1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 99
Текст из файла (страница 99)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ 586 Матрица Якоби отображения 112) имеет вид 1 О О 1 до~ дл" Ее определитель равен 1, и, значит, по теореме 1 отображение 4 является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности 01уо) точки уо Е К„" на окрестность О(ио) = ф (О1уо)) точки ио Е К"„. Сравнивая соотношения 111) и 112), видим, что в достаточно малой окрестности 0(ио) С 0(ио) точки ио такой, что д10(ио)) С 01уо), отображение ф о 1 о 1о 1: 01ио) — > К"„является отображением гладкости р этой окрестности 01ио) на некоторую окрестность 01ио) с 01ио) точки ио е Щ и при этом имеет канонический вид и =и, 1 1 и =и, а й ил+1 = О Полагая р '(01ио)) = 01хо), 4 '(01ио)) = 01уо), получаем указанные в теореме окрестности точек хо, уо, чем и завершается доказательство. ь Теорема 2, как и теорема 1, очевидно, является локальным вариантом соответствующей теоремы линейной алгебры.
В связи с проведенным доказательством теоремы 2 сделаем следующие полезные для дальнейшего замечания. Замечание 1. Если в любой точке исходной окрестности У с К™ ранг отображения у: У -+ К" равен п, то точка уо = 11хо), где хо Е У, является внутренней точкой множества 11У), т. е. содержится в 11У) вместе с некоторой своей окрестностью. 16. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 587 ~ Действительно, по доказанному отображение фо~о~р 1: 0(ио) -+ — + 0(оо) в этом случае имеет вид (и~,...,и",...,ни) = и ~-+ о = (о',...,о") = (и',...,и"), поэтому образ окрестности точки ио = р(хо) содержит некоторую окРестность точки оо = ф о Т" о У '(ио). Но отображения у: 0(хо) -+ 0(ио), 4': 0(уо) — + 0(оо) — диффеоморфизмы, поэтому они переводят внутренние точки во внутренние.
Записав исходное отображение 7' в виде Т' = ф 1 о (ф о 7' о х 1) о ~р, заключаем, что точка Уо = Т" (хо) ЯвлЯетсЯ внУтРенней точкой обРаза окрестности точки хо. о Замечание 2. Если ранг отображения 7': 17 — + И" в любой точке окрестности с7 равен й и 7е < и, то, в силу равенств (8), (12) и (13), в некоторой окрестности точки хо Е с7 С К имеют место п — к соотношений Указанные соотношения выписаны в принятом нами предположении о том, что главный минор порядка а матрицы ~'(хо) отличен от нуля, т.е.
что ранг к реализуется уже на наборе функций у',..., Т"". В противном случае можно изменить нумерацию функций 1'1,..., Т"" и снова иметь укаэанную ситуацию. 3. Зависимость функций Определение 2. Говорят, что система непрерывных функций Т"(х) = 7'(х1,...,х'и) (г = 1,...,п) является функционально независимой в окрестности точки хо = (хо1,...,хо ), если для любой непрерывной функции г" (у) = г" (у,..., у"), определенной в окрестности точки Уо = (У,'„..., Уо) = (1'(хо),..., Т""(хо)) = Т" (хо), соотношение г (('1(х1,...,х ),...,Т'"(х',...,х™)) ив и 0 в окрестности точки хо возможно только в случае, когда Г(у1,..., у") ье = 0 в окрестности точки уо.
ГЛ. У111. ДИ<РФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Линейная независимость, рассматривавшаяся в алгебре, есть независимость по отношению к линейным соотношениям р1у',...,у") =Л,у'+...+Л„у". Если система не является функционально независимой, то ее называют функционально зависимой. В случае линейной зависимости векторов один из них, очевидно, является линейной комбинацией остальных. Аналогичная ситуация имеет место и в отношении функционально зависимой системы гладких функций. Ъ'тверждение 1. Если система 1'(х1,...,х™) (1 = 1,...,и) гладких функций, определенных в окрестности Щхо) точки хо е 1~™, такова, что ранг матрицы дя1 дхт (х) ау" ау" а*' ' " а ." в любой точке х е У один и тот хсе и равен й, то а) при Й = и система функционально независима в окрестности хв, Ь) при й ( и найдутся окрестность точки хо и такие к функций системы, пусть 11,...,1~, что остальные и — Й функций системы в этой окрестности представляются в виде Г'( ' " ™) =д'(У'( ' " ™) У'( ' )) где д'(у1,..., у") — гладкие функции, определенные в окрестности точки Уо = (1 (хо), У (хо)) и завистиие только от Й координат текуи4ей точки у = (у1,..., у").
