1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2. Барометрическая формула. а) Используя данные п.2 настоящего параграфа, получите формулу поправочного члена для учета зависимости давления от температуры столба воздуха, если эта температура подвержена изменениям (например, сезонным) в пределах х40'С. Ь) Найдите по формуле (9) зависимость давления от высоты при температурах — 40'С, 0'С, 40'С и сравните эти результаты с результатами, которые дает ваша приближенная формула из а). с) Пусть температура воздуха в столбе меняется с высотой по закону Т'Я = — оТо, где То — температура воздуха на поверхности Земли, а а ж ж 7 10 7 см '. Выведите при этих условиях формулу зависимости давления от высоты.
д) Найдите давление в шахте на глубинах 1 км, 3км, 9 км по формуле (9) и по формуле, которую вы получили в с). е) Воздух независимо от высоты примерно на 1/5 часть состоит из кислорода. Парциальное давление кислорода составляет также примерно 1/5 часть давления воздуха. Определенный вид рыб может жить при парциальном давлении кислорода не ниже 0,15 атмосфер. Можно ли ожидать, что этот вид встретится в реке на уровне моря? Может ли он встретиться в речке, впадающей в озеро Титикака на высоте 3,81км? 3. Радиоактивный распад.
а) Измеряя количество радиоактивного вещества и продуктов его распада в пробах пород Земли и считая, что сначала продукта распада вообще не было, можно примерно оценить возраст Земли (во всяком случае, с того момента, когда это вещество уже возникло). Пусть в породе имеется т г радиоактивного вещества и т г продукта его распада. Зная период Т полураспада вещества, найдите время, прошедшее с момента начала распада, и количество радиоактивного вещества в пробе того же объема в начальный момент.
Ь) Атомы радия в породе составляют примерно 10 ш часть всех атомов. Каково было содержания радия 10в, 10в и 5 10о лет тому назад? (5 10в лет ориентировочно считается возрастом Земли.) с) В диагностике заболеваний почек часто определяют способность почек выводить из крови различные специально вводимые в организм вещества, например креатин (еклиренс тесте).
Примером, иллюстрирующим обратный процесс того же типа, может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у больного, внезапно потерявшего много крови. Во всех этих случаях уменьшение количества введенного вещества (или, наоборот, восстановление недостающего количества) подчиняется закону ?Ч = Мое '?~, где А? — количество (или, иными сйзвами, число молекул) вещества, еще оставшегося в организме по прошествии времени 1 после введения количества ?чо, а т — так называемая постоянная времени: это время, по 354 ГЛ.
Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ прошествии которого в организме остается 1/е часть первоначально введенного количества вещества. Постоянная времени, как легко проверить, в 1,44 раза больше времени полужизни (или времени полураспада), по истечении которого в организме остается половина первоначального количества вещества. Пусть радиоактивное вещество выводится из организма со скоростью, характеризуемой постоянной времени ге, и в то же время спонтанно распадается с постоянной времени гр. Покажите, что в этом случае постоянная времени т, характеризующая длительность сохранения вещества в организме, определяется нз соотношения т ' = то + г '. я д) У донора было взято некоторое количество крови, содержащее 201 мг железа; для того чтобы компенсировать потерю железа, ему было велено принимать трижды в день в течение недели таблетки сернокислого железа, содержащие каждая 67мг железа.
Количество железа в крови донора восстанавливается до нормы по экспоненцивльному закону с постоянной времени, равной примерно семи суткам. Полагая, что с наибольшей скоростью железо из таблеток включается в кровь сразу же после взятия крови, определите, какая примерно часть железа, содержащегося в таблетках, включится в кровь за все время восстановления нормального содержания железа в крови. е) Больному со злокачественной опухолью было введено с диагностическими целями некоторое количество радиоактивного фосфора Рзз, после чего через равные промежутки времени измерялась радиоактивность кожи бедра. Уменьшение радиоактивности подчинялось экспоненциальному закону. Так как период полураспада фосфора известен — он составляет 14,3 суток,— по полученным данным можно было определить постоянную времени процесса уменьшения радиоактивности за счет биологических причин.
Найдите зту постоянную, если наблюдениями установлено, что постоянная времени процесса уменьшения радиоактивности в целом составляет 9,4 суток (см. выше задачу с)). 4. Пог ьоп1еяие излучения. Прохождение излучения через среду сопровождается частичным поглощением излучения этой средой. Во многих случаях (линейная теория) можно считать, что, проходя через слой толщиной 2 единицы, излучение ослабляется так же, как при последовательном прохождении через два слоя толщиной 1 каждый. а) Покажите, что при указанном условии поглощение излучения подчиняется закону 1 = 1ве ~~, где 1о — интенсивность излучения, падающего на поглощающее вещество, 1 — интенсивность после прохождения слоя толщиной 1, а я — коэффициент, имеющий размерность, обратную размерности длины.
