1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1(су(а)) С $"Ща)), то и для любой окрестности $'(1'(а)) тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Действительно, достаточно сначала взять Ъ'Ща)) С Ъ'Ща)), а затем по 1" Ща)) найти 11(а). Тогда 1'(с1(а)) С 1"'®а)) С $'Ща)). Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле второго из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения. Обратное очевидно, поэтому эквивалентность первых двух формулировок проверена. Дальнейшую проверку оставляем читателю. Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непрерывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция 1 определена в целой окрестности точки а.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть 1: Е + И вЂ” вещественнозначная функция, определенная на некотором множестве Е С 2, и а — точка области определения функции. Определение 1. Функция 1': .Е -+ К называется непрерывной в точке а Н Е, если для любой окрестности Ъ'Ща)) значения 1'(а) функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность 11е(а) точки а в множествеП Е, образ которой )'(Уе(а) ) содержится в Ъ'(1 (а) ). Итак, (1: Š— ~ 2 непрерывна в а Н Е):= = (~Л~®а)) М3е(а) (1'((Уе(а)) С Ъ'(1 (а)))). Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е-о-форме, рассмотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, зто бывает полезно и даже необходимо.
Запишем эти вариации определения 1: (1: Š— > И непрерывна в а Е Е):= = ('й ) 0 ЗПВ(а) Чх Е 11е(а) Щх) — 1'(а)~ < е)), ОНапомним, что 0я(а) = Е П 11(а). 1 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 177 или (,1: Е -+ К непрерывна в а Е Е):= = (И > О Зб > О Чх Н Е (~х — а~ < б ~ ~~(х) — ~(п) ) < е)). Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке. 1' Если а — изолированная, т.
е. не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность У(а) точки а, в которой нет других точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае Уе(а) = а, и поэтому 1(Уе(п)) = 11п) С $'Щп)), какова бы ни была окрестность Г(7" 1а)). Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай. 2 Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда а Н Е и а — предельная точка множества Е.
Из определения 1 видно, что (7": Š— 1 К непрерывна в а Е Е, где а — предельная точка Е) «=о 1пп 1(х) = Да) м В самом деле, если и — предельная точка Е, то определена база о Е Э х — + а проколотых окрестностей Уе(п) = 0е(а) 1 а точки а. Если 7" непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности $'®а)) окрестность Уе(а) такую, что 11Уе1а)) С $'(71а)), мы одновременно о будем иметь 11Уе1п)) С ь'Ща)) и в силу определения предела, таким образом, 1пп Дх) = 7" 1п).
' ЕЭ*-оа Обратно, если известно, что 1пп 11х) = 7"(а), то по окрестности Еэа-оа о о Ъ'®а)) найдем проколотую окрестность Уе(а) так, что 1(Уе(а)) С С ~" (71а)). Но поскольку 71п) Н ГЩп)), то тогда и 7'1Уе(п)) С $'®а)). В силу определения 1 это означает, что функция 1' непрерывна в точке аНЕ.> 3' Поскольку соотношение 1пп 11х) = 1(а) можно переписать в Еэх-оа форме ГЛ.
1Ъ'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 178 мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точке функции (операции) и только они перестановочны с операцией предельного перехода. Это означает, что то число 1 (а), которое получается при выполнении операции 1 над числом а, можно сколь угодно точно аппроксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции 1' над соответствующими заданной точности приближенными значениями я величины а.
4' Если заметить, что при а Е Е окрестности 17е(а) точки а образуют базу В, (независимо от того, является ли а предельной или изолированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число Да) — значение функции в точке а — является пределом функции ~ по этой базе, т.е. (1': Е -+ К непрерывна в а Н Е) «Ф 1пп7"(я) = у(а) ~,6 5' Заметим, однако, что если 1ппДя) существует, то, поскольку на а Е 17е(а) для любой окрестности (7е(а), этот предел неизбежно оказывается равным 1(а). Таким образом, непрерывность функции у: Е -+ К в точке а Е Е равносильна существованию предела этой функции по базе В, окрестностей (но не проколотых окрестностей) 17е(а) точки а в Е.
Итак, (1: Е -+ И непрерывна в а е Е) <=» ~Л 1пп Дя) (, б' В силу критерия Коши существования предела теперь можно сказать, что функция непрерывна в точке а й Е тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется окрестность УЕ(а) точки а в Е такая, на которой колебание о~(1; с7е(а)) функции меньше е. Определение 2.
