1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Известно, что в благоприятных условиях скорость размножения микроорганизмов, т.е, скорость роста биомассы, пропорциональна (с некоторым коэффициентом пропорциональности я) наличному количеству биомассы. Надо найти закон х = х(1) изменения биомассы во времени, если известно ее начальное состояние х(0) = хю По нашим представлениям, знай мы сам закон х = х(г) изменения величины х, мы бы знали и скорость ее изменения в любой момент времени ~. Не вдаваясь пока в обсуждение того, как именно по х(г) находить эту скорость, обозначим ее через х'(г). Поскольку функция х' = х'(г) порождается функцией х = х(1), ее в математике называют производной от функции х = х(1). (Как находить производную функции и многому другому учит дифференциальное исчисление. Оно впереди.) Теперь можно коротко записать, что нам дано: х'(1) = я х(1), причем х(0) = хе.
Хотим же мы найти саму зависимость х = х(1). Мы написали первое ди4ференциальное уравнение (1). Вообще, дифференциальными называют уравнения, содержащие производные (некоторые оговорки и уточнения здесь пока неуместны). Кстати, для упрощения текста в записи уравнения независимую переменную часто опускают.
Например, уравнение (1) пишут в виде х' = я х. Если бы искомая функция была обозначена буквой 1 или и, то то же уравнение имело бы вид 1' = Й 1 или и' = Й и соответственно. Уже сейчас ясно, что если мы научимся не только писать, но и решать или исследовать дифференциальные уравнения, то мы сможем многое узнать и предвидеть. Именно поэтому сакраментальная фраза Ньютона, относившаяся к новому исчислению, звучала примерно так: «Полезно решать дифференциальные уравнениями.
ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 649 Упражнение. Свяжите написанное уравнение с рассмотренным примером размножения в стакане. Каковы тут коэффициент й, начапьное условие х(0) = хс и сама зависимость х = х(1)? Попробуем по горячим следам записать уравнением еще несколько конкретных вопросов. 2. Допустим теперь, как это всегда и случается, что еды не бесконечно много и среда может прокормить не более чем М особей или биомассу, не превышающую значения М.
Тогда, надо полагать, скорость роста биомассы будет уменьшаться, например, пропорционально остающимся возможностям среды. За меру остающихся воэможностей можно взять разность М вЂ” х(1) или лучше взять безразмерную величину 1 — —. Этой ситуации вместо уравнения (1), очевидно отвечает х(4) М уравнение (2) которое переходит в (1) на стадии, когда х(Ф) еще много меньше М. Наоборот, когда х(1) близко к М, скорость роста становится близкой к нулю, т.
е. рост прекращается, что естественно. Как именно выглядит закон х = х(1) в этом случае, мы найдем позже, овладев кое-какими навыками. Упражнение. Тело, имевшее начальную температуру Тр, остывает в среде, имеющей постоянную температуру С. Пусть Т = Т11) закон изменения температуры тела во времени. Напишите уравнение, которому должна удовлетворять эта функция, считая, что скорость остывания пропорциональна разности температур тела и среды.
Скорость с(1) изменения величины х(1) мы назвали производной функции х = х(1) и обозначили х'(1). Ускорение а(1), как известно, это скорость изменения скорости с11). Значит а(г) = с'(1) = (х')'(1), т.е. по отношению к исходной функции это производная от ее производной. Она называется второй производной исходной функции и часто обозначается как х" (1). (Другие обозначения появятся позже.) Если мы умеем находить первую производную, то, повторяя процедуру, можно определить производную х(")(1) любого порядка п от исходной функции х = х(г). 650 ДОПОЛНЕНИЕ 1.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 3. Пусть, например, х = х(1) — закон движения точки массы т, т. е. координаты положения точки как функции времени. Для простоты будем считать, что движение происходит вдоль прямой (горизонтальной или вертикальной), тогда координата только одна. Классический закон Ньютона т а = Г, связывающий силу, действующую на точку массы т, с вызванной этим действием ускорением точки, теперь можно записать в виде т.
х" (1) = Г(1) или, сокращенно, т х" = Г. Если действующая сила Г(1) известна, то соотношение т х" = Г можно рассматривать как дифференциальное уравнение (второго порядка) относительно функции х(1). Например, если à — это сила тяжести у поверхности Земли, то Г = = тд, где д — ускорение свободного падения. В этом случае наше уравнение приобретает вид х" (1) = д. Как вы знаете, еще Галилей нашел, 1 что в свободном падении х(1) = -дг~ + 001+ хе, где хе — начальное положение, а 00 — начальная скорость точки.
Чтобы хотя бы проверить, что указанная функция удовлетворяет уравнению, уже надо уметь дифференцировать функцию, т. е. находить ее производную. В нашем случае нужна даже вторая производная. Чуть ниже мы приведем табличку некоторых функций и их производных. Вывод ее будет сделан позже во время систематического изложения дифференциального исчисления. А сейчас попробуйте сами сделать следующее.
Упражнение. Напишите уравнение свободного падения в атмосфере. В этом случае возникает сила сопротивления. Считайте ее пропорциональной первой (или второй) степени скорости движения. (Скорость свободного падения не растет до бесконечности именно ввиду присутствия силы сопротивления.) Итак, надо бы научиться вычислять производные. Скорость, производная, дифференцирование Рассмотрим сначала знакомую ситуацию, где мы можем обратиться к нашей интуиции (и сменим обозначение х(1) на я(1)). ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 661 в(1 + 6) — в(1) и(1) ° 6 (4) в(1+ Ь) — в(1) или, иначе, и(1), и это приближенное равенство тем точнее, чем меньше промежуток времени Ь, прошедший после моментами.
