1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При этих условиях композиция д о 7': Х вЂ” + К отображений 7" и д определена, имеет предел по базе Вх и 111п(д о 7)(х) = 11шд(у). нх ну ~ Композиция д о 1': Х вЂ” у К определена, поскольку 1'(Х) С У. Пусть 1ш1д(у) = А. Покажем, что 1пп(д о 7")(х) = А. По заданной ву нх окрестности У(А) точки А найдем элемент Ву Е Ву базы Ву такой, что д(Ву) С У(А). По условию найдется элемент Вх е Вх базы Вх такой, что ~(Вэс) с Ву. По тогда (д о 1)(Вх) = дЩВх)) С д(Ву) С У(А) и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции (д о у"): Х -+ яя по базе Вх.
ь Пример 18 1пп ив х — ~О 7х Если положить д(у) = -'шУ, а 7" (х) = 7х, то (д о 7")(х) = в'" *. В нашем случае У = К '1 О, Х = К. Поскольку 1пп д(у) = 1пп -"~У = 1 то у-~о у-~о для применения теоремы надо проверить, что, какой бы элемент базы у -+ 0 мы ни взяли, найдется элемент базы х -+ О, образ которого при отображении 7" (х) = 7х содержится в указанном элементе базы у -+ О.
Элементами базы у -+ 0 являются проколотые окрестности Пу(0) точ- киОсР. Элементами базы х + 0 также являются проколотые окрестности о о (7эс(0) точки 0 Е К. Пусть 17у(0) = (у к К ! а < у <,3, у ~ 01 (где а,1э Е а1,причем се < О, 1э > 0) †произвольн проколотая окрестность о нуля в У. Если взять (7х(0) = (х б й ! о < х < ~, х ф О), то эта проколотая окрестность нуля в Х уже обладает тем свойством, что ~(Пх)(0) = Пу(0) ~ Пу(0). Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что в1п7х, вшу 1пп = 1пп — = 1. х — ~о 7х у-~о у ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 156 Пример 19. Функция д[у) = ~ яяпу], как мы уже видели [см.
пример 3), имеет предел 1пп]яяпу] = 1. у — ~0 Функция у = у [х) = хяш —, определенная при х ф О, также имеет 1 предел 1пп х01п — = 0 [см. пример 1). 1 х — ~0 Однако функция [д 0 у)[х) = /яяп (х01пц при х -+ 0 не имеет предела. Действительно, в любой проколотой окрестности точки х = 0 име- 1 ! / ° 11! ются нули функции 01п —, поэтому функция ~ яяп (х 01п — 1[ в любои такой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию Коши не может иметь предел при х — + О.
Не противоречит ли это доказанной теореме? Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены ли здесь условия теоремы. Пример 20. Покажем, что и Пусть У=И, Ву — база п-+сю, пеИ; Х = Я ~ = (х Е 11 [ х > О), Вх — база х -+ +ос; 1: Х вЂ” 1 У есть отображение х + [х], где [х] — целая часть числа х [т. е. наибольшее целое число, не превосходящее числа х). Тогда для любого элемента Ву = [и Е И ~ и > И) базы п — 1 оо, и Е И, очевидно, найдется элемент Вх = 1х Е К ] х > Л + Ц базы х -+ +сю, образ которого при отображении х -+ [х] содержится в Ву. Функциид[п) = (1+ — „), д1[п) = (1+ — ), уз[и) = (1+ — ) как нам уже известно, имеют своим пределом по базе п -+ оо, п Е И число е.
По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что тогда функции 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 157 1 ~х) 1И (до 7")(х) = 1+ — ), (д1 о1)(х) = ~1+ ) (х) — и.) ; ~*)~-1 (д2оУН ) = 1+— и1 также имеют своим пределом по базе х -+ +со число е. Теперь остается заметить, что при х > 1 1+ < 1+ — < 1+— и так как при х — ~ +со крайние члены стремятся к е, то по свойствам предела (теорема 3) получаем 1ип (1+ -) = е. .с->-~-оо 'с Используя теорему о пределе композиции функций, покажем теперь, что 1пп 1+ Ц = е.
о-~ — со с, Запишем 1пп 1+ — = 1пп 1+ — = 1пп 1 —— 1пп 1+ = 1пп 1+ — = е. Написанные равенства с учетом произведенных замен и = 1 — 1 и 8 = — х обосновываются с конца (!) на основе теоремы о пределе композиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пре- 1 хо делу 1пп 11+ ц, существование которого уже доказано, теорема и->-1-сю ', позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и равен этому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно типичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной функции при вычислении пределов.
Итак, мы имеем 1пп 1+ — = е = 1пп 1+— 158 ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ Отсюда следует, что 1пп (1+ — ~ = е. х,сю( Действительно, пусть задано число е > О. Поскольку 1пп (1+ ц = е, найдется число с1 х — ~ — сю ( х < с1 будет ~ (1 + ц — е < е. Поскольку 11ш (1+ -) = е, найдется число сг х — ~-~-оо ( сг < х будет ](1+ ~~) — е) < е. Тогда при )х] > с = шах(]с1], )сг)~ будем иметь Тем самым проверено, что 1пп (1+ ц = е.
