1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. действительно является отношением эквивалентности. Класс эквивалентных между собой в точке а функций называется ростком функций в данной точке а. Если рассматривают только непрерывные функции, то говорят о ростке непрерывных функций в точке а. Локальные свойства функций — зто свойства ростков функций. а) Определите арифметические операции над ростками числовых функций, заданными в одной и той же точке.
Ь) Покажите, что арифметические операции над ростками непрерывных функций не выводят из этого класса ростков. з 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 201 с) Покажите, учитывая а) и Ь), что ростки непрерывных функций образуют кольцо — кольцо ростков непрерывных функций. д) Подкольцо 1 некоторого кольца К называется идеалом кольца К, если произведение любого элемента кольца К и элемента подкольца 1 лежит в 1. Найдите идеал кольца ростков функций, непрерывных в точке а. 15.
Идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца. Множество С[а, Ь] функций, непрерывных на отрезке, образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций. Найдите максимальные идеалы этого кольца. ГЛАВА 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ З 1. Дифференцируемая функция 1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, следуя Ньютону1), мы хотим решить кеплерову2) задачу двух тел, т.е.
хотим объяснить закон движения одного небесного тела т (планета) относительно другого тела М (звезда). Выберем в плоскости движения декартову систему координат с началом в М (рис.13). Тогда положение т в момент времени $ можно охарактеризовать численно координатами (х(1),у(1)) точки т в этой системе координат. Мы хотим М найти функции т(1), у($). Движением т относительно М управляют два знаменитых закона Ньютона: общий закон деижения та=Г, ОИ. Ньютон (1642 — 1727) — английский физик, механик, астроном и математик, крупнейший ученый, сформулировавший основные законы классической механики, открывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Лейбницем) основы дифференциального и интегрального исчисления. Оценен был уже современниками, которые на его могиле начертали: «Здесь покоится то, что было смертного у Ньютона».
ЕИ, Кеплер (1571 — 1630) — знаменитый немецкий астроном, открывший законы движения планет (законы Кеплера). 11. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 203 связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через коэффициент пропорциональности т — инертную массу тела' ), и закон всемирноео тяготения, позволяющий найти гравитационное воздействие тел т и М друг на друга по формуле тМ л' = С вЂ” и, ~г~з (2) где т — - вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом теле, ~ г~ — длина вектора г, или расстояние между тп и М. Зная массы пт, М, по формуле 12) без труда выражаем правую часть уравнения (1) через координаты х(г), у(1) тела т в момент 1, чем исчерпываем всю специфику данного движения.
Чтобы получить теперь соотношения на х(г), у(2), заключенные в уравнении (1), необходимо научиться выражать левую часть уравнения (1) через функции х(г), у(1). Ускорение есть характеристика изменения скорости и(т), точнее, просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи прежде всего необходимо научиться вычислять скорость и(г), которую имеет в момент 1 тело, движение которого задается радиус-вектором И) =('И), ()) Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную скорость тела, которую подразумевает закон движения (1).
Измерить — -значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае может служить эталоном для определения мгновенной скорости движения? Наиболее простым видом движения является такое, которое совершает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за любые равные промежутки времени происходят равные 1как векторы) перемещения тела в пространстве.
Это так называемое равномерное (прямолинейное) движение. Если точка движется равномерно, г(0) и г(1) — ее радиус-векторы относительно инерциальной системы координат в моменты 1 = 0 и 1 = 1 соответственно, то в любой момент времени будем иметь г(т) — г(0) = и (3) где и = г(1) — г(0). Таким образом, перемещение 1(т) — 1(0) оказы- ПМы обозначили массу символом самого тела, но зто не приведет к недоразумениям. Заметим также, что если т СС М, то выбранную систему координат можно считать инерциальной, 204 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вается в простейшем случае линейной 4ункциеб времени, причем роль множителя пропорциональности между перемещением г(1) — г(0) и временем 1 играет в данном случае вектор е перемещения за единицу времени.
Этот вектор и называется скоростью равномерного движения. То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения его траектории: г(1) = г(0)+ 0.1, являющегося (см. курс аналитической геометрии) уравнением прямой. Мы знаем, таким образом, скорость 0 равномерного прямолинейного движения, задаваемого формулой (3).
По закону инерции, если на тело не действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямолинейно. Значит, если в момент 1 экранировать действие тела М на тело т, то последнее продолжит свое движение уже равномерно с некоторой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать, что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в момент 1. Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чистой абстракцией,не дающей никаких рекомендаций для конкретного вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство первостепенной важности, которое мы сейчас обсудим. Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочногов) круга, в который мы вошли, написав уравнение движения (1), а затем принявшись выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из уравнения (1) можно сделать следующие эвристические выводы.
Если силы отсутствуют, т. е. Р = О, то ускорение тоже равно нулю. Но если скорость а(1) изменения скорости я(1) равна нулю, то, по-видимому, сама скорость я(1) вообще не меняется со временем. И мы приходим к закону инерции, по которому свободное тело действительно движется в пространстве с постоянной во времени скоростью. Из того же уравнения (1) видно, что ограниченные по величине силы способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но если на отрезке времени [0,1] абсолютная величина скорости изменения некоторой величины Р(1) не превышала некоторой постоянной с, то, по нашим представлениям, изменение ~Р(1) — Р(0) ~ величины Р за время 1 не превышает с 1, т.е.
в этой ситуации за малый промежуток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция РЯ оказывается непрерывной). Значит, реальная механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры. 205 а 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ В частности, скорость и(1) тела т во все моменты времени ~, близкие к некоторому моменту ~о, должна быть близка к значению и(~о), которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в малой окрестности момента 10 должно мало отличаться от равномерного движения со скоростью и(~о), причем тем меньше отличаться, чем меньше мы уходим от 10.
Если бы мы сфотографировали траекторию тела т через телескоп, то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее: Рис. 14. Представленный на фотографии с участок траектории соответствует столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить истинную траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле на этом участке похожа на прямолинейную, а движение — на равномерное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить, что, решив задачу об определении мгновенной скорости (а скорость— векторная величина), мы одновременно решим и чисто геометрический вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в данном случае служит траектория движения). Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть и(й) — и(йо) при 8, близких к 10, т.
е. и($) + о(10) при 1 -ь 20 или, что то же самое, о(1) = о(10) + о(1) при 1 — ~ 10. Тогда должно быть также гИ) — г(20) = о(~а) (~ — со) при 2, близких к 8о, точнее, величина смещения г(8) — г(10) эквивалентна и(10)(1 — 10) при 1 — > 10, или гЯ вЂ” г(~о) = и(~о)(~ — ~а) + о(и(~аН2 — ~о)), (4) где о(и(20)(1 — 20)) есть поправочный вектор, величина которого при ~ -+ 10 стремится к нулю быстрее, чем величина вектора о(~о)(2 — ~о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
