1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Он, несмотря на идейную простоту, красоту и общность, предполагает несколько более продвинутую аудиторию слушателей, которые уже ознакомлены с некоторыми общематематическими понятиями, изложенными в начале второй части учебника. Во всяком случае именно такие сведения позволяют оценить реальную общность метода, который, кстати, без потери общности можно демонстрировать уже на простейших наглядных примерах в знакомых всем пространствах.
Некоторые напоминания о численных методах решения уравнений Фиксирован в соотношении Г(т, у) = О одну из переменных, мы получаем уравнение относительно другой, поэтому сначала полезно вспомнить, как решают уравнение у'1х) = О. 1) В зависимости от свойств функции )' предлагаются и способы решения.
ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 674 Например, если у — вещественнозначна, непрерывна и на концах отрезка (а,6] принимает значения разных знаков, то мы знаем, что на этом отрезке есть по крайней мере один корень уравнения 7" (х) = О и его можно искать последовательным делением отрезка. Разделив отрезок пополам, мы либо попадаем в корень, либо находим вдвое меньший отрезок, на концах которого функция имеет значения разных знаков. Продолжая процесс деления, получим последовательность (концов отрезков), которая сходится к корню уравнения. 2) Если у — гладкая выпуклая функция, то, следуя Ньютону, можно предложить значительно более эффективный в смысле скорости сходи- мости алгоритм отыскания единственного в этом случае корня.
Метод Ньютона, или метод касательных, состоит в следующем. Строим касательную в точке хв, находим точку х1 ее пересечения с осью абсцисс и, повторяя процесс, получаем рекуррентным соотношением последовательность точек, быстро сходящуюся к корню. (Оцените ско- 1 рость сходимости. Получите соотношение х„+1 = — (х„+ а/х„), позволяющее искать положительный корень уравнения х — а = О, а > О. Найдите ~/2 по этой формуле с нужной вам точностью и проследите, сколько дополнительных верных знаков появляется на каждом шаге).
3) Соотношение (1) можно переписать в виде (2) х .Н = д(ха) где д(х) = х — (у'(х)) ~у(х). Тем самым отыскание корня уравнения у(х) сводится к отысканию неподвижной точки отображения д, т.е. такой точки,что (3) х = д(х). Эта редукция, как нам известно, относится не только к методу Ньютона. В самом деле, уравнение 7'(х) = О равносильно уравнению Лу(х) = О (если существует Л 1), а последнее равносильно уравнению х = х + Лу(х). Полагая д(х) = х + Лу(х) (здесь Л может быть и переменной величиной), приходим к уравнению (3). ДОПОЛНЕНИЕ 5.
ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 675 Процесс решения уравнения (3), т.е. отыскания неподвижной точки отображения д в соответствии с рекуррентной формулой (2), когда найденное на предыдущем шаге значение функции становится ее аргументом на следующем шаге, как мы уже знаем, называется итерационным процессом или методом итераций. Этот циклический процесс удобен для реализации на компьютере. Если итерационный процесс (2) ведется в области, где ~д'(х)~ < д < < 1,то последовательность хо, х1 = д(хо) х2 д(х1) д (хо)~ Х„11 = д(Х„) = дп(ХО) всегда оказывается фундаментальной (последовательностью Коши). В самом деле, применяя теорему о конечном приращении, имеем )х„1.1 — х„) < д(х„— х„1) « ...
д" (х1 — хо), (4) откуда, применяя неравенство треугольника, находим )х„+ — Ц < )х„— х„~1)+... + )х„1. 1 — х„1. ! < < (д" +" +д"+ М вЂ” хо! < !х1 — хо! (5) 1 — д !х - х ! < !х1 — хо! д 1 — д (6) уклонения х„от неподвижной точки х. Задача. Нарисуйте несколько вариантов кривых у = д(х), пересекающих прямую у = х, и изобразите диаграмму, имитирующую итерационный процесс х„+1 = д(х„) отыскания неподвижной точки. Полезно заметить, что при т — 1 со из последнего неравенства получаем оценку ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 676 Принцип неподвижной точки.
Последние рассуждения (относящиеся к формулам (3) — (6)), очевидно, можно повторить в любом метрическом пространстве, в котором действует критерий Коши, т.е. где любая фундаментальная последовательность является сходящейся. Такие метрические пространства называются полными метрическими пространств ми. Например, К вЂ” полное метрическое пространство по отношению к стандартному расстоянию д(х', хо) = [х' — хо~ между точками х',хо е Я.
Отрезок 1 = (х е К [ ~х[ < 1) — также полное метрическое пространство относительно этой метрики. А если из К или из 1 удалить точку, то полученное метрическое пространство, очевидно, не будет полным. Задача. 1. Проверьте полноту пространств Р', С, С". 2. Покажите, что замкнутый шар В(а,г) = 1х е Х ~ д(а, х) < г1 радиуса г с центром а е Х в полном метрическом пространстве (Х, а) сам является полным метрическим пространством относительно индуцированной вложением В С Х метрики д. Напомним еще следующее Определение. Отображение д: Х -+ У одного метрического пространства (Х, дх) в другое (У, ду) называется сжимающим, если существует число д Е [О, 1[ такое, что для любых двух точек х', хо Е Х ду(д(х'),д(хо)) < Ч дх(х',хо) Например, если дифференцируемая функция д: К -+ К такова, что всюду [д'(х)[ < д < 1, то по теореме в конечном приращении [д(х') — д(хо)[ < д~х' — хо[ и д осуществляет сжимающее отображение.
