1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следствие 5. Если имеется композиция (~„о... о 1'1)(х) дифференцируемых функций у1 = (1(х),..., у„= ~„(у„~), то У. " о Л)'(Х) = У.'(У -1)Й-1(У -2) " Л (Х). ~ При п = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого и Н 1ч, то из теоремы 2 следует, что оно справедливо также для и+ 1, т. е. по принципу индукции установлено, что оно справедливо для любого и Е М ~ь Пример 5.
Покажем, что при а Е К в области х > О имеем -й — —— дх = ох ', т.е. с1х = ох 'ах, и (х+1ь) — х = ах~ й+о(6) при 6 — > О. < Запишем х = е м* и применим доказанную теорему с учетом результатов примеров 9 и 11 из 2 1 и пункта Ь) теоремы 1. 231 12. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИ<РФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Пусть д(у) = е" и у = 1'(х) = о 1пх. Тогда х" = (д о )') (х) и (дау)'(х) = д'(у) у'(х) = е" — = е 1"* — = х — = ах х х х Пример В.
Производная от логарифма модуля дифференцируемой функции часто называется логарифмической производной. Поскольку г'(х) = )п)Дх)~ = (1по ) ! о ()(х), то в силу результата примера 11 из 2 1 г'(х) = (1п ф)'(х) = Яч. Таким образом, д(1пф)(х) = дх = Г(х) Ч( ) Пример 7. Абсолютная и относительная погрешности значения дифференцируемой функции, вызванные погрешностями в задании аргумента. Ксли функция у дифференцируема в точке х, то 1(х+ 6) — 1(х) = 1'(х)6+ а(х;6), где а(х;6) = о(6) при 6-+ О. Таким образом, если при вычислении значения Дх) функции аргумент х определен с абсолютной погрешностью 6, то вызванная этой погрешностью абсолютная погрешность ~Дх + 6) — 1'(х)~ в значении функции при достаточно малых 6 может быть заменена модулем значения дифференциала )д) (х)6) = ~~'(х)6! на смещении 6.
Тогда относительная погрешность может быть вычислена как от- ~У ~дскб ~У ! с~ ношение ьУ вЂ” ~~~ — ( = ь-с~-*-~-1 или как модуль произведения ~ ~ — ~ — *~ ~ ~6~ лога- 1У(*)! 1У(*)! ) У(х) рифмической производной функции на величину абсолютной погрешности аргумента.
Заметим, кстати, что если Дх) = 1пх, то оПпх = ~~ и абсолютная погрешность в определении значения логарифма равна относительной погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно используется, например, в логарифмической линейке (и многих других приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы связали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой записали число х = е". Тогда у = 1пх. Одна и та же числовая полуось ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 232 оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравномерной (ее называют логарифмической) шкалой х. Чтобы найти 1пх, надо установить визир на числе х и прочитать наверху соответствующее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку не зависит от числа х или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой величиной Ьу (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной шкале, то при определении по числу х его логарифма у мы будем иметь примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относительную погрешность во всех частях шкалы.
Пример 8. Продифференцируем функцию и(х)"1*), где и(х) и о(х) — дифференцируемые функции и и(х) ) О. Запишем и(х)"1 ) = = е")х) '""1х) и воспользуемся следствием 5. Тогда д~ 1*)! (х) / / = е (*) ""(*) ~ о'(х) 1п и(х) + и(х) дх и(х) = и(х)ы х) и'(х) 1пи(х) + и(х)и(х)™~ и'(х). 3. Дифференцирование обратной функции Теорема 3 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции ~: Х вЂ” » У, )' 1: У вЂ” » Х взаимно обратны и непрерывны в точках хо Н Х и ) (хо) = уо Н У соответственно. Если функция ~ дифференцируема в точке хо и ~'(хо) ~ О, то функция )' 1 также дифференцируема в точке уо, причем (Г ) Ьо) = (У (хо)) ~ Поскольку функции 1': Х вЂ” » У, ~ 1: У » Х взаимно обратны, то величины ~(х) — )" (хо), ) 1(у) — ) 1(уо) при у = )'(х) не обращаются в нуль, если х ~ хо.
Из непрерывности ) в хо и ) ' в уо можно, кроме того, заключить, что (Х Э х — » хо) ~=» (У З у -+ уо). Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим У 'Ь) — 1 'Ьо) „. х — хо ГЭО- Оь у — уО ХЭ хь У(Х) — ДХО) 1 1 1пп - (лв:лы) с( ) х — хо 1 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 233 Таким образом, показано, что в точке уо функция / г: У -+ Х имеет производную и (Г ) (уо) = (/ (хо)) Замечание 1.
