1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 66
Текст из файла (страница 66)
а. Сделаем замену 2 = Сд — *. Поскольку 2' то Г /1 — 22 22 '1 2 В(совх, 31пх)(Ь' = Л 22 1+2 / и дело свелось к интегрированию рациональной функции. Однако такой путь часто приводит к очень громоздкой рациональной функции, поэтому следует иметь в виду, что в ряде случаев существуют и другие возможности рационализации интеграла. Ь. В случае интегралов вида ) В1совгх,е1п х) дх или 1 г(1дх) Нх, где г(и) — рациональная функция, удобна подстановка 2 = 1я х, ибо Выполнив указанную подстановку, получим соответственно | / 1 12 '1 сй й(совгх,в1пгх)сЬ = ( В1 ),1+2 1+2,~ +2 <Й г(Фд х) дх — г12) 22 ' 1 — гя 2х 2 совх = 2х~ 1+ сд— 2 Их 42 =, т.е 2 сов 2 2 1 сов х= 1+Фд х дх 42=, .е совг х 2ц*- 2 я1пх = гх 1+ ~д 2 2М дх = гх 1+Ц 2 Фдг х вщ х= г 1+сд х Ж дх = 1+юг ..
ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 372 11(1 1 12) с(1 или Д(1 — 12, 1) ~Ц. Пример 15. 3+ япх,/ 3+ 1+1~ 1+ 12 "( +в) 2 /' Ни ~й 2 /' 312+ 21+ 3 3 / 3 1 31+1 1 3162+1 = — агс16 — + с = — агс16 + с = — агс16 + с. 1/2 2~Г2 ~Г2 21/2 172 2 2 х Здесь мы воспользовались универсвльнои заменой 1 = 6 —. Пример 16. Г дх ( г(х (вш х + сов х)2 / сов2 х(16 х + 1)2 2= — +с=с— .+1)2 ~ (1+1)г 1+1 1+1 Пример 1Т. Их 1 совв Зх (2162 Зх — 3 + (1 + 162 Зх)) ,1 ГЗ1 3/ 312-2 3 2'У'ЗУ '12 2 Г дх 2 вш Зх — 3 сов2 Зх + 1 | д163х 3 / 31623х — 2 1 /' ди 1 и — 1 = — 1п +с= ЗЯ,/ и2 — 1 61/6 и+1 с. В случае интегралов вида д(совх, вшвх)япхох или д(соввх, япх)совхйх можно внести функции япх, сов х под знак дифференциала и сделать замену 1 = сов х или 1 = япх соответственно.
После замены эти интегралы будут иметь вид 373 6 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 16 Зх — 1/з /зз /зз+ 1 1 + с = — 1п баб 1 = — 1п 16Зх+ ~/гз Пример 18. совз х совг х 061пх (1 — 1 ) пз Г г дх = 7 7 61пгх 61п7х — 6 — 4 1 1 1 1 6 4 461п х 661п х '1 ' — 1 ) Ж=--1 +-1 +с= .
4 — ., +с. Ь. Первообразные вида Н(х, у(х)) Их. Пусть, как и в пункте 4 В(х у) — рациональная функция. Рассмотрим некоторые специ~хну Р альные первообразные вида где у = у(х) — функция от х. Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену х = х(1) так, что обе функции х = х(1) и у = у(х(1)) окажутся рациональными функциями от $, то х'(1) — тоже рациональная функция и Р4(х, у(х)) с1х = Шх(1), у(х(7)))х'(1) сМ, и ах+6 а.
ели у= Š— ~7 ~*+ где п Е И то полагая 8 = — ~, получаем 7 сх+ <Х зи — 6 х' = и' о — с 1™ и подынтегральное выражение рационализируется. Пример 19. т. е. дело сведется к интегрированию рациональной функции. Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции у = у(х). ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 374 Гз 1 12 Гз+ 1 +г — 2 гз г ~1 1)~1 + Г + 12) 2$ ) ( 1 2+1 1 — 1з,/ 1,3(1 — 1) 3(1 + Г + 12) ) 21 2 2 1' (г+2)+2 4 г 1 — гз 3 3 / гГ+ 1)2+ з 21 2 ,~(, ~ 1 1 — Хз 3 3 ~~, 2/ 4~ 2 2 / 11 — — агсгб — ~1+ — ~ + с, ,Гз,ГЗ 1, 2,/ з х где 1= ~/ х+1 Ь. Р - ~ -.Р. У.а, .д Г = 'Ы7~;-..
идет об интегралах вида и(,, 2Э7ь7.) г*. Выделяя полный квадрат в трехчлене ат2 + 6х + с и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к одному из следующих трех простейших: Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить соответственно или ~/22 + 1 = 1ц — 1, или ~IГ2 + 1 = à — ц; /~г 1 Г ц. или /à — 12 = гц~1. ~/г2 + 1 = гц + 1, ~(12 — 1 = ц(г — 1), или ~/42 — 1 = ц(г + 1), Л вЂ” г2 = ц(1 — г), или Л вЂ” 12 = ц(1+1), Эти подстановки были предложены еще Эйлером (см.
