1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Таким образом, если мы исследуем только одну из оставшихся критических точек, например точку ~ — г-, — ), то мы сможем сделать заключение и о ха- '2 2>'ге ' 2/2е ) ' рактере остальнйх. Поскольку ГЛ. ЧН1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 544 дратичной формы.
Например, в точке ( — — ~, — ) матрица квадра~2е ' ~/2е,) тичной формы (15) имеет вид ( — 2 0) откуда видно, что форма отрицательно определена. Замечание 3. Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые (теорема 5) и достаточные (теорема 6) условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскольку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.
Подробнее общие принципы исследования невнутренних экстремумов будут разбираться позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму). Полезно иметь в виду, что при отыскании минимумов и максимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее, можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в К'" дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то, при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она и принимает свое минимальное значение. Пример 5.
Задача Гюйеенса. На основе законов сохранения энергии и импульса замкнутой механической системы несложным расчетом можно показать, что при соударении двух абсолютно упругих шаров, имеющих массы т1 и тг и начальные скорости е1 и ег, их скорости после центрального удара (когда скорости направлены по линии центров) определяются соотношениями (т1 — тг)е1+ 2тгег Ю1 = т1+ тг (тг — т ~ ) ег + 2т1е1 ег = т1+ тг 54. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 545 В частности, если шар массы М, движущийся со скоростью Р, ударяется о неподвижный шар массы тп, то приобретаемая последним скорость е может быть найдена по формуле 2М тв+ М (17) из которой видно, что если О < т < М, то Ъ' < е < 2$'.
Каким же образом телу малой массы можно передать значительную часть кинетической энергии большой массы? Для этого, например, между шарами малой и большой масс можно вставить шары с промежуточными массами т < т1 < тз « ... т„< М. Вычислим (вслед за Гюйгенсом), как надо выбрать массы ты тз,..., т„, чтобы в результате последовательных центральных соударений тело т приобрело наибольшую скорость. В соответствии с формулой (17) получаем следующее выражение для искомой скорости как функции от переменных ты тз,..., ти„: . 2л+1,/ (,8) т + т1 т1 + тз т„1 + т т„+ М Таким образом, задача Гюйгенса сводится к отысканию максимума функции ~(тм...,т„) = ш+ш1 шп-1+г~~и шв+М Система уравнений (12), представляющих необходимые условия внутреннего экстремума, в данном случае сводится к системе т тз — т,=О, 2 ш1 тз — тз — — О, 2 ти-1 М вЂ” т~ = О, из которой следует, что числа т, тм..., т„, М образуют геометрическую прогрессию со знаменателем д, равным +~/М/т.
Получаемое при таком наборе масс значение скорости (18) определяется равенством (19) которое при и = О совпадает с равенством (17). ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 546 Из физических соображений ясно, что формула (19) указывает максимальное значение функции (18), однако это можно проверить и формально (не привлекая громоздких вторых производных; см. задачу 9 в конце параграфа). Заметим, что из формулы (19) видно, что если т — > О, то е — > — ~ 2п 1У".
ТаКИМ ОбраЗОМ, ПрОМЕжутОЧНЫЕ МаССЫ дЕйСтВИтЕЛЬНО Заметно увеличивают передаваемую малой массе т часть кинетической энергии массы М. 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных а. График функции и криволинейные координаты. Пусть х, у, г †декарто координаты точки пространства Кз, и пусть г = =,1(х,у) †непрерывн функция, определенная внекоторой области С плоскости к2 переменных (х,у). В силу общего определения графика функции, график функции 1: С вЂ” > Ев нашем случае есть множеством = ((х,у,я) Е Кз ~ (х,у) Н С, г = 1(х,у)) в пространстве Ез. Р Очевидно, что отображение С вЂ” + Я, определяемое соотношением (х, у) + (х, у, 1 (х, у)), есть непрерывное взаимно однозначное отображение С на Я, в силу которого любую точку множества Я можно задать, указывая соответствующую ей точку области С или, что то же самое, задавая координаты (х, у) этой точки С.
