1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и выяснить, как, например, функция в1пх2, равномерно непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной прямой, оказывается не равномерно непрерывной на К.
Причина здесь вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция может оказаться не равномерно непрерывной. На сей раз мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в этом вопросе. Теперь перейдем к последней теореме параграфа — теореме об об. ратной функции. Нам предстоит выяснить условия, при которых непрерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и в каких случаях зта обратная функция непрерывна. Утверждение 1. Непрерывное отображение 1: Š— + И отрезка Е = [а, Ь] в К инъективно в том и только в том случае, когда функция 1' строго монотонна на отрезке [а, Ь]. ~ Если функция 1 возрастает или убывает на произвольном множестве Е С К, то отображение у: Е -+ 2, очевидно, инъективно: в различных точках множества Е функция принимает различные значения.
Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 состоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение 1: [а, Ь] -+ Ж отрезка осуществляется строго монотонной функцией. Предположив, что это не так, мы найдем три точки х1 < х2 < хэ отрезка [а, Ь] такие, что ~(х2) не лежит между ~(х1) и Дхз). В таком случае либо Дхз) лежит между 1(х1) и Дхг), либо Дх1) лежит между 1(х2) и у(хз).
Пусть для определенности имеет место последняя из двух указанных возможностей. По условию функция 1 непрерывна на отрезке [х2, хз], и потому (см. следствие теоремы 2) на нем есть точка х', такая, что 1 (х1) = Дх1). Таким образом, х1 < х', и 1 (х1) = Дх1), что несовместимо с инъективностью отображения.
Случай, когда 1 (хэ) лежит между Дх1) и У(хг), разбирается аналогично. > Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция 1': Х вЂ” ~ -+ К, определеннал на числовом множестве Х с К, обладает обрат- 1 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 193 пой функцией 1' 1: у -+ к, которая определена иа миожестее у = = 1'(Х) значений функции | и имеет иа У тот же характер монотонности, какой имеет функция ( на множестве Х. ~ Отображение 1: Х -+ У = у(Х) сюръективно, т. е.
является отображением па множество У. Пусть для определенности у: Х -+ У возрастает на Х. В этом случае Чх1 н Х Чхг н Х (х1 < хг 4-',1 (х1) < г (хг)) . (1) Таким образом, отображение 1: Х + У в различных точках принимает различные значения, т. е. оно инъективно. Следовательно, 1: Х вЂ” 1 -+ У биективно, т.е. у' — взаимно однозначное отображение Х на У. Значит, определено обратное отображение ~ 1: У -+ Х, задаваемое формулой х = У '(у), если у = У(х).
Сопоставляя определение отображения ~ ': У вЂ” 1 Х с соотношением (1), приходим к соотношению Чу1 Н У Чуг Н У (~ (у1) < ~ (Уг) с=> у1 < Уг), (2) означающему, что функция 1 1 возрастает на области своего определения. Случай, когда у: Х -+ У убывает на Х, очевидно, разбирается аналогично. Ь В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции, полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций. о'тверждепие 3. Функция 1': Š— 1 К, монотонная на множестве Е С а1, может иметь на Е разрывы только переозо рода.
< Пусть, для определенности, 1' — неубывающая функция. Предположим, что а Н Е есть точка разрыва функции ('. Поскольку а не может быть изолированной точкой множества Е, то а — предельная точка по крайней мере для одного из двух множеств Е, = (х Н Е ~ х < а), Е+ = (х Е Е ~ х > а). Поскольку у — неубывающая функция, для любой точки х Н Е, имеем Дх) < Да) и ограничение 1 ~ функции 1 на множество Е, оказывается неубывающей ограниченной сверху функцией. Тогда существует предел 1пп (~~ . ) (х) = 1пп у(х) = Да — О).
Е Эх — >а 194 ГЛ. Га'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Аналогично доказывается существование предела 11п1 у"1х) Езх — ~а-~-О = З 1а + 0), если а — предельная точка множества Е,+. Случай, когда ~ — невозрастающая функция, можно либо разобрать, повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции — ~', свести дело к уже рассмотренному случаю. ~ Следствие 1. Если а — точка разрыва монотонной функции ~: Е -+ 2, то по крайней мере один из пределов 1пп ~(х) = Да — 0), 1пп 11х) = 1(а+ 0) ЕЗх — >а4-О определен; по крайней мере в одном из неравенств 1(а — 0) < Ца) < < Да + 0), если 1" — неубывающая (или 1(а — 0) > 1"1а) > 1'(а + 0), если 1 — невозрастпающая) функчия, имеет место знак строгого неравенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством, нет ни одного значения функции; указанные интервалы, оп1вечаюи1ие различным точкам разрыва монотонной функиии, не пересекаются.
м Действительно, если а — точка разрыва, то она предельная для множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва первого рода. Таким образом, по крайней мере одна из бвз Е Э х -+ а — О, Е Э х + а + 0 определена и по ней (а в случае определенности обеих баз — по каждой из них) существует предел функции ~. Пусть, для определенности, 1 — неубывающая функция. Поскольку а-- точка разрыва, то по крайней мере в одном из неравенств у'(а — 0) < 1(а) < < 11а + 0) на самом деле имеет место строгое неравенство.
Поскольку з1х) < 1пп 1(х) = 1(а — 0), если х Н Е и х < а, и, аналогично, Езх-~а — О у1а+ 0) < 1'(х), если х Е Е и а < х, то интервал, определяемый строгим неравенством 1(а — 0) < 11а) или 1(а) < 1(а+ 0), действительно свободен от значений функции. Пусть а1, аа — две различные точки разрыва функции, и пусть а1 < аз. Тогда, в силу неубывания функции ~, имеем ~(а1 — 0) < З'(а1) < З (а1 + 0) < З (аз — 0) < З (аз) < З (аа + 0). Следствие 2.
Мнозкество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно. Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы, отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. ~ Ь 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 195 м С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по следствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмножеству счетного множества Я всех рациональных чисел.
Значит, оно само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва монотонной функции. ~ Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Монотонная функция )'; Š— + К, заданная на отрезке Е = [а,Ь], непрерывна на нем тогда и только тогда, когда множество у(Е) ее значений само является отрезком с концами1) ) (а) и 1(6). ~ Если у — непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности у все значения, которые функция принимает на отрезке [а,6], лежат между значениями Да) и у(6), которые она принимает в концах отрезка.
Ввиду непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между ~(а) и у(6). Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке [а, Ь], действительно является отрезком с концами у(а) и ) (6). Докажем теперь обратное утверждение. Пусть )' — монотонная на отрезке [а, Ь] функция. Если она разрывна в некоторой точке с Е [а, 6], то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов ]1(с — О), 1(с)[, ]у (с), у (с+ О) [ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции. Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами у (а), у'(Ъ), поэтому если на отрезке [а, 6] монотонная функция имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами у (а), у (6) не может лежать в области значений функции.
~ Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция у: Х вЂ” + К, строго монотонная на множестве Х С К, имеет обратную функцию 1: У вЂ” + К, определенную на множестве У = )'(Х) значений функции 1". Функция у" 1; У вЂ” + 2 монотонна и имеет на У тот же вид монотонности, какой имеет функция 1: Х + Н на множестве Х. ППри этом 1(а) ( у(6), если / — неубывающая, и 1(6) < у(о), если у — невоэрастающая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
