1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 60
Текст из файла (страница 60)
раскладывая функцию — л-ч, где Л с К и я с И? 1тЛ г 1б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 335 6. а) Исследуйте, является ли непрерывной функция Коши 1? г 10, О=О в точке з = О. Ь) Будет ли непрерывно ограничение Ди функции у из задачи а) на вещественную ось? с) существует ли ряд тейлора функции у из а) в точке зе — — О? д) Бывают ли аналитические в зе е С функции, ряд Тейлора которых сходится только в точке зе? е) Придумайте степенной ряд 2 сп(з — зе)", который сходится только в п=е точке зо. Т. а) Выполнив в степенном ряде 2 Ап(з — а)п формально подстановку п=е г-а = (я-ЗО)+(ге-а) И ПрИВЕдя ПОдООНЫЕ ЧЛЕНЫ, ПОЛуЧИтс ряд ~ Сп(З-ЗО)п п=е и выражения его коэффициентов через величины Аы (зе — а)ь, ?О = О, 1,... Ъ) Проверьте, что если исходный ряд сходится в круге ~з — а~ < В, а )ге — а! = г < В, то РЯДЫ, опРеделЯющие Сп, п = О, 1, ., сходЯтсЯ абсолютно и ряд 2 Сп(г — ге)п сходится при )з — ОО! <  — и.
п=е С) ПОКажИтЕ, ЧтО ЕСЛИ у(я) = ',> Ап(я — а)п В КруГЕ )г — а! < В, а (ОΠ— а! < п=е < В, то в круге )з — зе) <  — )ге — а( функция у допускает представление У(з) = Е Сп(я — зо)". п=е 8. Проверьте, что а) когда точка я Е С пробегает окружность |г~ = г ) 1, точка и = з+ г ' пробегает эллипс с центром 0 и фокусами в точках ~2; Ь) при возведении комплексных чисел в квадрат, точнее, при отображении ш ~-+ юз такой эллипс переходит в дважды пробегаемый эллипс с фокусом в нуле; с) при возведении комплексных чисел в квадрат любой эллипс с центром в нуле переходит в эллипс с фокусом в нуле.
8 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания В этом параграфе мы разберем несколько довольно далеких друг от друга по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяснится, имеют довольно близкие математические модели. Модель эта— ГЛ. Ч ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 336 не что иное, как простейшее дифференциальное уравнение для интересующей нас в задаче функции. С разбора одного такого примера— задачи двух тел — мы, кстати, вообще начинали построение дифференциального исчисления. Исследование той системы уравнений, которую мы при этом получили, пока нам недоступно. Здесь же будут рассмотрены вопросы, которые можно до конца решить уже на нашем нынешнем уровне.
Кроме удовольствия увидеть математический аппарат в конкретной работе, из ряда примеров этого параграфа мы, в частности, извлечем также дополнительную убежденность как в естественности возникновения показательной функции ехрт, так и в пользе ее распространения в комплексную область. 1. Движение тела переменной массы. Рассмотрим ракету, перемещающуюся прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс (рис. 45). тк тт Рис. 45.
Пусть М(Ф) — масса ракеты (с топливом) в момент ~; $"(г) — ее скорость в момент 8; ы — скорость (относительно ракеты) истечения топлива из сопла ракеты при его сгорании. Мы хотим установить взаимосвязь между этими величинами. В силу сделанных предположений, ракету с топливом можно рассматривать как замкнутую систему, импульс (или количество движения) которой поэтому остается постоянным во времени. В момент 8 импульс системы равен М(г) Р'(~). В момент ~+ 6 импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен М(~+6)Ъ'(~+6), а импульс Ы выброшенной за это время массы ~ЬМ~ = = ~М(1+6) — М(1)~ = — (М(1+6) — М(1)) топлива заключен в пределах (Ъ'(1) — ш))ЬМ! < Ы < Щ1+ 6) — ы)~ЬМ~, т.е.
11 = Щ1) — ш))ЬМ)+ а(6))ЬМ), причем из непрерывности Ъ'(8) следует, что о(6) -+ О при 6 -+ О. Приравнивая импульсы системы в моменты ~ и ~+ 6, имеем М(С) Ъ(й) = М(1 + 6) Ъ(й + 6) + (Ъ(й) — ш) ! ЬМ / + а(6) ! б М /, 5б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 337 или, после подстановки ~ЬМ~ = — (М(Ф+ Ь) — М(Ф)) и упрощений, М(1+ А)(У(1+ А) — У(1)) = = — ш(М(1 + Ь) — М(3)) + а(6)(М(1+ 6) — М(1)).
Деля последнее равенство на 6 и переходя к пределу при 6 -о О, получаем М(1) У'(1) = — ыМ'(1). (1) Это и есть искомое соотношение между интересующими нас функциями У(Ф), М(1) и их производными. Теперь надо найти связь между самими функциями У(г), М(1), исходя из соотношения между их производными. Вообще говоря, такого рода задачи много труднее задач нахождения соотношений между производными при известных соотношениях между функциями.
Однако в нашем случае вопрос решается вполне элементарно. Действительно, после деления на М(1) равенство (1) можно переписать в виде У'(1) = ( — ш1пМ)'(1). (2) Но если производные двух функций совпадают на некотором промежутке, то на этом промежутке сами функции отличаются разве что на некоторую постоянную. Итак, из (2) следует, что У(1) = — о11пМ(1) + с. (3) Если известно, например, что У(0) = Уо, то это начальное условие вполне определит константу с. Действительно, из (3) находим с = Уо+оз1пМ(0), а затем находим искомую формулу' ) У(1) = Уо+ы1п М(0) (4) ОЭта формула иногда связывается с именем К.Э.
