1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Отметим, что как это равенство, так и матричные равенства (1'), (2'), (3') являются очевидными следствиями определения частной производной и обычных правил дифференцирования вещественнозначных функций одного вещественного переменного. Однако нам известно, что наличия частных производных еще может оказаться недостаточно для дифференцируемости функции многих переменных. Поэтому наряду с важными и вполне очевидными равенствами (1'), (2'), (3') особую роль в теоремах 1 и 2 приобретают утверждения о существовании дифференциала соответствующего отображения. ГЛ. ЧП1. ДИФсоЕРЕНИИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 514 Заметим, наконец, что по индукции из равенства (2) можно получить соотношение Щ1... ~ь) (х) = Цз...
Кь) (х) д 11 (х) +... + Ц1... ~ь 1) (х) Ц~(х) для дифференциала произведения Ц1... ~Ь) дифференцируемых веще- ственнозначных функций. 2. Дифференцирование композиции отображений а. Основная теорема Теорема 3. Если отображение ~: Х вЂ” + У множества Х С К в множество У с Ич дифференцируемо в точке х с Х, а отображение д: У -+ К" дифференцируемо в точке у = ~(х) с У, то компоэицил до~: Х вЂ” 4 Кь этих отображений дифференцируема в точке х, причем дифференциал д(до~): ТУ~ — + ТИФ~ )) композиции равен композиции дд(у) о Ц(х) дифференциалов дд(у): ТУ„"-+ ТМ~ ).
с~(х): ТВ~ — > ТИ~~ ) Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет доказательство теоремы 2 из ~ 2 гл. Ч. Чтобы обратить внимание на одну новую, появляющуюся теперь деталь, мы все же проведем еще раз это доказательство, не вдаваясь, однако, в уже разобранные технические подробности. м Используя дифференцируемость отображений ~ и д в точках х и у = ~(х), а также линейность дифференциала д'(х), можно написать, что (д о ~)(х+ 6) — (д о ~)(х) = дЦ(х+ 6)) — дЦ(х)) = = д'Ц(х))®х + 6) — ~(х)) + оЦ(х+ Ь) — Дх)) = = д~(у)Ц~(х)6+ о(6)) + оЦ(х+ 6) — ~(х)) = = д (у)Ц (х)6) + д (уно(6)) + оЦ(х+ 6) — ~(х)) = = (д'(у) о ~'(х))6+ о(х; 6), о(х; 6) = д'(уио(6)) + оЦ(х + 6) — ~(х)). где д'(у) о ~'(х) есть линейное отображение (как композиция линейных отображений), а 1 3.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 515 Но, как показывают соотношения (17), (18) из 5 1, д'(у)(о(6)) = о(6) при 6 -+ О, 7'(х+ 6) — 1'(х) = ('(х)6+ о(6) = 0(6) + о(6) = 0(6) при 6 + О о(7(х+ 6) — 7" (х)) = о(0(Ь)) = о(6) при 6 -+ О. Следовательно, а(х;6) = о(Ь) +о(6) = о(6) при 6-+ О, и теорема доказана. ь Будучи переписана в координатной форме, теорема 3 означает, что если х — внутренняя точка множества Х и д17"1(х) ... д 11(х) ~~(х) = " " " " " " " " " = (д ~Р) (х), д17""(х) ... д,„у" (х) а у = 1(х) — -внутренняя точка множества У и д1д'(у) ... д„д'(у) д'(у) = .....
= (д д') (у)., д1дь(у) ... д„д"(у) то д1(д' о 1)(Х) ... д,„(д1 о 1')(Х) (д о 7)'(х) — ° ° = (д;(д о 7)) (х) = д1(д" о 1)(х) ... до(д" о 7)(х) д1д1(у) ... дод1(у) д171(х) ... дщ71(х) = (д д~(у) д,(ч(х)) . д1д"(у) ... д„дь(у) д11'"(х) ...
д 7'"(х) В равенстве (д1(д о 1')) (х) = (д.д Ц(х)) ° дала(х)) справа имеется в виду суммирование по индексу у в пределах его изме- нения, т. е. от 1 до п. ГЛ. '«'Н1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 516 В отличие от равенств (1'), (2'), (3'), соотношение (4) нетривиально даже в смысле позлементного равенства участвующих в нем матриц. Рассмотрим некоторые важные частные случаи доказанной теоремы. Ь.
