1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В силу периодичности функций сов 1р и яп~р аргумент комплексного числа определен с точностью до величины, кратной 28, и символом Агя е обозначают множество углов вида у + 2як, к Е л,, где 1Р— какой-то угол, удовлетворяющий соотношению (7). Ксли желают, чтобы комплексное число однозначно определяло некоторый угол 1р Е Агяе, то договариваются заранее о диапазоне, в котором его выбирают.
Чаще всего зто бывает полуинтервал О < 1о < 2я или полуинтервал — я < 1р < я. Ксли такой выбор сделан, то говорят, что выбрана ее1пвь (или елаенал ветвь) аргумента. Значения аргумента в пределах выбранного диапазона обычно обозначают символом агя я Тригонометрическая форма (7) записи комплексных чисел удобна при выполнении операции умножения комплексных чисел. В самом деле, если 22 г2(сов 'Р2 + 1 81п 'Р2) 21 = т1(соыр1 + гяп~р1), то 81 82 = (г1 соя ~Р1+ 1г181пУ1)(г2 сов 1Р2+ 1г2Яп1Р2) = = (Г112 СО8 1Р1 СО8 ф2 — 111 281Пф1 81Пф2) + + ъ (г1 г2 81п 1о1 сов 1о2 + г, г2 сов 1о1 81п 1о2), или г1.22 = г1г2(сов(и11 + 1Р2) + г 81п(Р1 + У2) ). (8) Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Заметим, что мы на самом деле показали, что если 1Р1ЕАг821 и нрзб Агя 82, то (1Р1+ 1Р2) Е Агя (ггг2). Но, поскольку аргумент определен с точностью до 2як, можно записать, что Агя (г1 82) = Агя 21 + Агя 82, 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ понимая это равенство как равенство множеств, правое из которых есть совокупность чисел вида 1а1+ ря, где у1 Е Агб г1, а ря е Агб аз. Таким образом, сумму аргументов полезно понимать в смысле равенства (9).
При таком понимании равенства аргументов можно, например, утверждать,что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их модули и аргументы. Из формулы (8) по индукции вытекает следующая формула Муавра1): если г =г(совр+гешу), то яа =г"(сояп1е+гя)ппу). (10) С учетом разъяснений по поводу аргумента комплексного числа формулу Муавра можно использовать, чтобы в явном виде выписать все комплексные решения уравнения ха = а. Действительно, если а = р(соя 16 + ю'яш16) и в силу формулы (10) аа = г" (соя п~р+ ге)пп~р), то г = и р ри п1а = Ф+ 2я7с, 7с Е Ж, откуда 1рь = ~ + ф7с.
Различные комплексные числа получаются, очевидно, только при )с = О, 1,..., и — 1. Итак, мы находим п различных корней из а: /ф 2и '1,, /ф 2и за = ~/р соя ~ — + — Й) +1яп ~ — + — й( (й = 0,1,...,п — 1). ~1п п ) 1п п ) В частности, если а = 1, т. е. р = 1 и 4 = О, имеем /2и '1, /2и '1 ка = ОЯ = соя ( — й~ + г я)п ~ — и ~ ()с = О, 1,..., п — 1). '1 П Эти точки находятся на единичной окружности в вершинах правильного п-угольника. В связи с геометрической интерпретацией самих комплексных чисел полезно упомянуть о геометрической интерпретации арифметических действий над ними.
При фиксированном 6 Е С сумму з + 6 можно интерпретировать как отображение С в себя, задаваемой формулой л + з + 6. Это сдвиг плоскости на вектор 6. О А. Мукар (1бб7 — 1754) — английский математик. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 312 При фиксированном а = (а!(соя у+1я1п1о) ф О произведение ах можно интерпретировать как отображение х -1 ах С в себя, являющееся композицией растяжения в !а! раз и поворота на угол у Е Аг8а. Это видно из формулы (8). 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами. Расстояние (4) между комплексными числами позволяет определить е-окрестность числа хо е С как множество 1х н С ! !х — хо! < е) — это круг (без граничной окружности) радиуса е с центром в точке (хо, уо), если хо = хо + 1уо.
Будем говорить, что последовательность 1х„) комплексных чисел сходится к числу хо Е С, если 1пп (г„— хо! = О. и-~со Из неравенств шах1!хо — хо|, !Ув — уо!) < !хо — хо! < !хв — хв! + !у — ув! (11) видно, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности действительных и мнимых частей членов этой последовательности. По аналогии с последовательностями вещественных чисел последовательность комплексных чисел ~х„) называют фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого е > О найдется номер Х Е Ы такой, что при и, т > Х выполнено !г„— х ! < е.
Из неравенств (11) видно, что последовательность комплексных чисел фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности действительных и мнимых частей членов данной последовательности. Учитывая критерий Коши для вещественных последовательностей, мы, таким образом, на основании неравенств (11) заключаем, что справедливо следующее Утверждение 1 (критерий Коши). Последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Если сумму ряда комплексных чисел (12) понимать как предел его частичных сумм в„= х1 +... + х„при и -+ оо, то получаем также критерий Коши сходимости ряда (12). 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 313 Утверждение 2.
