1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Преобразование Лежандра. 26. Комплексное число в алгебраической и тригонометрической записи. Сходимость последовательности комплексных чисел и ряда с комплексными членами. Критерий Коши. Абсолютная сходимость и достаточные признаки т~п абсолютной сходимости ряда с комплексными членами. Предел 1пп (1 + -) ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 642 27. Круг сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Определение функций е', соя я, яш я (г е С).
Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций. 28. Дифференциальные уравнения как математическая модель явления, примеры. Метод неопределенных коэффициентов и метод ломаных Эйлера. 29. Первообразнал, основные общие приемы ее отыскания (почленное интегрирование слагаемых, интегрирование по частям, замена переменной). Первообразные основных элементарных функций.
11 семестр Интеграл (функции одной переменной) Дифференциальное исчисление функций многих переменных 1. Интеграл Римана на отрезке. Нижние и верхние суммы, их геометрический смысл, поведение при измельчении разбиения и взаимные оценки. Теорема Дарбу, верхний и нижний интегралы Дарбу и критерий интегрируемости по Риману вещественнозначной функции на отрезке(в терминах сумм колебаний).
Примеры классов интегрируемых функций. 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка). Множества меры нуль, их общие свойства, примеры. Пространство интегрируемых функций и допустимые операпии над интегрируемыми функциями. 3. Линейность, аддитивность и общая оценка интеграла. 4. Оценки интеграла от вещественнозначной функции. Теорема о среднем (первая). 5. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства.
Существование первообразной у непрерывной функции. Обобщенная первообразная и ее общий вид. 6. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в интеграле. Т. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с интегральным остатком. Вторая теорема о среднем. 8. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл. Общая схема появления интеграла в приложениях, примеры: длина пути (и ее независимость от параметризации), площадь криволинейной трапеции, объем тела вращения, работа, энергия. 9.
Интеграл Римана †Стилтье. Условия сведения к интегралу Римана. Дельта-функция Дирака и понятие обобщенной функции. Дифференцирование обобщенных функций и производная функции Хевисайда. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 643 10. Понятие несобственного интеграла. Канонические интегралы. Критерий Коши и теорема сравнения для исследования сходимости несобственного интеграла. Интегральный признак сходимости ряда. 11. Метрическое пространство, примеры. Открытые и замкнутые подмножества. Окрестность точки. Индуцированная метрика, подпространство. Топологическое пространство. Окрестность точки, отделимость (аксиома Хаусдорфа).
Топология, индуцируемая на подмножествах. Замыкание множества и описание относительно замкнутых подмножеств. 12. Компакт, его абсолютность. Замкнутость компакта и компактность замкнутого подмножества компакта. Вложенные компакты. Метрические компакты, е-сеть. Критерий метрического компакта и его конкретизация в пространстве Й". 13. Полное метрическое пространство. Полнота К, С, И", С" и пространства С[а,б] непрерывных функций относительно равномерной сходимости. 14.
Критерий непрерывности отображения топологнческих пространств. Сохранение компактности и связности при непрерывном отображении. Классические теоремы об ограниченности, максимуме и промежуточном значении для непрерывных функций. Равномерная непрерывность на метрическом компакте. 15. Норма (длина, модуль) вектора в векторном пространстве; важнейшие примеры. Пространство Х (Х, у) линейных непрерывных операторов и норма в нем. Непрерывность линейного оператора и конечность его нормы. 16.
Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений. Координатная запись дифференциала отображения ~: К'" — ~ И". Соотношения между дифференцируемостью, непрерывностью и наличием частных производных. 17. Дифференцирование композиции функций и обратной функции. Координатная запись полученных законов применительно к различным случаям отображений у: К вЂ” ~ К". 18.
Производная по вектору и градиент. Геометрические и физические примеры использования градиента (уровни функций, градиентный спуск, касательная плоскость; потенциальные поля; уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости, закон Бернулли, работа крыла).
19. Однородные функции и соотношение Эйлера. Метод размерностей. 20. Теорема о конечном приращении. Ее геометрический и физический смысл. Примеры приложений (достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных; условие постоянства функции в области). 21. Высшие производные и их симметричность. 22. Формула Тейлора. 23.
Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия внутреннего экстремума). 24. Сжимающие отображения. Принцип Пикара — Банаха неподвижной точки. 644 ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 25. Теорема о неявной функции. 26. Теорема об обратной функции. Криволинейные координаты и выпрямления. Гладкая поверхность размерности й в К" и касательная плоскость к ней.
Способы задания поверхности и соответствующие им уравнения касательного пространства. 27. Теорема о ранге и зависимость функций. 28. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших. 29. Условный экстремум (необходимый признак). Геометрическая, алгебраическая и физическая интерпретации метода Лагранжа. 30. Достаточный признак условного экстремума. ДОПОЛНЕНИЕ 1 МАТЕМАТИххЕСКИЙ АНАЛИЗ (вводная лекция для первого курса) Два слова о математике Математика — наука абстрактная. Например, она учит сложению, не спрашивая, считаем ли мы ворон, капитал или что-то еще. Поэтому математика одна из самых универсальных и общеупотребительных прикладных наук. В ней как науке, конечно, есть и еще много чего, почему к математике обычно относятся с уважением, например, она учит слышать аргумент и ценить истину.