Значит, надо полагать, в(1+ 6) — в(1) и(г):= 1пп в — ~0 6 т.е. мы определяем и(1) как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последнее стремится к нулю. Теперь нам ничего не стоит, копируя этот пример, дать общее определение значения ~'(х) производной ~' функции у" в точке х: у (х) — — 1пп в — ~0 6 (5) т.е. у'(х) есть предел отношения приращения 1з) =,1(х + 6) — 1(х) функции к приращению Ьх = (х+ 6) — х ее аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Соотношение (5) можно переписать в подобной (4) другой и, быть может, самой удобной и полезной форме: у(х+ Ь) — ((х) = у'(х)6+ о(6), (б) где о(6) — некоторая величина (поправка), малая пв сравнению с 6 при стремлении 6 к нулю. (Последнее означает, что отношение о(6)/Ь стремится к нулю при стремлении 6 к нулю.) Проделаем несколько пробных расчетов. 1. Пусть у — постоянная, т.е. у'(х) = с. Тогда, очевидно, Ь~ = = ((х+ 6) — 1(х) ив в О и ('(х) = О, что естественно: скорость изменения равна нулю, если изменений нет. Пусть точка движется вдоль числовой оси, в(1) — ее координата в момент 1, а и(1) = в'(1) — ее скорость в тот же момент 1.
За промежуток времени 6, прошедший после момента 1, точка сместится в положение в(1+ Ь). По нашим представлениям о скорости, величина в(1+ 6) — в(1) перемещения точки за малый промежуток времени 6, прошедший после момента 1, и ее скорость и(1) в момент 1 связаны соотношением 652 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 2. Если г'(х) = х, то г" (х + 6) — 1(х) = 6, поэтому г'(х) = 1. А если ,г(х) = Йх, то 1(х + 6) — у(х) = 66 и 1'(х) = 6. 3. Кстати, тут можно сделать два очевидных, но весьма полезных общих наблюдения: если функция )' имеет своей производной 1', то функция с Г', где с — числовой множитель, имеет своей производной сГ', т.
е. (сГ)' = с1'; в этом же смысле (1+д)' = 1'+д', т.е. производная суммы функций равна сумме их производных, если последние определены. 4. Пусть 1(х) = хз. Тогда 1(х+ 6) — 1(х) = (х+ 6)2 — хз = 2х6+ 62 = = 2х6+ о(6), поэтому )'(х) = 2х. 5. Аналогично, если 1(х) = хз, то )'(х+ 6) — у(х) = (х+ 6)з хз Зх26+ Зх62+ 6з чх26+о(6) поэтому )'(х) = зхз. 6. Теперь понятно, что вообще, если 1'(х) = х", то поскольку 1(х+ 6) — )'(х) = (х+ 6)" — х" = пх" 6+ о(6), имеем 1'(х) = пх" г. 7. Значит, если имеем многочлен Р(х) = аех" + а1 х" +... + а„гх + а„, то 1 (х) 1'(х) Г'(х) ах1п а а*1п" а а*1па ех ех зш(х + пя/2) соз(х + пя/2) з1пх — з1пх — соя х соя х — з1пх сг(1+ х) а-1 соз х (1+ х) ха сг(гг — 1)(1+ х) сг(сг — 1)х Р'(х) = паех" ~ + (и — 1)агх" 2 +...
+ а„ь Пробное прощупывание определения производной сделали. Разрабатывать и осваивать технику и практику дифференцирования надо будет отдельно. А сейчас для примера и вашего сведения приведем небольшую табличку функций и их производных.
Потом мы ее получим, расширим и уточним. ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКПИЯ) 553 Упражнение. Считая, что столбец ~' правильный, проверьте столбец 1(") и дозаполннте таблицу, сняв вопросы. После этого вычислите в каждом случае значение ~(")(0). Упражнение. Попробуйте найти производную функции Дх) = е" и решение уравнения (1). Выясните, за какое время начальное состояние хр (капитзла, биомассы или еще чего-то, подчиняющегося этому уравнению) удвоится. Высшие производные, зачем? Замечательным и весьма полезным развитием центрального соотношения (6), которое можно переписать в виде 1(х+ 6) = 1(х) + 1'(х)6+ о(6), является следующая формула (формула Тейлора) (7) 7'(х+ 6) = 7'(х) + — 7"'(х)6+ — 7""(х)6~ +...
+ — 700(х)6" + о(6"). (8) Если положить здесь х = О, а потом букву 6 заменить буквой х, то получим Дх) = ДО) + —,('(0)х + —,~л(0)х~ +... + —,~1"1(0)х" + о(х"). (9) Например, если 7(х) = (1+ х)'*, то вслед за Ньютоном найдем, что в ~." о(о 1 2 о(о 1) ''(о и+1 в (1+х) =1+ — х+ х~+...+ х" +о(х"). П и.' (10) Иногда в формуле (9) можно продолжить суммирование до бесконечности, ликвидировав при этом поправочный член. Здесь е — число (е = 2,7...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
