1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 59
Текст из файла (страница 59)
1ь Замечание 1. Первые доказательства теоремы о разрешимости в С любого алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (которую по традиции часто называют основной теоремой алгебры) были даны Даламбером и Гауссом, который вообще вдохнул вполне реальную жизнь в так называемые «мнимые» числа, найдя им разнообразные и глубокие приложения. Замечание 2. Многочлен с вещественными коэффициентами Р(л) = ао +...
+ апл", как мы знаем, не всегда имеет вещественные корни. Однако по отношению к произвольному многочлену с комплексными коэффициентами он обладает той особенностью, что если Р(ло) = = О, то и Р(ло) = О. Действительно, из определения сопряженного числа и правил сложения комплексных чисел следует, что (г~ + г2) = г» + л2.
Из тригонометрической формы записи комплексного числа и правил умножения комплексных чисел видно, что (г~ л2) = (т»е'»'> гзе«««) = т~г2е'рл -~.«» ) = = Г»Г2Е '~«"+«'») = Г»Е '«' Г2Е ия» = Л» ° Л2. можнык доказательств теоремы о минимуме непрерывной функции на отрезке, как в данном случае это было сделано в круге ~л~ < В.
ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 330 Таким образом, Р(го) = ао+ .. +а„гв = ао+ .. +иваго = ав+ .. +авэо = Р(го), и если Р(го) = О, то Р(хо) = Р(хо) = О. Следствие 1. Любой многочлен Р(г) = со + ... + с„г" степени и > 1 с комплексными коэффициентами допускает, и притом единственное с точностью до порядка сомножителей, представление в виде (34) Р(г) = с„(х — г1)... (г — г„), где хм...,г„б С (и, может быть, не все числа гм...,г„различны между собой). Из алгоритма деления (ьуголкомь) миогочлеиа Р(г) иа много- член Я(х) степени т < и находим, что Р(х) = д(г)фг) + г(г), где о(г) и т(г) — некоторые миогочлепы, причем степень г(х) меньше степени Я(г), т.е. меньше т.
Таким образом, если т = 1, то т(г) = г— просто постоянная. Пусть г1 — корень мпогочлепа Р(г). Тогда Р(г) = о(х)(г — г1) + т., и поскольку Р(х1) = г, то г = О. Значит, если г1 — корень мпогочлеиа Р(г), то справедливо представление Р(г) = (г — г1)д(г). Степень миогочлеиа о(г) равна п — 1, и с иим можно повторить то же самое рассуждение. По индукции получаем, что Р(х) = с(г — г1)...
(г — г„). Поскольку должно быть его = с„х", то с = с„. ~ Следствие 2. Любой многочлен Р(г) = ао+... +а„г" с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных многочленов с действительными коэффициенепами.
м Это вытекает из предыдущего следствия 1 и замечания 2, в силу которого вместе с гь корнем Р(г) является также число гь. Тогда, перемиожив в разложении (34) миогочлеиа скобки (х — хь)(х — аь), получим многочлеи г~ — (хь + аь)х + ~гь~~ второго порядка с действительными коэффициентами. ь1исло с, в нашем случае равное а„, вещественное, и его можно внести в одну из скобок разложения, не меняя ее степени. ь Перемножив одинаковые скобки в разложении (34), это разложение можно переписать в виде (35) 331 1 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Число й называется кратностью корня х . Поскольку Р(х) = (х — х )" Я(х), где фх;) ~ О, то Р'(х) = й (х — х ))' ~Я(х) + (х — х )~~Я'(х) = (х — х )~ 1В(х), где В(х,) = й,фхд) ~ О. Таким образом, мы приходим к следующему заключению. Следствие 3.
Каждый корень х мнохочленаР(х) кратностий > > 1 является корнем кратности й — 1 мнохочлена Р'(х) — производной Р(х). Пе будучи пока в состоянии найти корни многочлена Р(х), мы на основании последнего утверждения и разложения (35) можем найти многочлен р(х) = (х — х1)... (х — хр), корни х1,..., хр которого совпадают с корнями Р(х), но все они уже кратности 1. Действительно, по алгоритму Евклида сначала найдем многочлен д(х) — наибольший общий делитель Р(х) и Р'(х).
В силу следствия 3, разложения (35) и теоремы 2, многочлен д(х) с точностью до постоян- НОГО МНОжнтЕЛЯ РаВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ (Х вЂ” Х1) ' ... (Х вЂ” Хр) Я, ПОЗтОЬ -1 Ь вЂ” 1 му, поделив Р(х) на д(х), с точностью до постоянного множителя (от которого можно затем избавиться дополнительным делением на козффИЦИЕНт ПРИ Хх) ПОЛУЧИМ МНОГОЧЛЕН Р(Х) = (Х вЂ” Х1)... (Х вЂ” Хр). Рассмотрим теперь отношение В(х) = ~(-) двух многочленов, где Р1х1 Я(х) 3ь сопв1. Если степень Р(х) не меньше степени Я(х), то, применив алгоритм деления многочленов, представим Р(х) в виде Р(х) = = р(х)Я(х) + г(х), где р(х) и г(х) — некоторые многочлены, причем степень г(х) уже меньше, чем степень фх).
Таким образом, получаем представление В(х) в виде В(х) = р(х) + ф, где дробь ф уже правильная в том смысле, что степень г(х) меньше степени Я(х). Следствие, которое мы сейчас сформулируем, относится к представлению правильной дроби в виде суммы дробей, называемых простейшими. Следствие 4. а) Если Я(х) = (х — х1)~'...