Ломоносов считал, что математика ум в порядок приводит, а Галилей без обиняков сказал; «Великая книга природы написана языком математики». Подтверждения этому очевидны: все, кто желает читать эту книгу, изучают математику. Тут не только представители естественных наук или технических специальностей, но и гуманитарии. Например, на экономическом факультете МГУ есть кафедра математики, а в системе Академии наук есть Экономико-математический институт. Бытует даже мнение, что в науке столько от науки, сколько в ней математики.
Хотя сказано слишком сильно, но в общем-то зто довольно точное наблюдение. Имея атрибуты языка, математика, конечно, не сводится к собственно языку (иначе ее изучали бы скорее филологи). Математика умеет не только перевести вопрос на математический язык, но обычно доставляет и метод решения сформулированной математической задачи. Умение правильно поставить вопрос — большое искусство исследователя вообще и математика в частности. 646 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) Анри Пуанкаре — замечательный ученый, с именем которого студенты-математики встречаются почти в каждом математическом курсе, не без доли юмора подметил: «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами».
Например, точка — это и едва различимая в микроскоп частица, и самолет на планшете диспетчера, и город на карте, и планета на небосводе, и вообще все то, размерами чего можно пренебречь в рассматриваемых масштабах. Итак, абстрактные понятия математики и их взаимосвязи, подобно числу, обслуживают громадную сферу конкретных явлений и закономерностей.
'хисло, функция, закон К чудесам люди привыкают быстро и «Не может быть???» вскоре незаметно превращается в <Не может быть иначе(н». Мы уже настолько свыклись с тем, что 2+ 3 = 5, что не видим тут никакого чуда. А ведь тут не сказано, что два яблока и еще три яблока будет пять яблок, а сказано, что это так и для яблок, и для слонов, и для всего прочего.
Это мы уже отметили. Потом мы свыкаемся с тем, что а+ Ь = Ь+а, где теперь уже символы а и Ь могут означать и 2, и 3, и любые целые числа. Функция,или функциональная зависимость, †э очередное математическое чудо. Оно сравнительно молодо: ему, как научному понятию, всего три с небольшим сотни лет, хотя в природе и даже в быту мы с ним сталкиваемся никак не реже, чем со слонами или даже с теми же яблоками. Каждая наука или область человеческой деятельности относится к какой-то конкретной сфере объектов и их взаимосвязей. Эти связи, зависимости, законы математика описывает и изучает в отвлеченном и потому общеполезном виде, объединяя их термином у1унниия или функциональная зависимость у = у(х) состояния (значения) одной величины (у) от состояния (значения) другой (х).
Особенно важно то, что теперь уже речь не о постоянных, а о переменных величинах х и у, связанных законом 1. Функция приспособлена к описанию развивающихся процессов и явлений, к описанию характера изменения их состояний и вообще к описанию зависимостей переменных величин. дОпОлнение ь мАтемАтический АнАлиз (ВВОднАя лекция) 647 Иногда закон 1 связи известен (дан) (например, государством или технологическим процессом) и тогда в условиях действия закона ~ мы, например, часто стараемся так выбрать стратегию, т. е. состояние (значение) доступной нашему выбору независимой переменной х, чтобы получить наиболее благоприятное для нас в том или ином отношении состояние (значение) нужной нам величины у (учитывая, что у = ) 1х)).
В других случаях (и это даже интереснее) ищется сам закон природы 1, связывающий явления. И хотя это дело конкретных наук, математика и здесь бывает удивительно полезна потому, что часто по казалось бы очень малой исходной конкретной информации, которой располагают те или иные профессионалы, она, подобно Шерлоку Холмсу, способна сама дальше найти закон у (решая или исследуя некоторые новые, так называемые ди4ференциальные уравнения, которых не было у древних математиков и которые возникли с появлением дифференциального и интегрального исчисления на рубеже ХЧ11 — ХЧ111 веков усилиями Ньютона, Лейбница, их предшественников и последователей). Итак, открываем букварь современной математики.
Математическая модель явления (дифференциальное уравнение, или учимся писать) Одним из наиболее ярких и долго сохраняющихся впечатлений от школьной математики, конечно, является маленькое чудо, когда что-то вам неизвестное вы заколдовываете буквой х или там буквами х, у, потом пишете что-то вроде а х = 6 или какую-нибудь систему уравнений с 2х+у = 1, х — у=2, после чего парой математических заклинаний открываете то, что было неизвестно: х = 1, у = -1. Давайте попробуем научиться хотя бы писать уравнения в новой ситуации, когда нам надо найти не какое-то одно число, а неизвестный нам закон связи важных для нас переменных величин, т.е.
когда мы ищем нужную функцию. Рассмотрим некоторые примеры. Для определенности мы сначала будем говорить о биологии (размножении микроорганизмов, росте биомассы, экологических ограничениях и т. п.), но будет ясно, что при желании все это можно перенести в дру- 848 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) гие сферы и говорить о росте капитала, ядерной реакции, атмосферном давлении и так далее, и тому подобное. Для разминки полушуточный вопрос: Простейший организм, который ежесекундно размножается делением пополам (удвоением), положили в пустой стакан. Через одну минуту стакан наполнился. За какое время наполнится пустой стакан, если в него положить не один, а два этих простейших организма? Теперь ближе к делу и обещанным примерам. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
