1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 86
Текст из файла (страница 86)
е. приращение этой функции само есть линейная по Ь функция Ь ~ — + х' + Ь'. Таким образом, Ьл'(х; 6) = йг'(х)6, причем отображение йг'(х) = сЬг' на самом деле оказывается не зависящим от х Е К в том смысле, что йг'(х)6 = Ьг в любой точке х Е К~. Если вместо х'(х) писать х'(х), то получаем, что ггх'(х)6 = ггх Ь = Ь'. Учитывая это обстоятельство и формулу (8), мы теперь можем представить дифференциал любой функции в виде линейной комбинации дифференциалов координат ее аргумента х е ~".
А именно: гЦ(х) = дД(х)г)х' = †(х)г1х + ... + †(х)г)х дУ , дУ поскольку для любого вектора Ь Е ТУ'" имеем сЦ(х)6 = д;Дх)6' = дД(х)г1х16. 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 509 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
Итак, мы нашли формулу (7) для дифференциала вещественнозначной функции 1: Е -+ К. Но тогда, в силу установленной эквивалентности соотношений 11) и (2), уже для любого отображения 7': Е -+ К" множества Е с К™, дифференцируемого во внутренней точке х Е Е этого множества, можно выписать координатное представление дифференциала д 1'1х) в виде з () '~~ ) дзт~ ) '''дв ~ ) ф'(х)й = ........ = .........
= ...................... (10) д~"(х)6 Д,~"(х)~Б ду" ( ) Ж ( ) Определение 3. Матрица (д,~)(х)) (я' = 1,..., т, 4' = 1,..., и) из частных производных координатных функций данного отображения в точке х Е Е называется матрицей Якоби1) или якобианом2) отображения в этой точке. В случае, когда п = 1, мы возвращаемся к формуле (7), а когда и = 1 и т = 1, мы приходим к дифференциалу вещественнозначной функции одного вещественного переменного.
Из эквивалентности соотношений (1) и (2) и единственности дифференциала (7) вещественнозначной функции следует э'тверждение 3. Если отображение 7': Е -+ К" множества Е С С К™ дифференцируемо во внутренней точке х Е Е этого множества, то оно имеет в этой точке единственный диулреренциал д1 (х), причем координатное представление отображения <Ц(х): ТЦ' — т ТК~1 ) задается соотноизением (10). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке. Мы закончим обсуждение понятия дифференцируемости функции в точке указанием на взаимоотношения между непрерывностью функции в точке, наличием у нее частных производных в точке и дифференцируемостью ее в этой точке. В 81 (соотношения (17) и (18)) мы установили, что если 7: К™ -+ -+ К" — линейное отображение, то 2,й -+ 0 при и — э О.
Таким образом, ПК. Г. Я. Якоби (1804 — 1851) — известный немецкий математик. и 1Якобианом чаще назывэзот определитель этой матрицы (когда она квадратная). 510 ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ из соотношения (1) можно заключить, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке, поскольку 1(х+й) — 1'(х) = 1(х)Б. +о(Й) при 6 — + О, х+ 6 Е Е.
Обратное, конечно, не верно потому, что, как нам известно, это не верно уже в одномерном случае. Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в точке в многомерном спучае такое же, как и в одномерном. Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференциала. В одномерном случае, т.е. в случае вещественнозначной функции одного вещественного переменного, наличие дифференциала и наличие производной у функции в точке были условиями равносильными. Для функций многих переменных мы показали (утверждение 2), что дифференцируемость функции во внутренней точке области определения обеспечивает существование у нее частных производных по каждой переменной в этой точке.
Однако обратное утверждение уже не имеет места. Пример 5. Функция О , если х1х2 = О, у( 1 2) 1, если х~х~ ф О, равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (О, 0) обе частные производные: 0 ~(0 0) 1 Х(п',0) — у(0,0) 1, 0 — 0 О 6' — Ю У ь-о Ы 1'(О, 62) — у(0, 0), 0 — 0 6~ — ~0 /12 ь~-~~ 62 Вместе с тем эта функция не дифференцируема в точке (О, 0), поскольку она, очевидно, разрывна в этой точке.
Приведенная в примере 5 функция не имеет одной из частных производных в точках осей координат, отличных от точки (О, 0). Однако функция в Ђ”— если х2+у2 Ф О, йх у)= О, если я~+у = 0 1 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 511 (которая нам встречалась в примере 2 из 8 2 гл. Ъ'11), уже во всех точках плоскости (х, у) имеет частные производные, однако она тоже разрывна в начале координат и потому не дифференцируема в точке (О, 0). Таким образом, воэможность написать правую часть равенств (7), (8) еще не гарантирует того, что это будет дифференциал нашей функции, поскольку функция может оказаться не дифференцируемой.
Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось (это будет доказано позже), что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке. 8 3. Основные законы дифференцирования 1. Линейность операции дифференцирования Теорема 1. Если отображения 11. Š— + К", 1г.
Š— + К", определенные на множестве Е С К™, дифференцируемы в точке х Е Е, то их линейная комбинация (Л111+ Лг5г): Š— + К" также яв яется дифференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место равенство (Лдуд + Лгуг)'(х) = (Л111 + Лгуг) (х). (1) Равенство (1) показывает, что операция дифференцирования, т.е. сопоставление отображению его дифференциала в точке, является линейной операцией на векторном пространстве отображений 1: Š— 1 К", дифференцируемых в фиксированной точке множества Е.
Слева в (1) стоит, по определению, линейное отображение (ЛД1+ Лг (г)'(х), а справа стоит линейная комбинация (Л1Д + ЛгД) (х) линейных отображений Д(х): К"' — ~ К", Д(х): К~ — 1 К", которая, как нам известно из г 1, также является линейным отображением. Теорема 1 утверждает, что эти отображения совпадают. 1 (Л1,11 + Лг,1г)(х + Ь) — (ЛШ + Лг(г)(х) = = (Л1,(1(х+ Ь) + ЛгЯх+ Ь)) — (Л1,(1(х) + Лг~г(Х)) = = Л1(11(х+ Ь) — (1(х)) + Лг((г(х + Ь) — ЯХ)) = = Л1® (х)Ь + о(Ь)) + Лг((г(х)Ь + о(Ь)) = = (Л1,(1(х) + Лг,(г(х))Ь + о(Ь). ° ГЛ. УН1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 512 Если рассматриваемые функции вещественнозначны, то над ними выполнимы также операции умножения и (при необращении знаменателя в нуль) деления. Имеет место Теорема 2. Если функции 1: Е -+ К, д: Š— ~ К, определенные на множестве .Е С К™, дифференцируемы в точке х Н Е, то а) их произведение дифференцируемо в х, причем У д)'(х) = д(х) Г(х) + 1(х)д'(х); Ь) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) ~ О, причем (2) 2 (д( )~( ) ~( )д( ))' д) д2(х) (3) д(Л1,(1+ Л2.6)(х) = (Л1е((1+ Л2д,6)(х), Й(1 д)(х) = д(х)Ц(х) + 1(х)Йд(х), ) ( ) 2 д ) д2(х) Посмотрим, что означают эти равенства в координатном представлении отображений.
Нам известно, что если отображение р: Š— в оп, дифференцируемое во внутренней точке х множества Е С К , записать в координатном виде то его дифференциалу ейр(х): й™ -+ К" в этой точке будет соответ- ствовать матрица Якоби д1у' ... д ~р1 1о'(х) = ............... (х) = (д,ур) (х). д1У" ... д У" Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством соответствующих пунктов теоремы 1 из 22 гл. У, поэтому мы на нем не останавливаемся. Соотношения (1), (2), (3) можно переписать также и в иных обозначениях дифференциала. А именно: 13. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 513 При фиксированных базисах в К™ и К" соответствие между линейными отображениями Ь: К™ -+ И" и т х п-матрицами — взаимно однозначное, поэтому линейное отображение Ь можно отождествить с задающей его матрицей.
Для обозначения матрицы Якоби мы все же, как правило, будем использовать символ у'(х), а не символ с(1 (х), ибо это больше соответствует тому традиционному разделению понятий производной и дифференциала, которое проводится в одномерном случае. Таким образом, в силу единственности дифференциала, во внутренней точке х множества Ь' получаем следующие координатные формы записи соотношений (1), (2), (3), означающие равенства соответствующих матриц Якоби: (д,(Л1У,'+ Л,У,'))( ) = (Л1д,Д+ Л,д,х!)( ) (1=1,...,т, у =1,...,п), (1) (д1Ц д))(х) = д(х)дД(х) + Х(х)д,д(х) (г = 1,..., т), (2') Из поэлементного равенства указанных матриц, например, следует, что частную производную по переменной х' от произведения вещественнозначных функций ('(х1,..., х ) и д(х',..., х~) надо брать так: д(1 д) дх' = д(х,..., х™) — (х,..., х™) + 1(х,..., х ) —,(х,..., х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