Если бы нам заранее было известно, что функция / г дифференцируема в точке уо, то из тождества (/ г о /)(х) = х по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что (/ г) (уо) /'(хо) = 1. Замечание 2. Условие /'(хо) ~ О, очевидно, равносильно тому, что отображение Ь ~ /'(хо)6, осуществляемое дифференциалом д/(хо): ТР(хо) -+ ТР(уо), имеет обратное отображение [д/(хо)] ': ТР(уо) — ~ — ~ ТР(хо), задаваемое фоРмУлой т ~в (/'(хо)) гт. Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоремы 3 можно было бы записать следующим образом: Если функция / дифференцируема в точке хо и в этой точке ее дифференциал д/(хо): Траха) — > ТК(уо) обратим, то дифференциал фрнкЦии / г, обРатной к /, сргдестврет в точке Уо = /(хо) и Явллется отображением дГ (уо) = [д/(хо)]: ТР[уо) ~ Тяг(хо) обратным к отображению д/(хо): ТР1[хо) -+ ТР(уо). Пример 9.
Покажем, что агсвш'у = ~ при [у[ < 1. Функции г~ Ог вш: [ — к/2, к/2] — ~ [ — 1, 1] и агсв1п: [ — 1, 1] — ~ [ — к/2, к/2] взаимно обратны и непрерывны (см. гл. 1Ъ', 32, пример 8), причем вш'х = сов х ~ О, если ]х] < к/2. При ]х[ < к/2 для значений у = вшх имеем [у[ < 1. Таким образом, по теореме 3 1 1 1 1 агсвш' у— ,гГ- вР, гГ- ю' Знак перед радикалом выбран с учетом того, что совх > 0 при [х[ < к/2. Пример 10.
Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из 3 2 гл. 1Ч), что агссов у = — при [у[ < 1. 1 /1 уг 234 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Действительно, 1 1 1 1 агссов' у— А:7~ /Г- у'' Знак перед радикалом выбран с учетом того, что вшх > О, если 0 < < х < к.
Пример 11. агс13'у =, у Е 2. 1+ у" Действительно, г агс13' у = —, =сов х= гя х ~ 1 ~ 1+13~х 1+уз ~см х/ Пример 12. агсс13'у = —, у е К. 1 1+ у" Действительно, г 1 1 ° 2 агсс13'у =, =, = — вшзх =— г с13'х ( 1 ) 1+его х 1+у2 в1п х/ Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из 2 1), что функции у = /(х) = а и х = /' (у) = 1оя х имеют производные Г'(х) = = а*1па и (/ 1) (у) = Проверим, как зто согласуется с теоремой 3: 1 1 1 Г(х) а'1па у1па' 1 1 Пх) =, = ., = у1па = а*1па. 1/' ')'1у) (,1 ') Пример 14. Гиперболические, обратпные зиперболические функции и их производные.
Функции 1 вЬх = — (е* — е *), х сЬх = — (е*+ е *) 2 12. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 235 называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом ) от х. Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции зщх, соз х. Заметим,что вЬ( — х) = — зЬх, сЬ( — х) = сЬх, т.е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная. Кроме того, очевидно следующее основное тождество: сЬ2 х — вЬ2 х = 1. Графики функций у = зЬ х и у = сЬ х изображены на рис.
19. Из определения функции вЬх и свойств функции ех следует, что вЬх — непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно )а на К. Обратная функция к зЬх, таким образом, существует, определена на 2„ непрерьгвна и строго монотонно возрастает. Ее обозначают символом (читается «арса-синус2) от у»).
Эту функцию легко выразить через уже известные. Решая уравнение Рис. 19. х (ех е-х) = у относительно х,найдем последовательно Ех = у+ ~/1 + у2 '1От лат. ыппя Ьуре«Ьо1к», сояцщв ЬурегЬо1кг. ~»Полное название — агеа ыппя ЬурегЬо11с1 (лапь); почему здесь используется термин «площадь» (агеа), а не «дуга» (агапа), как в круговых функциях, выяснится несколько позже. ГЛ. У.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 236 (е* > О, поэтому е* ф у — ,/Г+ у2) и х = 1п (у + ;/1 + у2). Итак, агзЬу = 1п (у+ /1+ у2), у Е Щ. Аналогично, используя монотонность функции у = сЬ х на участках 2 = (х Н К ! х < 0), К~ — — (х Е 2 ~ х > 0), можно построить функции агсЬ у и агсЬ~у, определенные для у > 1 и обратные к ограничению функции сЬх на К и Я соответственно. Они задаются формулами агсЬ у — 1п (у — ~/у — 1), ахсЬ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