~ х — >сю ( Е К такое, что при Е К такое, что при (1+ — ) — е < е. Пример 21. 1пп 11+1) ~ = е. с-~о м После замены х = 1/1 возвращаемся к пределу, рассмотренному в предыдущем примере. ~ Пример 22. х 1пп — = О, если д > 1. х — ~+сю с1~ М Мы знаем 1см. 8 1, пример 11), что 1пп — "„= О, если с1 > 1.
и-~сю д" Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное отображение 1': К+ -+ 1Ч, осуществляемое функцией [х] 1целая часть х). Воспользовавшись неравенствами 1 1х] х 1х] + 1 с, ~х1 с,х ,1~х1-1-1 и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены стремятся к нулю при х -+ +ос, заключаем, что 1пп — *, = О.
ь х — ~-~-сю О* Пример 23. 1оюса х О х-й х < Пусть а > 1. Полагаем 1 = 1оя, х, находим х = а'. По свойствам показательной и логарифмической функций 1учитывая неограниченность 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 159 а", и е 1Ч) имеем 1х -+ +со) го 11 -+ +оо). Используя теорему о пределе сложной функции и результат примера 22, получаем 1оя, х 1пп ' = 1пп —, =О. х — с-~-оо х с — с-с-со ас Если О < а < 1, то положим — 1 = 1од, х, х = а '. Тогда 1Х -+ +ос) с» е~ 11 -+ +со), и так как 1/а ) 1, то снова 1оя х 1пп = 1пп, =- — 1пп = О.
— х с-се а ' с-се 11/а)с с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один частный, но весьма полезный класс числовых функций — монотонные функции. Определение 1Т. Функция /: Е + Я„определенная на числовом множестве Е с К, называется возрастающей на Е, если 'ссхс, х2 Е Е (Х1 < Х2 ~ /(Х1) < /(Х2)); неубывающей на Е, если 'сСХ1, х2 Е Е 1Х1 < хг ~ /1Х1) ( /1Х2)); невозрастающей на Е, если Чх1, х2 е Е 1хс ( хс ~ у1х1) )~ у1х2)); убывающей на Е, если ссх1, х2 Е Е 1х1 ( Х2 ~ у1х1) ) у1х2)). Функции перечисленных типов называются монотоннымч на множестве Е.
Предположим, что числа 1или символы — оо, +ос) с = 1п1Е и в = = впрЕ являются предельными точками множества Е и /: Е -+ К- монотонная функция на Е. Имеет место следующая Теорема 6 1критерий существования предела монотонной функции). Д я того чспобы неубывающая на множестве Е функция /: Š— > — + 1к имела предел при х — + в, х Е Е, необходимо и достаточно, чпсобы она была ограничена сверху, а длл того чтобы она имела предел при ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ 1бО х э 1, х Е Е, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу. < Докажем теорему для предела 1пп у(х). ЕЭх — ~5 Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция 1 оказывается финзльно ограниченной при базе Е Э ~ х — > в. Поскольку у' — неубывающая на Е функция, отсюда следует, что У ограничена сверху.
На самом деле можно утверждать даже, что у(х) < < 1пп у(х) для любого х Е Е. Это будет видно из дальнейшего. ЕЭх ~5 Перейдем к доказательству существования предела 1пп у(х) при ЕЭх — ~8 условии ограниченности 1 сверху. Если (' ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = виру(х); по- хЕЕ кажем, что 1пп у(х) = А. По е ) О, на основании определения верхней ЕЭх — ~л гРани множества, найдем точкУ хо Е Е, длЯ котоРой А — е < 1(хо) < А.
Тогда ввиду неубывания у на.Е получаем, что при хо < х Е Е будет А — е < у(х) < А. Но множество (х Е Е ~ хо < х1, очевидно, есть элемент базы х -э в, х Е Е (ибо в = вирЕ). Таким образом, доказано, что 1пп у(х) = А. ЕЭх — ~з Для предела 1пп у(х) все рассуждения аналогичны. В этом случае ЕЭ -и имеем 1пп у(х) = )пав у(х).
~ ЕЭх->г хЕЕ 41. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот пункт мы начнем поясняющими тему примерами. Пусть я(х) — количество простых чисел, не превосходящих данного вещественного числа х Е К. Имея возможность при любом фиксированном х найти (хотя бы перебором) значение я(х), мы тем не менее не в состоянии сразу ответить, например,на вопрос о том,как ведет себя функция я(х) при х — ь +ос или, что то же самое, каков асимптотический закон распределения простых чисел.
От Евклида нам известно, что я(х) -+ +со при х — > +ос, но доказать, что я(х) растет примерно как х, удалось только в Х1Х веке П. Л. Чебышеву' ). 1вх' о П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — великий русский математик и механик, основатель большой математической школы в России. 2 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 161 Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, говорят, что интересуются асимптотикой или асимптвтическим поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
Так, я(х) при х -+ +оо ведет себя как — *; функция '— '"* при х -+ — 1 О ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении функции х + х+ в1п — при х — 1 сю, мы, ясно, скажем, что она в основном 2 1 ведет себя как функция х, а при х — > Π— как вш Дадим теперь точные определения некоторых элементарных понятий, относящихся к асимптотическому поведению функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
