1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Ч1П, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 614 который отличается от прежнего только несущественной заменой Л1 на — Л,,1) Пример 9. Найдем экстремумы симметрической квадратичной формы у(х) = ~~> а; х'ху (а1 = а;) (34) 6.1=1 на сфере п г'(х) = ~~ (х') — 1 = О. 1=1 (35) Запишем функцию Лагранжа данной задачи: ь1х, Л) = ~~1 абх'хУ вЂ” Л ~ (х1) — 1 1а=1 1=1 и, с учетом того, что а; = а,, необходимые условия экстремума функ- ции ь1х, Л): —.(х,Л) = 2 ~ а; ху — Лх1 =О дь" дх' 1=1 — (х, Л) = ,'~ (х') — 1 = О.
дЛ (г = 1,...,п), (Зб) абх'х" — Л = О. 1З=1 (37) Систему (Зб) без последнего уравнения можно переписать в виде а1 х1 = Лх' (1 = 1,...,и), 138) ОПо поводу необходимого признака условного экстремума см, также задачу 6 к 1 Т гл. Х (часть П). Домножая первое уравнение на х' и суммируя затем все первые соотношения, с учетом второго уравнения получим, что в точке экстремума должно быть выполнено равенство 17.
ПОВЕРХНОСТЬ В И" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА б15 а11Ы = 1, 13=1 (39) а вместо (35)— (40) Но ~ (11) есть квадрат расстояния от точки 1 = (1~,..., 1") квадри1=1 ки (39) до начала координат. Таким образом, если, например, соотношение (39) задает эллипсоид, то величина 1/Л, обратная к собственному значению Л, является квадратом величины одной из его полуосей.
Это полезное наблюдение. Оно, в частности, показывает, что соотношения (36), необходимые для условного экстремума, еще не являются достаточными: ведь, например, в Ф эллипсоид кроме наибольшей и наименьшей полуосей может иметь промежуточную по величине полуось, в любой окрестности конца которой есть как точки более близкие к началу координат, так и более далекие от него в сравнении с расстоянием от конца полуоси до начала координат. Последнее становится совсем очевидным, если рассмотреть эллипсы, получающиеся в сечении исходного эллипсоида двумя плоскостями, проходящими через промежуточную полуось и меньшую или большую полуоси эллипсоида откуда следует, что Л вЂ” собственное значение линейного преобразования А, задаваемого матрицей (а1 ), а х = (я1,..., х") — собственный вектор этого преобразования, отвечающий этому собственному значению.
; г Поскольку непрерывная на компакте о = х Е К" ~ ~ (л1) = 1 1=1 функция (34) обязана принимать в некоторой его точке максимальное значение, система (36), а значит и система (38), должна иметь решение. Таким образом, мы попутно установили, что любая вещественная симметрическая матрица (а1 ) имеет по крайней мере одно вещественное собственное значение. Это хорошо известный вам из линейной алгебры результат, являющийся основным в доказательстве существования базиса из собственных векторов симметрического оператора.
Чтобы указать геометрический смысл собственного значения Л, заметим, что если Л > О, то, переходя к координатам 11 = т'/1/Л, вместо (37)получим ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 616 соответственно. В одном из этих случаев промежуточная полуось будет большей из двух полуосей эллипса сечения, а в другом случае— меньшей полуосью. К сказанному следует добавить, что если 1/~/Л есть величина этой промежуточной полуоси, то, как видно из канонического уравнения зллипсоида, величина Л, очевидно, будет собственным значением преобразования А, поэтому система (36), выражающая необходимые условия экстремума функции Яя, действительно будет иметь решение, не дающее экстремума этой функции.
Полученный в теореме 1 результат (необходимый признак условного экстремума) проиллюстрирован на рис. 63, а, Ь. ~сг Рис. 63. Первый из этих рисунков поясняет, почему точка хв поверхности Я не может быть точкой экстремума функции Дя, если Я не касается поверхности М = (х Е Р." ) у(х) = 1(хв) = с61 в точке тв. При этом предполагается, что 6габ 1(хв) ф О. Последнее условие гарантирует то, что в окрестности точки хе имеются точки как более высокого сз-уровня функции 1, так и точки более низкого с1-уровня этой функции. Поскольку гладкая поверхность Я пересекает поверхность М, т.е. се-уровень гладкой функции 1, то Я будет пересекать как более высокие, так и более низкие уровни функции 1 в окрестности точки хе.
Но это и означает, что яв не может быть точкой экстремума функции Дя. Второй рисунок показывает, почему при касании Х и Я в точке яв эта точка может оказаться точкой экстремума. На рисунке хе — точка локального максимума функции Д я. Эти же соображения позволяют нарисовать картинку, аналитическая запись которой может показать, что необходимый признак условного экстремума не является достаточным. 17. ПОВЕРХНОСТЬ В и" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 617 Действительно, в соответствии с рис.
64 положим, например, ,1"(х,у) = у, г'(х,у) = х — у = О. Тогда очевидно, что на кривой Я С ))с~, заданной уравнением у = хз, величина у не имеет экстремума в точ- б ке (О, 0), хотя эта кривая касается линии уровня у(х, у) = 0 функции у в этой точ- Ж ке. Заметим, что ЕгадДО,О) = (0,1) ~ О. с, Очевидно, это по существу тот же пример, который нам в свое время служил для иллюстрации различия между необходиРис. 64. мым и достаточным условиями классического внутреннего экстремума функции. с. Достаточный признак условного экстремума. Докажем теперь следующий достаточный признак наличия или отсутствия условного экстремума. Теорема 2.