Ряд (12) сходится тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется число д! Е И такое, что при любььх натуральных и > т > Л1 ииеем !х +... + х„! < е. (13) Отсюда, как, впрочем, и из самого определения сходимости ряда (12), видно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы х„-+ О при и — 1 оо. Как и в вещественном случае, ряд (12) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 131|+~32!+ "+1х.!+ " (14) Из критерия Коши и неравенства !-+ .+ -! <! -1+ +!.! следует, что если ряд (12) сходится абсолютно, то он сходится. Примеры, Ряды 2 1 н 1) 1+ — г+ — г +...+ — хп+..., 1! 2! и! 3 1 5 2) г — — г' + — г 3! 5! 2 1 4 3)1 — — г + — х 2! 4! сходятся абсолютно при любом х Е С, ибо ряды 1) 1+ — !х!+ — !г( +..., 2 1! 2! 2') ф + †,)х( + †,)х! + ..., 3 1 5 3') 1+ — !г! + — )г! +..., 2 1 4 2! 4! как мы знаем, сходятся при любом значении ф Е К.
Заметим, что здесь мы воспользовались равенством (г"! = )г~". Пример 4. Ряд 1+ х+ 32+... сходится абсолютно при !г~ < 1, и его сумма равна л = —. При !г! > 1 он не сходится, так как в этом 1 случае общий член ряда не стремится к нулю. Ряды вида со + с1(г — хо) + . + с (х — хо) + . (15) называют степенными рядами. ГЛ. Ч. ДИФчзЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Применяя признак Коши (см. гл. П1, 8 1, п. 4) к ряду ! о! + 1с1(х — хоН + " + ! (х — хо)"! + " ., (16) заключаем, что он сходится, если — 1 !х — хо! < (1ип ~/Ц т — 1 и его общий член не стремится к нулю, если (г — го~ ) ~ 1шт ~/Я п — т ттз Отсюда получаем следующее 'Утверждение 3 (формула Коши — Адамарат)). Степенной ряд (15) сходится в круге (х — го~ < Л с иентпром в точке хо, радиус В котпорого определяется по формуле Коши — Адамара 1 В= 1пп утгс„! (17) Замечание.
По поводу сходимости на граничной окружности ~х — го~ = В в утверждении 3 ничего не говорится, поскольку здесь возможны все логически допустимые варианты. Примеры. Ряды 5) ~~1 г", п=1 и 6) т — х", п=1 1 7) ~~' — гхп п=1 сходятся в единичном круге ф < 1, но ряд 5) расходится всюду при ~х~ = 1; ряд 6) расходится при х = 1 и, как можно показать, сходится при х = — 1; ряд 7) сходится абсолютно при ~х~ = 1, так как ~ — хг ~ = —.
„г ~ „г' ПЖ. Адамар (1866 — 1963) — известный французский математик, В любой точке, внешней по отношению к этому кругу, степенной ряд расходится. В любой точке этого круга степенной ряд сходитпся абсолютно. 1 б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 315 Следует иметь в виду не учтенный в формулировке утверждения 3, но возможный вырожденный случай, когда в формуле (17) В = О. В этом случае, разумеется, весь круг сходимости вырождается в единственную точку го сходимости ряда (15). Из утверждения 3, очевидно, вытекает Следствие (первая теорема Абеля о степенных рядах). Если степенной ряд (15) сходип1ся при некотором значении х*, то он сходится и даже абсолютно при любом х, удовлетворяюи1ем неравенсгпву 1х — хо! < )г* — хо!. Те утверждения, которые пока были получены, можно рассматривать как простое развитие уже известных нам фактов.
Теперь докажем два общих утверждения о рядах, которые мы раньше не доказывали ни в каком виде, хотя частично обсуждали затрагиваемые в них вопросы. 'Утверждение 4. Если ряд г1 + хз +... + хп + ... комплексных чисел сходится абсолютно, то ряд хп, +хп, +...+хп„+..., полученный перестановкой1) еео членов, также абсолютно сходится и к той же сумме. м Учитывая сходимость ряда ~; )х„~, по числу е > О найдем номер ео п=1 1У Е 1ч так, что ,'1„)хп) < е. п=1Е.Ь1 Далее найдем номер К Е М так, что среди слагаемых суммы ва = = гп, +... +хо, при й > К содержатся все слагаемые, входящие в сумму вд = х1 +...
+ хд1. Если в = ~„хп, то мы получаем, что при й > К п=1 ) — Ва! < ) — В1Ч( + )В1У вЂ” ВЬ) < ~~1 )Хп) + ~~1 )Хп) < 2Е. п=г1-~-1 о=д1-~-1 Таким образом, показано, что вь -+ в при й — 1 оо. Если применить уже доказанное к рядам )г1~ + )хз! + ... + ~х„! + ... и )х„,! + + )х„, ! +...
+ )х„, ! +..., получим, что последний ряд сходится. Тем самым утверждение 4 доказано полностью. 1и о Членом с номером Й (й-м членом) второго ряда является член я„, с номером пь исходного ряда. Отображение )ч В й ~-+ пь Е 1ч предполагается биективным отображением множества натуральных чисел 1ч ГЛ. 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 316 Следующее утверждение будет относиться к произведению (а1 + аг + .. + ап + ...) .(61 + Ьг + .. + Ь + ...) рядов. Вопрос состоит в том, что если мы раскроем скобки и запишем всевозможные попарные произведения а;Ь, то в них нет естественного порядка суммирования, ибо есть два индекса суммирования.
Множество пар (г, 1), где г, у' Е 1Ч, как нам известно, счетно, поэтому можно написать ряд с членами а1Ь, взятыми в некотором порядке. От того, в каком порядке эти члены брать, может зависеть сумма такого ряда. Но, как мы только что видели, в абсолютно сходящихся рядах сумма не зависит от перестановки слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