Дифференциал и частные производные сложной вещественнозначной функции. Пусть я = д(у1,..., у") — вещественнозначная функция вещественных переменных у1,...,у", каждое из которых в свою очередь есть функция уд = Ях1,..., х"') (у = 1,..., и) переменных х~,..., х™. В предположении дифференцируемости функций д и у«(~ = 1,..., п) найдем частную производную -(д — «~)(х) комдх« позиции отображений у: Х вЂ” «У и д: У -+ 2. По формуле (4), в которой при наших условиях 1 = 1, находим д,(д о у)(х) = д д®х)) д;~1(х) или, в более подробной записи, дя д(д о у), дд ду' дд ду" —.(х) = (х~,...,х ) = — — +...+— дх' дх' '' '' ду дх' '' ду" дх' =д1И(х)) Ч'(х)+ "+д 9(Ю) Ч"(х). с. Производная по вектору и градиент функции в точке.
Рассмотрим установившийся поток жидкости или газа в некоторой области С пространства Р«з. Термин «установившийся» означает, что скорость потока в каждой точке области С не меняется со временем, хотя в различных точках области С она, разумеется, может быть различной. Пусть, например, 1(х) = 1(х~, х~, хз) — давление в потоке в точке х = (х1, х~, хз) Е С. Если мы будем перемещаться в потоке по закону х = х(1), где 1 — время, то в момент 1 мы будем регистрировать давление (у ох)(1) = у(х(1)). Скорость изменения давления со временем вдоль нашей траектории, очевидно, есть производная 3- (г) по времени от аУ. х1 функции (у ох)(1). Найдем ее в предположении, что у(х1, х~, хз) — дифференцируемая в области С функция. По закону дифференцирования композиции функций находим «~(,~ о х) д~,1 д~,з дУ (1) = — 1(х(1))х (8) + — з(х(1))х (1) + — з(х(1))х (1), (6) где х«(1) = -~~-(1) (« = 1, 2, 3).
1 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 517 Поскольку (х', х~, хз) (1) = о(1) есть вектор скорости нашего перемещения в момент 1, а (д17", дз~, дзу")(х) есть координатная запись дифференциала о1'(х) функции 1 в точке х, то равенство (6) можно переписать также в виде п(1 о х) (0) = ф'(хо)и, (8) где и = и(0) — вектор скорости в момент 1 = О. Правая часть соотношения (8) зависит только от точки хо Е С и вектора о скорости, которую мы имеем в этой точке, и не зависит от конкретного вида траектории х = х(1), лишь бы было выполнено условие х(0) = и.
Это означает, что на любой траектории вида х(1) = хо+ ог+ а(1), где а(1) = о(1) при 1 — 1 О, значение левой части равенства (8) будет одинаково, поскольку оно вполне определяется заданием точки хо и вектора о Е ТР~„приложенного к этой точке. В частности, если бы мы хотели непосредственно вычислить значение левой (а значит, и правой) части равенства (8), то можно было бы в качестве закона движения выбрать функцию х($) = хо + и1, (10) отвечающую равномерному движению со скоростью и, при котором в момент 1 = 0 мы находимся в точке х(0) = хо.
Дадим теперь следующее Определение 1. Если функция 7'(х) определена в окрестности точки хо Е К™, а и Е Т1Ц', — вектор, приложенный к точке хо, то величина (если указанный предел существует) называется производной функ- ции 7 в точке хо по вектору и. и(1 о х) (1) = й((х(1))и(1), (7) т. е.
искомая величина есть значение дифференциала й((х(1)) функции 1(х) в точке х(1) на векторе и(1) скорости нашего движения. В частности, если при 1 = 0 мы были в точке хо = х(0), то ГЛ, УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 818 Из проведенных рассмотрений следует, что если функция 1 дифференцируема в точке хо, то при любой функции х(1) вида (9) и, в частности, вида (10) имеет место равенство Роу(хо) =, (О) = 4У(хо)о, д(у ох) (12) что в координатном представлении означает Р У(хо) = — (хо)о + . + — (хо)о™. аУ , ОУ Щ1 ''' ВХти В частности, для базисных векторов е1 = (1,0,...,0), ..., е = (О,..., О, 1) из этой формулы получаем Р,,~(хо) =,(хо) (г = 1,...,т). д,(' Рл,,-~лгтг1(хо) = Л1Р„,У(хо) + Л2Ру,~(хо).
