1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 27
Текст из файла (страница 27)
< У'», Пх) д< )' Теорема 2. Пусть 1': Е -+ К и д: Š— > К вЂ” дее функиии с общей областью определения. Если 1пп 2«<х) = А, 1пп д<х) = В, то ЕЭх-»а ЕЭх — »а а) 1пп <у+д)<х) = А+ В; Еэх»а Ь) 1пп <1 д)(х) = А В; с) 1!п1 1 ~) (х) = ~, если В ф О и д<х) ~ О при х Е Е. ЕЭх „,,У» Е' Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредственно вытекает из соответствующей теоремы о пределах последовательностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1. Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы об арифметических свойствах предела последовательности.
Все изменения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся к тому, что всюду, где раньше мы выбирали «Х й 1«, начиная с которого... », нужно будет выбирать некоторую проколотую окрестность О Уе(а) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это. Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного случая, когда А = В = О <утверждение с) при этом, разумеется, не рассматривается). Функцию 1': Š— + К принято называть бесконечно малой при Е Э Э х -+ а, если 1пп у<х) = О.
Еэх — »а Ъ'твержденне 2. а) Если о: Š— + К и В: Š— + К вЂ” бесконечно малые функции при Е Э х -+ а, то их сумма о+ 11; Š— + К вЂ” также бесконечно малая функция при .Е Э х — «а. 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 133 Ь) Если а: Š— + )к и )3) Е + К вЂ” бесконечно малые функции при Е Э х — х а, то их произведение а ° )3) Е -+ 1я. — также бесконечно малая функция при Е Э х -+ а.
с) Если а: Š— ~ 1к — бесконечно малая функция при Е Э х -+ а, .а (3) Е + К вЂ” финально оераниченная функция при Е Э х -+ а, то произведение а )3) Е -+ К есть бесконечно малая функция при Е Э Э х -+ а. < а) Проверим, что < 1пп а(х) = О~ Л ( 1пп (3(х) = 0~1 =ь ( 1пп (а+)3)(х) = О Евх — )а / <Евх — )а / <Езх — ~а Пусть задано число е > О. По определению предела имеем Тогда для проколотой окрестности 1/е(а) С П~е(а) П 1/~е(а) получаем Чх е Пе(а) )(а+ 13)(х)) = )а(х) +)3(хИ < )а(хК +))3(х)) < е, т.е. проверено, что 1пп (а+)3)(х) =О.
ЕЗх — )а Ь) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку всякая функция, имеющая предел, финвльно ограничена. с) Проверим, что < О О 1пп а(х) = О Л ЗМ Е К л1/е(а) Чх б 0е(а) (ф(х)! < М) Евх-)х 1пп а(х))3(х) = О ) Еех — )а Пусть задано е > О. По определению предела имеем 134 ГЛ. Ш. ПРЕДЕЛ Тогда для проколотой окрестности У~~(а) С Уе~(а) П Уе(а) получаем Чх Е У~(а) $(сс,3)(х)$ = $а(х)13(х)$ = $сг(х)$$)3(х)$ < — М = е. Тем самым проверено, что 1пп о(х))3(х) = О.
ь Евх — аа Теперь сделаем следующее полезное Замечание. с 1пп 1'(х) = А1 ео (3'(х) = А + се(х)) д ( 1пп о(х) = О Езх — ~а / Ъ,Ехх — ~а Иными словами, функция 1: Е -+ К стремится к А тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А + о(х), где сг(х) — бесконечно малая при Е Э х -+ а функция (уклонение 3'(х) от А)'). Это непосредственно следует из определения предела, в силу которого 1пп 1(х) = А ~=> 1пп Щх) — А) = О.
Езх — >а Еэх — +а Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свойствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных свойствах бесконечно малых функций. ~ а) Если 1пп Дх) = А и 1пп д(х) = В, то у(х) = А + о(х) и Евх — ~а Езх-~а д(х) = В+ 13(х), где сс(х) и,3(х) — бесконечно малые при Е э х — з а.
Тогда (1'+д)(х) = 1'(х)+д(х) = А+сс(х)+В+)3(х) = (А+В)+ 7(х), где 7(х) = сх(х) + 13(х), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая функция при Е Э х -+ о. Таким образом, 1пп ( 1'+ д)(х) = А+ В. в'Эх — ~а Ь) Вновь представив 3(х) и д(х) в виде 3'(х) = А+ сс(х) и д(х) = В+ +,3(х), имеем (1' д)(х) = 1(х)д(х) = (А+о(х))(В+)3(х)) = А В+ у(х), ОЛюбопытнал деталь: зто почти очевидное, но очень полезное в вычислительном плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским математиком и механиком Лазаром Карно (1753 — 1823), революционным генералом и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно (1796 — 1832). 22. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ где у(х) = А,З(х) + Во(х) + о(х)Д(х) по свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая функция при Е В х -+ а.