задачу 3 в конце параграфа). Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем первый интеграл к интегралу от рациональной функции. 375 17 ПЕРВООБРАЗНАЯ В самом деле, если Р + 1 = ги+ 1, то 1г+ 1 = 1гиг + 21и+ 1, откуда 2и иг и, в свою очередь, /~г+ 1 иг 1 — иг Таким образом, 1 и ~/гг + 1 выразились рационально через и, а следовательно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Интегралы (18) подстановками 1 = зЬ~р, 1 = сЬ~р, 1 = з1п~р (или 1 = сезар) соответственно приводятся также к тригонометрическои форме Пример 20. | = /' 72 ./-2 У ~-,„/Г.77Г~-1 / Ш вЂ” 1+ е+1 г и — 1 Полагая ~/гг+ 1 = и — 1, имеем 1 = и — 21и, откуда Ф = Поэтому 1+ — г 1и — — й+ Теперь остается проделать обратный путь замен: и = 1+ - 7~ + 1 и 1=т+1. Ж 1/ 1 1 — 1+ /юг+1 2| и †1 /' ди 1 + — = — 1п )и— 2,/ иг(и — 1) 2 1 1 и — 1 1 = — 1п )и — Ц + — 1п + — + с. 2 2 и 2и ГЛ.
Ь'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 376 с. Эллиптические интегралы. Очень важными являются также первообразные вида (19) где Р(х) — многочлен степени и > 2. Такой интеграл,как было показано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через элементарные функции. При и = 3 и и = 4 интеграл (19) называется эллиптическим, а при и > 4 — гиперэллиптическим. Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарными подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным эллиптическим интегралам: / *ч* (20) (21) (22) где Ь и /с — параметры, причем во всех трех случаях параметр Й лежит в интервале )О, 1[.
Подстановкой х = в1п~р эти интегралы можно свести к следующим каноническим интегралам или их комбинациям: (23) (24) (25) (1-,-й..ь р)Д:Й, р' Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллиптическими интегралаии первого, второго и третьего рода (в форме Лежандра). Через Г(й, ~р) и Е(а, ~р) обозначают эллиптические интегралы г 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 377 (23) и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые условиями Р(й, 0) = О и Ю(/с, 0) = О.
Функции Р(й,~р), Ь'(й,у) часто используются, и потому составлены достаточно подробные таблицы их значений для 0 < й < 1 и 0 < < ~р < я/2. Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассматривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называемыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптическими интегралами так же, как, например, функция егия с интегралом = агся(п ~р.
др (1 'г Задачи и упражнения 1. Метод Острасрадсковоп выделения рациональной части интеерала от прав льнвй рациональной дроби. Пусть * †правильн рациональная дробь; в(х) — многочлен, имею- Я(х1 щий те же корни, что и 1д(х), но кратности 1; 1дг(х) = — Я. Покажите, что а) Имеет место следующая формула Остроградского: (26) где *, 8('-'-'1 — правильные рациональные дроби, причем д" Ф) дх — трансцендентйая функция. (В силу этого результата дробь ' в (26) называется рациональной ча- Р. !ха Ог х стью интеграла ) 0ф дх.) Ь) В формуле Р(х) ( Р1 (х) '1 р(х) ь,(х) (,Яг(х) / а(х)' полученной дифференцированием формулы Остроградского, сумма справа после надлежащих сокращений приводится к знаменателю 1д(х). с) Многочлены д(х), чанг (х), а затем и многочлены р(х), Р, (х) можно найти алгебраическим путем, даже не зная корней многочлена 1„1(х).
Таким образом, рациональную часть интеграла (26) можно полностью найти, даже не вычислив всей цервообразной. '1М. В. Остроградский (1801 — 1861) — выдающийся русский механик и математик, один нз инициаторов прикладного направления исследований в Петербургской математической школе. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 378 б) Выделите рациональную часть интеграла (26), если Р(х) = 2х + Зхо + бх + бх + Гбхг+ Зх+ 2, Я(х) = х + Зх + 5х + 7х + 7хз+ 5х +Зх+1 (см. пример 17 в 8 5 этой главы). 2.
Пусть ищется первообразная В(совх, вьпх) дх, (27) где В(и, о) = и' — рациональная функция. Покажите, что а) если В( — и, о) = В(и, о), то В(и, о) имеет вид Вь(иг, о); Ь) если В( — и, о) = — В(и, о), то В(и, и) = и. Вг (иг, о) и подстановка 1 = сйп х рационализирует интеграл (27); с) если В( — и, — о) = В(и,о), то В(и,о) = Вз (-",ог) и подстановкаг = сбх рационализирует интеграл (27). 3. Интпеералы вида я(*,тглгь~~. ь*. (28) Р(х) ~ дх тит —,ь.—,.
ь Ь.— ~Ь'тгз —,ь..=,г (Ах+ В) дх Ь* — ь*+ьГ тггт+ ь+. а) Проверьте, что интеграл (28) приводится к интегралу от рациональной функции следующими подстпановками Эйлера: ь = ~+ь*~,+,г*, ь, — — если хь хг — действительные корни трехчлена ахг + Ьх + с. Ч *-хг' Ь) Пусть (хо,уо) — точка кривой у = ахг + Ьх + с, а 1 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (хо,уо) и пересекающей кривую в некоторой точке (х, у) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