Это же можно сказать и по отношению к дифференцируемому отображению д:  — > У выпуклого подмножества В нормированного пространства Х (например, шара В с К" ) в нормированное пространство У, если ~~д'(х) ~~ < д в любой точке х Е В.
Теперь мы можем сформулировать следующий принцип неподвижной точки. Сжимающее отображение д: Х вЂ” + Х полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку х. Эта точка может быть найдена итерационным процессом х„ь1 = = д(х„), начиная с любой точки хв Е Х. Скорость сходимости и оцен- ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 677 ка погрешности приближения даются неравенством 4х,х ) < д1х1,хв).
д 1-д (6') Доказательство этого утверждения было дано выше при выводе формул (4) — (6), где теперь вместо ~х' — ха~ всюду надо писать а(х', хо). Чтобы оценить пользу и масштаб действия сделанного обобщения, рассмотрим следующий важный пример. Пример, Ищется функция у = у(х), удовлетворяющая дифференциальному уравнению у' = ~(х, д) и начальному условию у(хо) = ув. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, перепишем задачу в виде следующего интегрального уравнения относительно неизвестной функции у(х): д(х) = до+ Я, Ю) д1. яо 17) Справа стоит некоторое преобразование д, которое делается над функцией у(х), и мы ищем неподвижную <точку< — функцию преобразования д.
ПУсть, напРимеР, 11х, д) = У, хв = О, а Уо = У(с). Тогда Речь идет о решении уравнения у' = д с начальным условием у(0) = 1, а (7) принимает вид х у(х) = 1+ у(1) ас. в (8) у1(х): — 1, гх дг(х) = 1+ / д (с)д~ = 1+ х, А ся гх дз(х) = 1+ ~ да Я<И = 1+ / (1+ ~)а о в = 1+ х+ -х, 1 г 2 1 1 у„(х) = 1 + — х + ... + — х", 1! п! а Видно, что мы идем к функции е~ = 1+ —,х+...
+ —,х + .. Проведем итерационный процесс, начиная, положим, с функции уо(х) = О. При этом последовательно получаем ДОПОЛНЕНИЕ б. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 878 Задача. Покажите, что если Щх, ут) — 1(х, уз))! < М))ут — уз((, то в окрестности точки хо итерационный процесс применим и в случае общего уравнения (7). Именно так Пикар (Епп1е Рьсагд, 1856 — 1941) искал решение дифференциального уравнения у~(х) = 1(х,у(х)) с начальным условием у(хо) = уо как неподвижную точку преобразования (7). Баках (81ерЬапе ВапасЬ, 1882 — 1945) сформулировал принцип неподвижной точки в приведенной выше абстрактной форме, в которой он часто называется принципом Бенаха неподвижной точки или принципом Пикара — Банаха.
Истоки его, однако, как мы видели, можно связывать и с Ньютоном. Теорема о неявной функции тРормулировка теоремы. Вернемся теперь к основному объекту нашего рассмотрения и покажем, что справедлива следующая тпеорема о неявной функции. Теорема. Пусть Х, У, Š— нормированные пространства (например, 2™, К", К" или даже Ж, И, И), причем У вЂ” полное пространство отпносительно метрики, индуцированной нормой. Пусть Е: И' -+ Š— отображение, определенное в окрестности Ит точки (хо, уо) й Х х У, непрерывное в (хо, уо) вместе с частной производной Г„'(х, у), котпорая предполагается существующей в Ит. Если Е(хо,уо) = 0 и существует (Еи(хо,уо)) ' (и 8(Е„'(хо,уо)) 'б < < оо), то найдутся окрестность П = П(хо) точки хо в Х, окрестность У = У(уо) тпочки уо в У и такая функция т' (7 — + У, непрерывная в хо, что (7 х У С Ит и (Е(х, у) = 0 в 17 х У) ~=~ (у = 7" (х), х Е П).
(9) Короче, при условиях теоремы заданное соотношением г (х, у) = 0 множество в пределах окрестности П х У является графиком функции У = 1(х). Доказательство существования неявной функции. < Вез ограничения общности и для сокращения записи будем считать, что (хо, уо) = (О, О), чего всегда можно добиться, перейдя к новым переменным х — хо и у — уо. ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 679 При фиксированном х будем решать уравнение г'(х, у) = 0 относительно у. Решение будем искать как неподвижную точку отображения д (у) = у — (Е„'(0,0)) Г(х,у) (10) — зто упрощенный вариант формулы Ньютона (1), когда коэффициент А (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