Таким образом, 1пп (у д)(х) = А В. Еэх-~а с) Вновь запишем, что у(х) = А + о(х) и д(х) = В + В(х), где 1пп о(х) = О, 1пп ~3(х) = О. Еэхоа Еэхоа о Поскольку В ф. О, существует проколотая окрестность 11е(а), в любой точке которой ф(х)~ < ~-(, и потому ~д(х)! = ~В + ~3(х)! > ~В~— — ф(х)~ > . Тогда в 1Уе(а) будем иметь также < —, т.е. !В! 1 2 2 (д(хЯ )В) ' функция -(-) финально ограничена при Е Э х -+ а. Теперь запишем 1 д(х1 Я А у(х) А А+ о(х) А д,/ В д(х) В В +,3(х) В 1 1 д(х)  — — (Во(х) + А~3(х)) = у(х). По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной ограниченности -(-)) функция у(х) есть бесконечно малая при Е Э х -+ а. 1 д(х) Таким образом, доказано, что 1пп (~) (х) = —.
~ А ЕЭхоа д В с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Если функции У': Š— + 1к и д: Š— э К таковы,что 1пп 1'(х) = А, 1пп д(х) = В и А < В, то найдется проколотал Еэх-оа Еэх-оа о окрестность 11е(а) точки а в множестве Е, в любой точке которой выполнено неравенство 1(х) < д(х). Ь) Если между функцилми У': Е -+ К, д: Е -+ К и 6: Š— у 1к на множестве Е имеет место соотношение у(х) < д(х) < 6(х) и если 1пп У'(х) = 1пп 6(х) = С, то существует также предел д(х) при ЕЭхоа ЕЭхоа Е Э х -+ а, причем 1пп д(х) = С. ЕЭх — +а ~ а) Возьмем число С такое, что А < С < В.
По определению предео о ла найдем проколотые окрестности су' (а) и су" (а) точки а в множестве о о Е так, чтобы при х б (У~е(а) иметь | У'(х) — А~ < С вЂ” А и при х Е Ща) о иметь |д(х) — В~ <  — С. Тогда в любой проколотой окрестности 11е(а), ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 136 содержащейся в Ща) П Ю'е(а), получим у(х) < А+ (С вЂ” А) = С =  — ( — С) < д(х). Ь) Если 1пп 1'(х) = 1пп й(х) = С, то по любому фиксированному ЕЭх-оа ЕЭх-оа о о е > 0 найдутся такие проколотые окрестности П~е(а) и П~е(а) точки а о о в множестве Е, что при х е П~~(а) имеем С вЂ” е < 1'(х) и нри х 6 11~е(а) о имеем й(х) < с + е.
тогда в любой проколотой окрестности 11е(а), о о содержащейся в п~е(а) и пе(а), будем иметь с — с < 1(х) < д(х) < < Ь(х) < С+ е, т.е. ~д(х) — С~ < е, и, следовательно, 1пп д(х) = С. в ЕЭх — ~а Следствие. Пусть 11ш 1'(х) = А и 11щ д(х) = В. Если в некоЕЭхоа ЕЭх — оа о торой проколотой окрестности Бе(а) точки а а) выполнено 1(х) > д(х), то А > В; Ь) выполнено 1(х) > д(х), то А > В; с) выполнено 1" (х) > В, то А > В; й) выполнено )(х) > В, то А > В. м Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедленно получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения с), а) получаются из первых двух при д(х) = В.
и д. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важных примерах использование уже доказанных теорем. Пример 9. в1пх 1пп — = 1. о х Здесь мы будем апеллировать к школьному определению в1пх как ординаты точки, в которую переходит точка (1, 0) при повороте (с центром в начале координат) на угол х (радиан). Полнота такого определения всецело зависит от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действительными числами.
Поскольку сама система действительных чисел в школе не была описана достаточно подробно, надо считать, что нам необходимо уточнить определение вшх (то же самое относится и к функции сов х). 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 137 ~ Так как соз х и — — четные функ- 2 Б10Х ции, то достаточно рассмотреть случай О < < х < я/2. Из рис. 8 и определения созх и япх, сравнивал площади сектора <ОСВ, треугольника ЛОАВ и сектора 1ОАВ, имеем Рнс. 8. 1 1 1 Входов = — )ОС! )СВ~ = — (созх)(хсозх) = — хсоззх < 2 2 2 1 1, 1 < ЯооАВ = — )ОА! )ВС! = — 1 япх = — 01пх < 2 2 2 1 1 1 < ЯззАВ = — ~ОА~ )АВ) = — 1 х = — х. 2 2 2 Разделив зти неравенства на -х, получаем то, что и утвержда- 1 лось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