Ь) Коэффициент й в случае поглощения света водой в зависимости от длины волныпадающегоевета,например, таков: ультрафиолет, я=1,4 10 ~ем "; синий, я=4,6 10 ясм ',зеленый, я=4,4 Гб Ясм '; красный, й=2,9 10 зсм '. Солнечный свет падает вертикально на поверхность чистого озера глуби- зб. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 355 ной 10 м. Сравните интенсивности каждой из перечисленных выше компонент солнечного света над поверхностью озера и на дне. 5. Покажите, что если закон движения точки х = х(1) удовлетворяет уравнению тх+ хх = 0 гармонических колебаний, то а) величина Е = — + — постоянна (Е = К + У вЂ” сумма кинетичетхгба Ьхгбб 2 2 в»хг 00 ЬхгоВ ской К = ™~ и потенциальной У = — *- энергий точки в момент 1); 2 2 Ь) если х(0) = 0 и х(0) = О, то х(с) = 0; с) существует и притом единственное движение х = х(1) с начальными условиями х(0) = хо и х(0) = оо. «1) Проверьте, что если точка движется в среде с трением и х = х(1) удовлетворяет уравнению тх+с«х+ йх = О, с«> О, то величина Е (см.
а) ) убывает. Найдите скорость этого убывания и объясните физический смысл полученного результата, учитывая физический смысл величины Е. 6. Движение нод действием гуковско60 центральной силы (плоский осциллятор). В развитие рассмотренного в п. б и задаче 5 уравнения (21) линейного осциллятора рассмотрим уравнение тг(1) = — кг(1), которому удовлетворяет радиус-вектор г(1) точки массы т, движущейся в пространстве под действием притягивающей центральной силы, пропорциональной (с коэффициентом пропорциональности й > 0) расстоянию ~г(1)~ от центра. Такая сила возникает, если точка соединена с центром гуковской упругой связью, например пружиной с коэффициентом жесткости Й. а) Продифференцироввв векторное произведение г(1) х г(1), покажите, что все движение будет происходить в плоскости, проходящей через центр и содержащей векторы го — — г(1о), йо — — г(1о) начального положения и начальной скорости точки (плоский осциллятор).
Если векторы го = г(1о), го = г(1о) коллинеарны, то движение будет происходить на прямой, содержащей центр и вектор го (линейный осциллятор, рассмотренный в п. 6). Ь) Проверьте, что орбитой плоского осциллятора является эллипс и движение по нему периодично. Найдите период обращения. с) Покажите, что величина Е = тг~(1) + йгг(1) сохраняется во времени. «1) Покажите, что начальные данные го = г(1о), го = г(1о) вполне определяют дальнейшее движение точки. 7. Эллиптичность планетных орбио». Предыдущая задача позволяет рассматривать движение точки под действием центральной гуковской силы происходящим в плоскости.
Пусть это ОР, Гук (1635 — 1703) — английский естествоиспытатель, разносторонний ученый н экспериментатор. Открыл клеточное строение тканей и ввел свм термин «клетка». Стоял у истоков математической теории упругости и волновой теории света, высказал гипотезу тяготения н закон обратных квадратов для гравитационного взаимодействия. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 356 плоскость комплексной переменной г = х + су.
Движение определяется двумя вещественными функциями х = х(С), у = у(С) или, что то же самое, одной комплекснозначной функцией г = г(С) времени с. Полагая для простоты в задаче 6 пс = 1, к = 1, рассмотрим простейший вид уравнения такого движения й(с) = — г(с). а) Зная из задачи 6, что решение этого уравнения, отвечающее конкретным начальным данным гс = г(Ся), хе = г(Се), единственно, найдите его в виде г(с) = осе' + сге " и, используя формулу Эйлера, проверьте еще раз, что траекторией движения является эллипс с центром в нуле (в определенных случаях он может превратиться в окружность или выродиться в отрезок— выясните когда) . Ь) учитывая, что величина ~й(С)(г + фС))г не меняется в процессе движения точки г(С), подчиненного уравнению й(С) = — г(С), проверьте, что точка ю(С) = гг(С) по отношению к новому параметру (времени) г, связанному с С соотношением т = т(С) таким, что т- — — ~г(С) ~, движется при этом, подчиняясь Лт г с уравнению — = — с —, где с — постоянная, а ю = ю(С(т)).
Таким образом, сг дт (ы)~ движения в центральном поле гуковских сил и движения в ньютоновском гравитационном поле оказались взаимосвязаны. с) Сопоставьте это с результатом задачи 8 из г 5 и докажите теперь эллиптичность планетных орбит. с() Если вам доступен компьютер, то, взглянув еще раз на изложенный в п.5 метод ломаных Эйлера, для начала подсчитайте этим методом несколько значений е*. (Заметьте, что кроме определения дифференциала, точнее, фоРмУлы У(х„) 1(х„с) + )'(х„с)й, где Ь = х„— х„с, метод ничего не использует.) Пусть теперь г(С) = (х(С),у(С)), ге = г(0) = (1,0), гс = г(0) = (0,1) и г(С) = — — тй-. Опираясь на формулы /т(с)!~ г(с„) = г(с„ ,) + в(с„ с)А, е(с„) = е(с„ с) + а(с„ с)Ь, где в(с) = т(с), а(с) = й(с) = г(с), методом Эйлера рассчитайте траекторию движения точки, посмотрите, какой она формы и как она проходится точкой с течением времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