Величина ю(~;а) = 1пп ю(~; с7е(а)) (где 17~Е(а) 6 — ~«-0 есть д-окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием функции ~: Š— + И в точке а. Формально символ ю(7';Х) уже занят, он обозначает колебание функции на множестве Х. Однако мы никогда не будем рассматривать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это 11.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 179 колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ ю(7"; а), где а — точка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что ввели определением 2. Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина о~(7'; 1фа)) есть неубывающая функция от б. Поскольку она неотрицательна, то либо она имеет конечный предел при б -+ +О, либо при любом б > 0 выполнено а(7;11е1а)) = +ос. В последнем случае естественно полагают а (,1; а) = + оо. 7' Используя определение 2, сказанное в 6' теперь можно резюмировать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю.
Зафиксируем это: (~: Š— + К непрерывна в а Н Е)»» (ю® а) = 0). Определение 3. Функция 1: Е -+ К называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множестве Е, условимся обозначать символом С(Е;К) или, короче, С(Е). Мы обсудили понятие непрерывности функции. Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 1. Если 7": Š— 1 К вЂ” постоянная функция, то 7" Е С(Е).
Это утверждение очевидно, ибо ~(Е) = с С Г(с), какова бы ни была окрестность $'(с) точки с Н К. Пример 2. Функция 1(х) = х непрерывна на В. Действительно, для любой точки хо Н К имеем ~~(х) — 71хо)! = )х — хо) < в,как только (х — хо! < б = в. Пример 3. Функция Дх) = вшх непрерывна на К. В самом деле, для любой точки хо Н Й имеем х+хо . х — хо )вшх — вшхо! = 2сов вш < 2 2 х — хо х — хо <2 вш <2 =(х — хо)<в, 2 2 как только )х — хо! < б = в. ГЛ. 1Ч. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 180 Мы воспользовались неравенством ) яп х) < /х!, доказанным в гл.
П1, 8 2, п. 2д, пример 9, Пример 4. Функция у1х) = сов х непрерывна на 2. Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки хо Н Н К имеем х+хо . х-хо )созх — созхо! = — 2зш зш < 2 2 х — хо < 2 яп < )х — хо) < з, 2 как только )х — хо~ < о = з. Пример 5. Функция 1" (х) = ах непрерывна на 2. Действительно, по свойству 3) показательной функции (см.
гл. П1, 8 2, п. 20, пример 10а) в любой точке хо Е К имеем 1пп ах ахо х-+хо что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ах в точке хо. Пример 6. Функция у(х) = 1оя, х непрерывна в любой точке хо Е Е 1х. области определения Я+ —— 1х Е К ~ х > 01. В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см.
гл. П1, 8 2, п. 2б, пРимеР 10Ь) в любой точке хо Н Р+ имеем 11ш 1оя х = 1оя хо, п~-вх — ~хо что равносильно непрерывности функции 1оя х в точке хо. Попробуем, кстати, по заданному з > 0 найти окрестность Уи~(хо) точки хо так, чтобы в любой точке х Е 11и~(хо) иметь ) 1оя,х — 1оя хо) < з. Это неравенство равносильно соотношению х — з < 1оя — < з.
хо Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равносильно условию хоа ' < х < хоа'. 1 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 181 Интервал!хеа ',хеа'~ и есть искомая окрестность точки хе. Полезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины с, так и от самой точки хш чего не наблюдалось в примерах 1-4. Пример 7. Любая последовательность 1: И -+ К есть функция, непрерывная на множестве М натуральных чисел, поскольку каждая точка множества г1 является его изолированной точкой. 2.
Точки разрыва. Для того чтобы лучше освоиться с понятием непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности той точки, где она не является непрерывной. Определение 4. Если функция 1: Š— 1 К не является непрерывной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой разрыва функции 1. Построив отрицание к утверждению юфункция 1: Š— 1 К непрерывна в точке а Е Еь, мы получаем следующую запись определения того, что а — точка разрыва функции 1: 1а Н Е вЂ” точка разрыва функции 1):= = (ЖУ(а)) ~Шк(а) Лх Е Бк(а) (Дх) ф ГЩа)))).
Иными словами, а Н Е вЂ” точка разрыва функции 1: Е -+ К, если найдется такая окрестность РЩа)) значения 1(а) функции в точке а, что в любой окрестности Уе(а) точки а в множестве Е найдется точка х Е Уе(а), образ которой не содержится в ГЩа)). В с- 8-форме это же определение выглядит так: хе > О Чб > О Зх е Е ()х — а~ ( л Л )~(х) — у (а) ~ > е). Рассмотрим примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