Пусть у: Р + К вЂ” функция, определенная на открытом множестве Р с й" и принадлежаи)ал классу С(з)(Р; И); д — поверхность в Р, заданная систпемой уравнений (25), гдг Ра ч С1~)(Р; К) (4 = 1,...,т) и ранг системы функций (Г1,...,г' ) в любой точке области Р равен т. Пусть в функции Лагранжа Цх) = Цх; Л) = у(х',...,х") — ~Л1Р(х,...,х") 1=1 параметры Л1,...,Л выбраны в соответствии с необходимым признаком (31) условного экстремума функции Дз в точке хв й о'.~) Для того чтобы при этом точка хв была точкой экстремума функции 1')з, достаточно, чтобы квадратичная форма дг т д Зд д (~о)4 (~ (41) была знакоопределенной для векторов с с ТБ '1Фиксироввв Л, мы получаем из Цх;Л) функцию, зввисюцую только от х; мы позволили себе обозначать ее через 1 (х).
ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 61В Если форма (41) положительно определена на ТБ ь, то хв — точка строгого локального мин мума функции Дэ, 'если форма (41) отрицательно определена на ТБ „то хв — точка строгого локального максимума функции Дэ. Длл того чтобы точка хо не была точкой экстремума функции Яэ, достаточно, чтобы форма (41) принимала на ТЯ эначенил разных знаков. < Отметим прежде всего, что Цх) = 1(х) для х Е Я, поэтому, показав, что точка хв Е Я является точкой экстремума функции Цэ, мы одновременно покажем, что она является точкой экстремума функции Дэ.
По условию необходимый признак (31) экстремума функции Дэ в точке хв Е Я выполнен, поэтому в этой точке ягЫЦхв) = О. Значит, тейлоровское разложение функции ь(х) в окрестности точки хо = = (хо1,...,ха) имеет вид Е(х) — Е(хо) = о1 и;и 1(хо) (х' хв) (хэ хо) +о(((х — хв)) ) (42) 1 ЛгГ при х — 1 хв. Напомним теперь, что, мотивируя определение 2, мы отметили воэможность локального (например, в окрестности точки хв Н Я) параметрического задания гладкой Й-мерной поверхности 5 (в нашем случае к =п — т).
Иными словами, существует гладкое отображение К Э (1,..., 1 ) = 1 ~-+ х = (х,..., х") Е К" (мы будем его, как и прежде, записывать в виде х = х(1)), при котором окрестность точки 0 = (О,..., 0) Е К" биективно преобразуется в некоторую окрестность точки хо на поверхности 5, причем хв = х(0). Заметим, что соотношение х(1) — х(0) = х'(0)1+ (!/1/0 при 1 -+ О, выражающее дифференцируемость отображения 1 ь+ х(1) в точке 1 = О, равносильно и координатным равенствам х'(1) — х'(0) = — (0)1 + о(3ф0 (1 = 1,...,п), (43) 17. ПОВЕРХНОСТЬ В В" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 619 в которых индекс а пробегает целые значения от 1 до Й и по нему происходит суммирование.
Из этих числовых равенств следует, что /х'(й) — х'(0)! = 0(9ц) при й -+ 0 и, значит, ((х(й) — х(0) )) „= 0 ф((„„) при й -+ О. (44) Используя соотношения (43), (44), из равенства (42) получаем, что при й -+ 0 Т(х(~)) Т(х(О)) дую(хе)д х(0)дух~(0)С 16+офЦ ). Отсюда при условии знакоопределенности формы дцЦхе)д х'(0)ддх'(0)1Р16 (42') (45) ( = х'(0)1, мы получаем вектор С, касательный к Я в точке хе, и если С = (С 1,..., ~"), х(1) = (х',...,х")(1), 1 = (1',...,1~), то (1 = ддх1(0) ~д (1 = 1,...,и), откуда и следует совпадение величин (41), (45). ь Отметим, что практическое использование теоремы 2 затруднено тем,что среди координат вектора с = (ч,...,с") Е ТБ~, только lс = = п — ти независимых, поскольку координаты вектора ( должны удовлетворять системе (29), определяющей пространство ТБ . Таким образом, непосредственное применение к форме (41) критерия Сильвестра следует, что функция Цх(1)) имеет при ~ = 0 экстремум.
Если же форма (45) принимает значения разных знаков, то Цх(~)) при 1 = 0 экстремума не имеет. Но, поскольку при отображении ~ + х(~) некоторая окрестность точки 0 е ж" преобразуется в окрестность точки х(0) = = хе е д на поверхности Я, можно заключить, что тогда и функция Х,~л в точке хе либо будет иметь экстремум, причем того же характера, что и функция Ь(х(1)), либо, как и 5(х(~)), не будет иметь экстремума. Итак, остается проверить, что для векторов ~ Е ТЯ, выражения (41) и (45) просто являются разными записями одного и того же объекта. Действительно, полагая 620 ГЛ. ЧН1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