~ В самом деле, если к = п, то в силу замечания 1 к теореме о ранге при отображении у'=1'(',", ™), у" = У"(х~ " х™) образ окрестности рассматриваемой точки хв содержит целую окрестность точки Уо = 1 (хо). Но тогДа соотношение Р(~'(х',..., х™),..., ~" (х',..., х™)) 0 16. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 889 в окрестности хв возможно только при условии, что р(у',...,у") =о в окрестности точки ув.
Этим утверждение а) доказано. Если же к < и и ранг к отображения (15) реализуется уже на функциях у',...,1",то в силу замечания 2 к теореме о ранге найдется такая окрестность точки ув = 1(хо) и п — к определенных в ней функций д'(У) = д'(У,...,у ) (1 = я + 1,..., и) того же порядка гладкости, как и функции системы, что в некоторой окрестности точки хо будут выполнены соотношения (14).
Этим доказано утверждение Ь). ~ь Мы показали, что если к < п, то найдутся и — 1с специальных функций Рч(у) = у' — д'(у,...,у ) (г = к+ 1,...,п), устанавливающих соотношения г'(у'(х),...,(' (х),у'(х)) = 0 (г = /с + 1,...,п) между функциями системы 1',..., 1,..., (" в окрестности точки хв. 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
Здесь мы покажем, как, используя теорему об обратной функции, можно локально представить диффеоморфное отображение в виде композиции таких диффеоморфизмов, каждый из которых меняет только одну из координат. Определение 3. Диффеоморфизм д: С вЂ” ь К открытого множества У С Ж"' будем называть простейшим, если его координатное представление имеет вид < у' = х', г Н (1,..., т ), г' ф у', ут = дз(х,..., х™), т. е.
при диффеоморфизме д: У вЂ” > 2™ меняется только одна из коорди- нат отображаемой точки. Ъ"тверждение 2. Если 1': С -+ К™ — диффеоморфизм открытого множества С С Кн, то для любой точки хо Е С найдется такая ее окрестность, в которой справедливо представление 1' = д1о...од„, еде ды..., д„— простейшие диффеоморфизмы. ГЛ. ЧЦ1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 590 ~ Проверим это по индукции. Если исходное отображение 1 само является простейшим, то для него утверждение тривиально справедливо.
Предположим, что утверждение справедливо для диффеоморфизмов, меняющих не более чем (к — 1) координату, где к — 1 < п. Рассмотрим теперь диффеоморфизм 1: С -+ Р., меняющий й координат: уь = 5"(х",...,х ), ь-~1 й+1 (1б) у = х Мы приняли, что меняются именно первые к координат, чего можно достичь линейными преобразованиями. Значит, это не умаляет общности рассуждений. Поскольку 1 — диффеоморфизм, то его матрица Якоби 1'(х) в любой точке х Е С невырожденная, ибо (Г')'Ш*)) = У1~)1 ' Фиксируем хе Е С и вычислим определитель матрицы 1'(хе): аУ' ОУ': д1' аУ' дх дх" ! дх"+ дх~ дх дх~ (хо) = д1~ д1":, д1~ д1~ дх1 ''' дхй : дхй-~-1 ''' дхтй (хо) ~ О. д1~ д~' дх' дха 1 О 0 О 1 Таким образом, один из миноров порядка х — 1 последнего определителя должен быть отличен от нуля.
Опять для упрощения записи будем считать, что таким является главный минор порядка х — 1. Рассмотрим тогда вспомогательное отображение д: С вЂ” ~ К™, определяемое 10. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 591 равенствами и =у (х,...,х ), иь-1 ~л-1(х1 х™) иь =х~, Поскольку якобиан д~' д1': д~' д~' дх дхь ' ! дх" дх™ д1~ д1~ дх1 дхх д~~ ' д1" '; д1" ' д~" дх дх~ 1 : дх" дх (хе) (хе) ~ О а~"'-1 ау"-' дх1 дх~ 1 О О 1 у1 = 1~ од ~(и) = и', у~ " = у~ 1 о д 1(и) = и~ у~ = у од '(и), ь-~-1 ь-~-1 у =и™, т. е. Й вЂ” простейший диффеоморфизм. отображения д: С -+ К™ в точке х0 Е С отличен от нуля, отображение д является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки хе. Тогда в некоторой окрестности точки ие = д(хе) определено обратное к д отображение х = д 1(и), которое позволяет ввести в окрестности х0 новые координаты (и',..., и ). Пусть Ь = 1' о д '.
Иными словами, отображение у = п(и) есть наше отображение (16) у = у1х), записанное в координатах и. Отображение Ь, как композиция диффеоморфизмов, является диффеоморфизмом некоторой окрестности точки и0. Его координатная запись, очевидно, имеет вид ГЛ, л'Ц1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ а92 Но у = й е д, а по предположению индукции отображение д, определенное формулами (17), раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов. Таким образом, диффеоморфизм у, меняющий и координат, в некоторой окрестности точки хо тоже раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов, что и завершает индукцию. ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
