1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 82
Текст из файла (страница 82)
3. Покажите, что если Кь э Кз э ... э К„з ... — последовательность вложенных компактов, то ) ) К, ф а. 1=1 4. а) В пространстве К" двумерная сфера з' и окружность У расположились так, что расстояние от любой точки сферы до любой точки окружности одно и то же. Может лн такое быть? Ь) Рассмотрите задачу а) для произвольных по размерности сфер 5, Я" в К~. При каком соотношении между т, п и й описанная ситуация возможна? 3 2. Предел и непрерывность функции многих переменных 1. Предел функции.
В главе П1 мы подробно изучили операцию предельного перехода для вещественнозначных функций 1: Х вЂ” ь К, определенных на множестве Х, в котором фиксирована база Н. В ближайших параграфах нам предстоит рассматривать функции 1: Х вЂ” ~ К", определенные на подмножествах пространства К™, со зна- 12. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 485 чениями в К = К1 или вообще в К", п Е М. Мы сделаем сейчас ряд добавлений к теории предела, связанных со спецификой этого класса функций. Начнем, однако, с общего основного определения.
Определение 1. Точка А Е К" называется пределом отображения )') Х -+ К" по базе В в Х, если для любой окрестности 1'<А) этой точки найдется элемент В Е Н базы Н, образ которого 1<В) содержится в Ъ'<А). Короче, Мы видим, что определение предела функции 1) Х -+ К" полностью совпадает с определением предела функции 1) Х -+ К, если мы представляем себе, что такое окрестность 1'(А) точки А Е К" для любого пеИ Определение 2. Отображение ~) Х -+ К" называется ограниченным, если множество 1 <Х) с К" ограничено в К". Определение 3. Пусть  — база в множестве Х. Отображение )') Х + К" называется финально ограниченным при базе В, если найдется элемент В базы Н, на котором 1 ограничено.
Учитывая эти определения, нетрудно проверить теми же рассуждениями, которые мы провели в главе П1, что функция ~) Х вЂ” > К" может иметь не более одного предела по данной базе В в Х; функция ~) Х вЂ” ь К", имеющая предел по базе В, финально ограничена при этой базе Н. Определение 1 можно переписать также в иной форме, явно использующей наличие в К" метрики. А именно, Определение 1'. < 1пп 1<я) = А Е К" ~:= <))г ) 0 ЗВ е В Чт Е В <дат), А) < г)) 0 ГЛ. Ъ'Н, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 486 Определение 1". Специфическая особенность отображения 1: Х -+ К" состоит в том, что поскольку точка у Е К есть упорядоченный набор (у,..., у") из п вещественных чисел, то задание функции у: Х вЂ” ~ И" равносильно заданию и вещественнозначных функций ~'.
Х вЂ” ь И (1 = 1,..., и), где ~'(х) = у' (1 = 1,..., п). Если А = (А',..., А") и у = (у~,...,у"), то справедливы неравен- ства ~у' — А'~ < о(у, А) < ~/и шах (у' — А'~, 1 (ь (ь из которых видно,что 11ш,5(х) = А с=ь 1пп~'(х) = А' (1 = 1,...,п), (2) т.е. сходимость в Ж" покоординатная. Пусть теперь Х = М вЂ множест натуральных чисел, а  †ба а — ь оо, а е М в нем.
Функция ~: 1Ч вЂ” + К" в данном случае есть последовательность (уь~, /с Е 1Ч, точек пространства И". Определение 4. Последовательность (уь), й Е 1Ч, точек уь Е К называется фундаментальной, если для любого с > 0 найдется такое число 1У Е И, что при любых йы йз > Х выполнено д(уь„уА„) < е. Из неравенств (1) можно заключить, что последовательность точек уь = (уь,...,уь) Е н" фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна каждая из последовательностей (у„'), Й Е М, 4 = = 1,..., п, их одноименных координат. Учитывая соотношение (2) и критерий Коши для числовых последовательностей, можно теперь утверждать, что последовательность точек в И" сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Иными словами, критерий Коши справедлив и в пространстве И". Впоследствии метрические пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность имеет предел, мы назовем полными метрическими пространствами. Таким образом, мы сейчас установили, что м'" при любом п е И является полным метрическим пространством. 12. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ чтУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 487 Определение 5. Колебанием функции у: Х -+ И" на множестве Е с Х называется величина ат(у; Е):= а(ПЕ)), где д®Е)) — диаметр множества у (Е). Как видно, зто есть прямое обобщение определения колебания вещественнозначной функции, в которое определение 5 и переходит при и = 1.
С полнотой К" связано то, что для функций 1: Х -+ К" со значениями в К" справедлив следующий критерий Коши существования предела. Теорема 1. Пусть Х вЂ” множество,  — база в Х. Функция ~: Х вЂ” т К" имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда для любого числа е > О найдется элемент В Е В базы, на котором колебание функции меньше е. Итак, 51ппДх) <=> 'й > О ЛВ Е В (ьт(у; В) ( е). Доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство критерия Коши для числовых функций (гл.
П1, 8 2, теорема 4) с единственным изменением, сводящимся к тому, что теперь вместо ~Дхт) — Дхг) ~ следует всюду писать а(1(хт), 1 1х2)). В справедливости теоремы 1 можно убедиться и иначе, если считать известным критерий Коши для вещественнозначных функций и воспользоваться соотношениями (2) и (1). Для функций со значениями в К" остается в силе также важная теорема о пределе композиции. Теорема 2.
