1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2' Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном изменении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот, не приняв по дороге значения нуль. 3' К описательным высказываниям типа 2' следует относиться с разумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается больше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную — 1 на отрезке [О, 1] и равную 1 на отрезке [2,3]. Ясно, что эта функция непрерывна на области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание показывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторого свойства ее области определения (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным).
Следствие теоремы 2. Если 4ункиия у непрерывна на интервале и в каких-то точках а и Ь интервала принимает значения р(а) = А и 1р(Ь) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с, лежащая между гаечками а и Ь, е котпорой р(с) = С. < Отрезок 1 с концами а, Ь лежит в нашем интервале, поэтому функция 7" (х) = ~р(х) — С определена, непрерывна на 1 и, поскольку ГЛ.
1Ч. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 188 з (а) Д6) = (А — С)( — С) < О, по теореме 2 между а и 6 найдется точка с, в которой у'(с) = р(с) — С = О. ~ь Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении). Функция, непрерыеная на отрезке, ограничена на нем. При этом на отрезке есть точка, где функция принимает максимальное значение, и есть точка, где она принимает минимальное значение. м Пусть (': Š— ~ И вЂ” непрерывная функция на отрезке Е = [а,6]. В силу локальных свойств непрерывной функции (см.
теорему 1) для любой точки х Н Е найдется окрестность П(х) такая, что на множестве Пе(х) = Ь' Г1 П(х) функция ограничена. Совокупность таких окрестностей 11(х), построенных для всех точек х Е Е, образует покрытие отрезка [а,6] интервалами, из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему с1(х1),..., У(х„) интервалов, покрывающих в совокупности отрезок [а, 6].
Поскольку на множестве Е Г1 П(хь) = Пе(хь) функция ограничена, т.е. ть < 1(х) < Мы где ть, Мь Е И и х Е Пе(хь), то в любой точке х Е Е = [а,6] имеем т1п(тп.,.,т„) < 1(х) < шах(М1,...,М„). Ограниченность функции на отрезке [а, 6] установлена. Пусть теперь М = зпр Дх). Предположим, что в любой точке х е Е лЕЕ (у (х) < М). Тогда непрерывная на Ь' функция М вЂ” Дх) нигде на Е не обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция, с одной стороны, в силу локальных свойств непрерывных функций, непрерывна на Е, а с другой †ограничена на Ь', что противоречит уже доказанной ограниченности функции, непрерывной на отрезке. Итак, существует точка хм Н [а, 6], в которой Дхм) = М.
Аналогичным образом, рассмотрев т = 1пгДх) и вспомогатель- 1 хЕЕ ную функцию (-) — —, докажем, что существует точка х,„Е [а,6], в которой у(х ) = т. ь Заметим, что, например, функции у1(х) = х, уг(х) = — непрерывны 1 на интервале Ь' =]О, 1[, но 11 не имеет на Е ни максимального, ни минимального значений, а функция уг не ограничена на Е.
Таким образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны 12, СВОЙСТВА НВНРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 189 с некоторым свойством области определения, а именно с тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Такие множества мы впоследствии назовем комиактами. Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим Определение 1. Функция у: Е -+ в1 называется равномерно непрерывной на множестве Е С К, если для любого числа в > О найдется число б > О такое, что для любых точек х1, хз Н Е таких, что ~х1 — хз ~ < < б, выполнено ~Дх1) — ~(хз)~ < е.
Короче, (у: Е -+ К равномерно непрерывна):= =(й>О Лб>0 Чх1ЕЕ ЧхзЕЕ (~х1 — хз~ <б~ ~!У(х1) — у( гИ < в)). Обсудим понятие равномерной непрерывности. 1' Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном определении положить х1 = х и хз = а и мы видим, что определение непрерывности функции 1: Š— ~ 11 в точке а Н Е удовлетворено.
2' Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномерную непрерывность. Пример 4. Уже неоднократновстречавшаяся намфункция11х) = = ейп 1 на интервале ]0,1~ = Е непрерывна. Однако в любой окрестности точки О в множестве Е функция принимает как значение — 1, так и значение 1, поэтому при в < 2 для нее уже не выполнено условие йх1) — У(хз)~ < в Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства функции быть равномерно непрерывной: (1: Е -+ К не является равномерно непрерывной):= = (зв > О Ы > О Зх1 е Е Лхз е Е ((х1 — хз( < б л л )~(х1) — 1(хз)) > в)). Рассмотренный пример делает наглядным различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве.
Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности, ГЛ. 1Н. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 190 откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того, что значит, что функция 1: Е -+ К непрерывна на множестве Е: (у: Š— 1 К непрерывна на Ь'):= = (яа е Е 'й > О эБ > О Чх Е Е (~х — а~ < д ~ (Дх) — у(а)) < з)). Таким образом, здесь число б выбирается по точке а Е Е и числу з и потому при фиксированном з может меняться от точки к точке, как это и происходит в случае функции з1п —, рассмотренной в примере 1, или 1 в случае функции 1об, х или а, рассматриваемых на полной области их определения. В случае же равномерной непрерывности гарантируется возможность выбора д только по числу з > 0 так, что во всех точках а Е Е из )х — а) < б при х Н Е будет следовать )((х) — 1(а)~ < з. Пример 5.
Если функция у": Ь' — 1 К не ограничена в любой окрестности фиксированной точки хз Н Е, то она не является равномерно непрерывной. Действительно, тогда при любом Б > 0 в — окрестности хз найдутся точки х1, хз Е Е такие, что ~~(х1) — у(хз) ~ > 1, хотя (х1 — хз( < б. Так обстоит дело с функцией 1(х) = 1, рассматриваемой на множестве К '1 О. В данном случае хе = О. Так обстоит дело и с функцией 1оя, х, определенной на множестве положительных чисел и неограниченной в окрестности точки хе = О. Пример 6. Функция у(х) = х~, непрерывная на К, не является равномерно непрерывной на ь1.
В самом деле, в точках х'„= /и+1, х,", = ~/п, где п Е г1, имеем ~(х'„) = п + 1, ('(х,",) = п, поэтому ~(х'„) — Дх'„') = 1. Но 1пп (~Й + 1 — 1/й) = 1пп = О, я — >00 в — >со п+ 1+ ~/и поэтому при любом д > 0 найдутся точки х'„, х,", такие, что ~х'„— х'„'~ < б, в то время как 1(х'„) — 1(х'„') = 1. Пример 7. Функция у(х) = з1пх~, непрерывная и ограниченная на К, не является равномерно непрерывной на К. Действительно, в точ- ~„=Д( ~с,.„=Д,.д" ея, ° - ~л<)-л"„)~=1,.
то время как 1пп (х'„— х'„'~ = О. л 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 191 После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы можем теперь оценить следующую теорему. Теорема 4 (теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности), Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке. Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называют теоремой Кантора.
Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем при ссылках сохраняем это распространенное наименование. м Пусть 1: Е -+ К вЂ” данная функция; Е = (а, Ь) и 1 Е С(Е). Поскольку ~ непрерывна в любой точке х Е Е, то (см. 91, п.1, 6') по е ) 0 можно найти такую д-окрестность У0(х) точки х, что колебание оэ(~;0~~,(х)) функции 1 на множестве П~л(х) = Е О Пв(х) точек области определения функции, лежащих в П (х), окажется меньше е. Для каждой точки х Е Е построим окрестность У~(х), обладаюшую этим свойством.
Величина б при этом может меняться от точки к точке, поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную окрестность символом с1~~*~(х), но, поскольку весь символ определяется точкой х, можно условиться в следующей сокращенной записи: с1(х) = — ул(х)(х) и р(х) уйх)/2(х) Интервалы Р"(х), х Е Е, в совокупности образуют покрытие отрезка Е = (а, Ь], из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное покрытие 1'(х1),..., Ъ'(х„). Пусть о = ш1п ~ — о(х1),..., -д(х„)).
Покажем, что для любых точек х', хв е Е таких, что ~х' — хв~ < < 6, выполнено ~Дх') — ~(хв)~ < е. Действительно, поскольку система интервалов У'(х1),..., Ъ'(х„) покрывает Е, найдется интервал И(х;) этой системы, который содержит точку х', т. е.
~х' — х;~ < 1б(х;). Но в таком случае (хв — х,~ < (х' — х"~ + (х' — х,~ < б + -б(х,) < -Ь(х,) + -д(х1) = б(х,). Следовательно, х',хо б 0' ( '~(х,) = Е О И~1 '~1(х1) и потому (Дх')— -у(*в)~< ФП,"*'(.,)) <'~ Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора существенно опирается на некоторое свойство области определения функ- 192 ГЛ. 1Ъ'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство состоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