Циолковского (1857 — 1935)— русского ученого, осиовоположиика теории космических полетов. Но, по-видимому, впервые оиа была получена русским механиком И. В. Мещерским (1859 — 1935) в его труде 1897 г., посвященном динамике точки переменной массы. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЗЗЗ Полезно заметить, что если пзк — масса корпуса ракеты, тт — масса топлива, а $' — конечная скорость, которую приобретает ракета после полной отработки топлива, то, подставляя в (4) М(О) = тк + тт и М(1) = тк, находим Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной скорости сказывается не столько отношение тт/тк, стоящее под знаком логарифма, сколько скорость истечения ы, связанная с видом топлива.
Из этой формулы, в частности, следует, что если $е = О, то, чтобы придать скорость Ъ' ракете, собственная масса которой пзк, необходимо иметь следующий начальный запас топлива: тт=тпк(е ~ — 1). 2. Барометрическая формула, Так называется формула, указывающая зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. Пусть р(Ь) — давление на высоте 6.
Поскольку р(Ь) есть вес столба воздуха над площадкой в 1 ем~, расположенной на высоте Й, то р(6 + Ь) отличается от р(й) весом порции газа, попавшей в параллелепипед с основаниями в виде исходной площадки в 1 ем~, расположенной на высоте Ь, и такой же площадки на высоте 6+ Ь. Пусть р(6) — плотность воздуха на высоте 6. Поскольку р(6) непрерывно зависит от и, то можно считать, что масса указанной порции воздуха может быть вычислена по формуле р®г/смз 1см~ Ьсм = рЯЬг, где ~ — некоторый уровень высоты в промежутке от 6 до 6+ Ь.
Значит, вес этой массы11 есть д р(с,)Ь. Таким образом, Поделив это равенство на Ь и перейдя к пределу при Ь -+ О с учетом того, что тогда и С -+ 6, получаем р'(Л) = -др(А). П В пределах наличия заметной атмосферы величину д можно считать постоянной. 16. пРимеРы пРилОжений В зАдАчАх естестВОзнАния 339 р~' — =В, Т (6) где  — так называемая универсальная газовая постоянная. Если М— масса одного моля воздуха, а )' — его объем, то р = —, поэтому из (6) М находим 1 М В В р= —.В Т= — — Т= р — Т. $' Ъ' М М Полагая Л = — Т, таким образом, имеем В р = Л(Т)р. (7) Если теперь принять, что температура описываемых нами слоев возду- ха постоянна, то из (5) и (7) окончательно находим р'(Ь) = --р(Ь) Л (8) Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде р'(Ь) д р(Ь) Л ( р)'(Ь) = (-дЬ), откуда 1пр(Ь) = — — Ь+ с, д р(Ь) ес е — 1д7л)и Множитель е' определяется из известного начального условия р(0) = ро, в силу которого е' = ро.
ОБ. П. Э. Клаиейрои (1799 — 1864) — французский физик, заиимавшийся термодииамикой. НУ, Томсон (лорд Кельвин) (1824 — 1907) — известиый английский физик. Таким образом, скорость изменения давления естественно оказалась пропорциональной плотности воздуха на соответствующей высоте. Чтобы получить уравнение для функции р(Ь), исключим из (5) функцию р(Ь). В силу закона Клапейрона' ) давление р, молярный объем Г и температура (по шкале Кельвиназ)) Т газа связаны соотношением ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 340 Итак, мы нашли следующую зависимость давления от высоты: -(д/л)л (9) Для воздуха при комнатной температуре (порядка ЗООК = 27'С) известно значение Л-7,7 105 (см/с)~. Известно также, что д=105 см/с~. Таким образом, формула (9) приобретает вполне законченный вид после подстановки этих числовых значений д и Л.
В частности, из (9) видно, что давление упадет в е (- 3) раз навысоте Ь = — = 7,7 10ьсм = Л 5 = 7,7 км. Оно возрастет во столько же раз, если опуститься в шахту на глубину порядка 7,7км. 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроизвольному (спонтанному) распаду. Это так называемая естественная радиоактивность. Основной статистический закон радиоактивности (справедливый, следовательно, для не слишком малых количеств и концентраций вещества) состоит в том, что количество распадов за малый промежуток времени Й, прошедший от момента 1, пропорционально 6 и количеству Х(Ф) не распавшихся к моменту Ф атомов вещества, т.
е. Х(1+ 6) — Х(1) — ЛХ($)Ь, где Л > 0 — числовой коэффициент, характерный для данного химического элемента. Таким образом, функция Х(5) удовлетворяет уже знакомому дифференциальному уравнению М'(1) = — ЛХ(Ф), (10) из которого следует, что )Л~($) = )Л~ое где Хо = Л(0) — начальное количество атомов вещества.
Время Т, за которое происходит распад половины из начального количества атомов, называют периодом полураспада. Величина Т находится, таким образом, из уравнения е л~ = 1, т. е. Т = +. = 9Л" — ". 1б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 341 Например, для полония Роаш Т = 138 суток, для радия На~~а Т- - 1600 лет, для урана П~з~ Т 7,1 103 лет, а для его изотопа П'за Т = 4,5 10а лет. Ядерная реакция — это взаимодействие ядер или взаимодействие ядра с элементарными частицами, в результате которого появляются ядра нового типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние ядер более легких элементов приводит к образованию ядер более тяжелого элемента (например, два ядра тяжелого водорода дают, с потерей массы и выделением энергии, ядро гелия); это может быть распад ядра и образование ядра (ядер) более легких элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