(14) Если пространство й™ рассматривать как евклидово пространство, т.е.как векторное пространство со скалярным произведением,то (см. 8 1) любую линейную функцию Ци) можно будет записать в виде скалярного произведения ((, о) фиксированного вектора С = ((Т) и переменного вектора о. В частности, найдется вектор ( такой, что <Ч(хо)о = (( о).
(15) Определение 2. Вектор ( Н ТР",', отвечающий в смысле равенства (15) дифференциалу д г'(хо) функции у в точке хо, называется градиентом функции в этой точке и обозначается символом рад ('(хо). Итак, по определению На основании равенства (12) в силу линейности дифференциала оу(хо) заключаем, что если 1 — ДиффеРенциРУемаЯ в точке хо фУнкция, то для любых векторов о1, о2 Н ТЦ' и любых Л1, Л2 Н К функция имеет в точке хо производную по вектору (Л1о1 + Лоо2) Н ТуЩ' и при этом 13. ОснОВные 3АкОны диФ<веРенциРОВАния 519 Если в Ж™ выбрана декартова система координат, то, сопоставляя соотношения (12), (13) и (16), заключаем, что в такой системе координат градиент имеет следующее координатное представление: 8гас1~(хв) = ( 1,..., ) (хо).
/ ду" ду" '1 (17) Выясним теперь геометрический смысл вектора 8гаг1 7" (хо). Пусть е й ТР~м — единичный вектор. Тогда в силу (16) Р,~(хо) = ( 8гаг1 ДхвИ сов ~р, (18) е = (СО8 О1 ~ ° ° ° ~ СО8 От)~ где О1 — угол, который вектор е образует с базисным вектором е, де- картовой системы координат, то Рейхе) = (Ягаг1 1(хо)~е) = 1 (хо) сО8 О1 +... + д, (хо) сО8 От. дУ ду Вектор ягад Дхо) встречается очень часто и имеет многочисленные применения. Например, на отмеченном выше геометрическом свойстве градиента основаны так называемые градиентные методы численного (на ЭВМ) поиска экстремумов функций многих переменных. (См. в этой связи задачу 2 в конце параграфа.) где р — угол между векторами е и ягад у (хв). Таким образом, если ягас1 )'(хо) ф 0 и е = 9 Егад г'(хо) ~~ 1 ягад,((хо) то производная Р,7(хв) принимает наибольшее значение.
То есть скорость роста функции у (выраженная в единицах величины 7, отнесенных к единице длины в Р") при движении из точки хв максимальна и равна ~~ 8гад ((хо)9, когда мы смещаемся именно в направлении вектора ягаг1 Дхо). При смещении в противоположном направлении значения функции наиболее резко уменьшаются, а при смещении в направлении, перпендикулярном вектору бгад 1(хо), скорость изменения значений функции равна нулю. Производную по единичному вектору данного направления обычно называют производной по данному направлению. Поскольку единичный вектор в евклидовом пространстве задается направляющими косинусами: ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 520 Многие важные векторные поля, как, например, ньютоновское поле сил тяготения или кулоновское поле заряда, являются градиентами некоторых скалярных функций — потенциалов этих полей (см.
задачу 3). Многие физические законы в самой своей формулировке используют вектор р'аи 1. Например, в механике сплошной среды эквивалентом основного закона Ньютона та = г' динамики точки является соотношение ра = — ягадр, связывающее ускорение а = а(х,1) в потоке свободной от внешних сил идеальной жидкости или газа в точке х в момент 1 с плотностью среды р = р(х,1) и градиентом давления р = р(х,1), отнесенными к этой же точке и к этому же моменту времени (см. задачу 4). О векторе угад 1" мы еще будем говорить позже, при изучении векторного анализа и элементов теории поля. 3. Дифференцирование обратного отображения Теорема 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
