (26) приводит к системе линейных уравнений < [хю хь]а+[хю 1]6 =[хю уь], [1,хь]а+ [1,1]Ь= [1,уь] для определения коэффициентов а и 6; здесь, следуя Гауссу, положено [хю хь]:= = х1х|+...+х„х„; [хю 1];= х1 1+...+х„1; [хюуь]:= х|у1+...+х„у„и т.д. Ь) Напишите систему уравнений для чисел аь,..., а„„6, к которой приводит принцип наименьших квадратов в том случае, когда вместо равенства [26) имеется соотношение у = ~~~ а;х' + Ь [или, короче, у = а;х'+ 6) между величинами х',..., х, у.
5 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 555 с) Как, используя метод наименьших квадратов, искать эмпирические формулы вида у = сх1 связывающие физические величины хы...,х с величиной у? д) (М. Джермен.) У нескольких десятков особей кольчатого червя Хег1ея й чегя1со1ог была измерена частота В сокращений сердца при различных температурах Т. Частота выражалась в процентах относительно частоты сокращений при 15'С. Полученные данные приведены в следующей таблице: Зависимость В от Т похожа на экспоненциальную.
Считая В = Аест, найдите значения констант А и 5, которые бы наилучшим образом соответствовали результатам эксперимента. 9. а) Покажите, что в рассмотренной в примере 5 задаче Гюйгенса функция (18) стремится к нулю, если хотя бы одна из переменных ты, .., т„стремится к бесконечности. Ь) Покажите, что функция (18) имеет в К" точку максимума и потому единственная критическая точка этой функции в ж" должна быть ее точкой максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