(х — х )ье и ~~~ — правильная дробь, то существует и притом единственное представление дроби -® в виде Р(х) ( в адь (36) ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 332 Ь) Если Р(х) и фх) — многочлены с действительными коэффициентами и Я(х) = (х — х )~'... (х — х()ь'(х2+р,х+д ) '... (х2+р„х+(7„)'"", то суи(ествует и притом единственное представление правильной дроби щ-) в виде Р(х1 фх) ь~ / ы( где а(ь 6 ь, сол — действительные числа. Заметим, что универсальным, хотя и не всегда самым коротким способом фактического отыскания разложений 136) или 137) является метод неопределенных коэффициентов, состоящий в том, что сумма в правой части 136) или 137) приводится к общему знаменателю Я(х), после чего приравниваются коэффициенты полученного числителя и соответствующие коэффициенты многочлена Р(х).
Система линейных уравнений, к которой мы при этом приходим, в силу следствия 4 всегда однозначно разрешима. Поскольку нас, как правило, будет интересовать разложение конкретной дроби, которое мы получим методом неопределенных коэффициентов, то кроме уверенности, что это всегда можно сделать, нам от следствия 4 пока ничего больше не требуется. По этой причине мы не станем проводить его доказательство. Оно обычно излагается на алгебраическом языке в курсе высшей алгебры, а на аналитическом языке — в курсе теории функций комплексного переменного. Рассмотрим специально подобранный пример, на котором можно проиллюстрировать изложенное. Пример 17. Пусть Р(х) = 2х + Зхь+ бх + бх + 10х + Зх+ 2, х7 + Зхв + бхь + 7х4 + 7хз + бх2 + Зх + 1, требуется найти разложение (37) дроби — ь-ь. Р(х1 фх) Прежде всего, задача осложнена тем, что мы не знаем разложения многочлена ьзх).
Попробуем упростить ситуацию, избавившись от 333 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ кратности корней фх), если таковая имеет место. Находим Я~(х) = 7ха + 18х~ + 25х4 + 28хз + 21хг + 10х + 3. Довольно утомительным, но выполнимым счетом по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель Д(~) = х4 + 2хз + 2хг+ 2х+ 1 многочленов фх) и Я'(х). Мы выписали наибольший общий делитель с единичным коэффициентом при старшей степени х. Разделив Я(х) на с((х), получаем многочлен ц(х) = х +х +х+1, имеющий те же корни, что и многочлен Я(х), но единичной кратности.
Корень — 1 многочлена д(х) легко угадывается. После деления д(х) на х + 1 получаем хг + 1. Таким образом, д(х) = (х+ 1)(х + 1), после чего последовательным делением д(х) на х + 1 и х + 1 находим разложение а(х): ) ( + 1)г( г + 1) а вслед за этим и разложение Таким образом, в силу следствия 4Ъ) ищем разложение дроби ©(- в Р1х1 фх) виде Р(х) ап агг + + а13 611х + с11 61гх + с1г г)(х) х + 1 (х + 1)г (х + 1)3 хг + 1 (хг + 1)г + + Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты полученного в числителе многочлена и соответствующие коэффициенты многочлена Р(х), приходим к системе семи уравнений с семью неизвестными, решая которую, окончательно получаем Р(х) 1 2 1 х — 1 х+1 фх) х + 1 (х + 1)' (х + 1)' х' + 1 (х' + 1)' + + + ГЛ.
Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 334 Задачи и упражнения 1. Используя геометрическую интерпретацию комплексного числа а) поясните неравенства )г~+гэ) < 1э~)+)лэ( и )г~+...+г„! < )л~)+...+)л„); Ъ) укажите геометрическое место точек на плоскости С, удовлетворяющих соотношению !г — Ц+ !г+ Ц < 3; с) изобразите все корни степени и из 1 и найдите их сумму; 4) поясните действие преобразования плоскости С, задаваемого формулой г ьз тЬ 2. Найдите суммы: а) ! + о + ... + ?"; Ь) 1+ о+... + д" +... при ~д~ < 1; с) 1 + оке +... + е'"Ф; <1) 1+ тете +...
+ т"е'""; е) 1 + тесе+... + гое'"" +... при !т! < 1; 1) 1+ тсов~р+... + г" соятир; д) 1+тсоо1о+ .+т" солтир+... при !г~ < 1; Ь) 1+ тв1пьо+... + т" в1пп1о; 1) 1+ тийна+... + т" в1птир+... при !г~ < 1. 3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа !пп (1+ -') и убедип — ~со о тесь, что это число есть е'. 4. а) Покажите, что уравнение е = г относительно ю имеет решение ю = = 1и!я~ + 4Агяж Естественно считать ю натуральным логарифмом числа г. Таким образом, ю = Ьпг не есть функциональное соотношение, поскольку Аг3 -.
многозначен. Ь) Найдите Ьп1 и Ьпг'. с) Положим г = е ~" '. Найдите 1' и Р. с1) Используя представление ю = в1п л = —,(етл — е "), получите выражение 1 тл -и для э = агсв1п ю е) Есть ли в С точки, где ~ в1п л~ = 2? 5. а) Исследуйте, во всех ли точках плоскости С функция 1(л) = 1мл непрерывна. Ь) Разложите функцию э в степенной ряд при эо = 0 и найдите его 1 1 -~- г~ радиус сходимости. с) Решите задачи а) и Ь) для функции, где Л б К вЂ” параметр. !ел' " Не возникает ли у вас гипотезы относительно того, взаимным расположением каких точек на плоскости С определяется радиус сходимости? Можно ли было понять это, оставаясь на вещественной оси, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