Таким образом, пары чисел (х,у) Е С можно рассматривать как некоторые координаты точек множества Я вЂ” графика функции х = = 1(х, у). Поскольку точки Я задаются парами чисел, то Я будем условно называть двумерной поверхностью в йз (общее определение поверхности будет дано позже). Если задать путь Г: 1 — ~ С в С, то автоматически возникает путь г о Г; 1 -+ Я на поверхности Я. Если х = х(1), у = у(1) — параметрическое задание пути Г, то путь г' о Г на Я задается тремя функциями: х = х(1), у = у(1), х = 1(х(1),у(1)).
В частности, если положить х = хе + 1, у = уе, то мы получим кривую х = хе + 1, у = уе, = 1(хе + 1, Уе) на повеРхности Я, вДоль котоРой кооРДината У = Уе точек Я не меняется. Аналогично можно указать кривую х = хе, у = ус+1, г = 1 (хе, уе + 1) на Я, вдоль которой не меняется первая координата хр точек Я. Зги линии на Я по аналогии с плоским случаем естественно 547 14.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ называть координатными линиями на поверхности Я. Однако, в отличие от координатных линий в С С м~, являющихся кусками прямых, координатные линии на Я, вообще говоря, являются кривыми в мз. По этой причине введенные координаты (х, у) точек поверхности Я часто называют криволинейными координатами на Я.
Итак, график непрерывной функции з = Дх,у), определенной в области С с Кз, есть двумерная поверхность Я в Ф, точки которой можно задавать криволинейными координатами (х, у) Е С. Мы пока не останавливаемся на общем определении поверхности, поскольку сейчас нас интересует только частный случай поверхности— график функции, однако мы предполагаем, что из курса аналитической геометрии читателю хорошо знакомы некоторые важные конкретные поверхности в Ф (плоскость, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды). Ь. Касательная плоскость к графику функции. Если функция з = 7(х, У) ДиффеРенциРУема в точке (хо, Уо) Е С, то это означает, что 1(х у) = 1(хо уо) + А(х — хо) + В(у — уо) + + о ( (х — хо)з + (у — уо)з) при (х, у) -+ (хо уо), (20) где А и  — некоторые постоянные.
Рассмотрим в Ф плоскость (21) з = зо + А(х — хо) + В(у — уо) где го = Дхо, уо). Сравнивая равенства (20) и (21), видим, что график нашей функции в окрестности точки (хо, уо, го) хорошо аппроксимируется плоскостью (21). Точнее, точка (х, у, Дх, у)) графика функции уклоняется от точки (х, у, з(х, у)) плоскости (21) на величину, бесконечно малую в сравнении с величиной (х — хо)~+ (у — уо)з смещения ее криволинейных координат (х, у) от координат (хо, уо) точки (хо, уо, зо).
В силу единственности дифференциала функции, плоскость (21), обладающая указанным свойством, единственна и имеет вид х = У(хо Уо) + — (хо, Уо)(х — хо) + — (хо Уо)(у — Уо). (22) ду ' ду дх ' ду Она называется касательной плоскостью к графику функции я=1(х, у) о точке (хо уо Х(хо,уо)).
ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 548 Рис. 53. Итак, ДиффеРенЦиРУемость фУнкЦии г = 1(х, У) в точке (хо,Уо) и наличие у графика этой функции касательной плоскости в точке (хо, Уо, 1 (хо, Уо)) сУть Равносильные УсловиЯ. с. Нормальный вектор. Записывая уравнение (22) касательной плоскости в каноническом виде ду д1 †(хо УоИх хо) + — (хо Уо)(У вЂ” Уо) (э Х(хо, Уо)) = О, дх ' ду заключаем,что вектор — (хо, уо), — (хо,уо), — 1 ду ду дх ' 'ду (23) является нормальным еентором касательной плоскости.
Его направление считается направлением, нормальным или ортогональным к повеРхности Я (гРафикУ фУнкЦии) в точке (хо, Уо, 1 (хо, Уо)). В частности, если (хо, уо) — критическая точка функции у (х, у), то в точке (хо, Уо, 1(хо, Уо)) гРафика ноРмальный вектоР имеет вид (О, О, — 1) и, следовательно, касательная плоскость к графику функции в такой точке горизонтальна (парэллельна плоскости (х,у)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