Пусть У вЂ” множество, Ву — база в У, д: У вЂ” т К"— отображение, имеющее предел по базе Ву. Пустпь Х вЂ” множестпво, Вх — база в Х, ~: Х вЂ” т У вЂ” тпакое отображение Х в У, что для любого элемента Вг Е Вг базы Ву найдетпся элемент Вх ч Вх базы Вх, образ которого ~(Вэт) содержитпся в Ву. При этих условиях композиция д о 1; Х вЂ” + К" отображений ~ и д определена, имеет предел по базе Вг и 1пп (д о у ) (х) = 1пп д(у). нх ну ГЛ. Ъ'П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 488 Доказательство теоремы 2 можно провести, либо повторив доказа- тельство теоремы 5 из 8 2 гл. 111, с заменой там )к на К", либо сослаться на указанную теорему и воспользоваться соотношением <2). До сих пор мы рассматривали функции ~: Х -+ К" со значениями в К", никак не конкретизируя область их определения Х.
В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать случай, когда Х есть подмноже- ство пространства К>'>. Условимся, что, как и прежде, У(а) — окрестность точки а Н 2 о а 1>'<а) — проколотая окрестность точки а е Р", т. е. У<а):= 11<а) ~ а; 11е<а) — окрестность точки а в множестве Е С К™, т.е. 11е(а):= Е П 11(а); о Ге<а) — проколотая окрестность точки а в множестве Е, т.е. о о Ге<а):= Е Г) У<а); х -+ а — база проколотых окрестностей точки а в К "; х -+ оо †ба окрестностей бесконечности, т.е. база, состоящая из множеств К" ~ В<а; г) х -+ а, х Н Е, или (Е Э х + а) — база проколотых окрестностей точки а в множестве Е, если а — предельная точка для Ь"; х + оо, х е Е, или <Е Н х + со) — база окрестностей бесконеч- ности в множестве Е, состоящая из множеств Е ~ В<а;г), если Е— неограниченное множество, В соответствии с этими обозначениями можно, например, дать сле- дующие конкретизации определения 1 предела функции, если речь идет о функции 1: Е -+ К", отображающей множество Ь' С К в 2": Это же можно записать и иначе: = <Че > О Зб > О Чх Е Е <О < Ы<х, а) < б =~ йЦ<х), А) < е)).
Здесь подразумевается, что расстояния д<х, а) и днах), А) измеряются в тех пространствах <К~' и К"), в которых лежат указанные точки. 12. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 489 Наконец, ( 1пп у(х) = А):= (Че > 0 ВВ(а;г) ух Е К ~,В(а;г) (аЩх),А) ( с)). Пример 1. Пусть х ~-+ я'(х) — отображение ~г': И™ -+ В, состоящее в том, что каждой точке х = (хг,...,х™) пространства К ставится в соответствие ее г-я координата х'. Итак, я'(х) = х'. Если а = (а',..., а"'), то, очевидно, яг(х) — ~ а' при х — ~ а.
Функция х ~-+ я'(х) не стремится ни к конечной величине, ни к бесконечности при х — > оо, если т > 1. Вместе с тем ти у'(х) = ~~г (ггг(х)) — ~ оо при х -+ оо. Не следует думать, что предел функции нескольких переменных можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из координат. В этом можно убедиться на следующих примерах. Пример 2. Пусть функция у: Ь~з — ~ В в точке (х, р) Е Из определена так: ,г( у) = если хам+ уз ~ О, если хз+уз = О.
х +у О, Тогда г" (О, у) = г(х, О) = О, а у'(х, х) = ~ при х ф О. Таким образом, эта функция не имеет предела при (х, у) -+ (О, 0). Вместе с тем 1пп (1пп у(х, у)~1 = 1пп(0) = О, у-Ю ~ -+О ' Г у-~О 1пп (1пп у'(х,у)~ = 1пп(0) = О. х — ~0 1у — ~0 / я — ~0 Условимся также, что запись ю~(х) — ~ оо при базе Вг в случае отображения у: Х -+ К" всегда будет означать, что для любого шара В(АГг) с К" найдется элемент В Е В базы В такой, что у(В) С С й" ~ В(А;г).
ГЛ. Ъ'П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 490 Пример 3. Для функции 2 2 .2 ( 2~0 х +р О, если х2+у2 =О, .1(х,У) = имеем 2 / у21 1пп (1пп у(х, у)1 = 1пп 1 — — ) = — 1. р-+О ~х-~О ' Г р-~О 1 у2) Пример 4. Для функции х +уа(п-, если х ф О, 1 Х(',у) = О, если х=О, имеем 1пп у(х,у) = О, (х,р)-+(О,О) 1пп 1пп 1(х,у) = О, х-+О ~,р-+О и в то же время повторный предел 1пп (11щ )'(х,у)) вообще не существует. Пример 5. Функция 2 — если х +у ~0, х +р О, если х2+у2 =О, 1(х, у) = имеет нулевой предел при стремлении к началу координат по любому лучу х = о2, у = )й. Вместе с тем функция равна — в любой точке вида (а, а2), где а ~ О, поэтому функция не имеет предела при (х, у) — ~ (О, 0). 12. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 491 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
