1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Определение 14. 1пп хй = 1пп шГ хй = 1пп шГ( — 1)" = 1пп ( — 1) = — 1, п — >со й>п п — ~ос й>п п — ~ос 1пп хй = 1пп впрхй = 1пп вар( — 1)" = 1пп 1 = 1. й — ~со и — ~со й>п п — ~со й> п — >со Пример 15. хй = Й1 1), к е 1Ч: 1пп й1 1) = 1пп шГй1 1) = 1пп 0=0, й — >со и-~ос й>п и-~ос 1пп Й1 П = 1пп впр1о1 1 = 1пп (+ос) =+ос. й->со п ~ос й> и — ~ос Пример 16. хй = Й, Й е гс 1пп Й= 1пп шГЙ= 1пп в=+со, п — ~со й>п п-~со 1пп Й = 1пп впрй = 1пп (+со) = +со. й — ~ос п-+со й>п и — ~ос Пример 1Т. хй = ~-~-~ —, Й Е Ы Приведем несколько примеров. Пример 14.
хй = ( — 1)й, Й Е 1Ч: Цй ~ 1)й 1пп = 1пп 1пГ й -~ й>п й 1 — — если и = 2т+1 =О, и+1' — если п = 2т 108 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 1 1)й ~ 1)й — „, если п = 2т 1пп = 1пп впр = 1пп = О. й " ' й>п й " 1 п=2т+1 и+ 1' Пример 18. хй = — й~, Й Е Ы 1пп ( — Й ) = 1пп ш1 ( — Й ) = — оо. й-»00 и-«00 й>п Пример 19. хй = ( — 1)йй, Й е 1)1:. 1пп ( — 1)йй = 1пп ш1 ( — 1)йй = 1пп ( — оо) = — оо, й — )00 и — )00 й>п П-)00 1пп ( — 1)йй = 1пп вир( — 1)"Й = 1пп 1+ос) = +оо. й-»00 й>п и — )со Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «нижний» пределы последовательности, введем следующее Определение 15. Число 1или символ — оо или +оо) называют частичныл«пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, стремящаяся к этому числу.
отверждение 1. Нижний и верхний пределы оераниченной последовательности являются соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов ). < Докажем это, например, для нижнего предела « = 1пп хй. Про й)со последовательность гп = ш1 хй нам известно, что она неубывающая и й>п 1пп «и = г' е 2. Для чисел п е М, используя определение нижней грани, ПО ИНДУКЦИИ ПОДбЕРЕМ ЧИСЛа Й„Е 1Ч таК, Чта йп < й„»1 И «й„< Хй„< <»й„+ 1.
1Взяв «1, найдем Й), взяв «й,+1, найдем йз, и т.д.) Поскольку 1пп «и = 1пп (г„+ „— ~ = г, то, опираясь на свойства предела, можем П-~00 " П-~00 утверждать, что 1пп х), = г. Мы доказали, что « — частичный предел П вЂ” ) 00 последовательности 1хй). Это наименьший частичный предел, поскольку для каждого в > О найдется число п Е 1Ч такое, что « — в < «и, т.е. « — в < «п = ш1хй < хй при любом Й > и.
й>п 1) 1При этом считаются принятыми естественные соотношения — оо < я < +оо между символами — оо, +оо и числами я и И. 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 109 Неравенство 1 — е < хь при к > и означает, что ни один частичный предел нашей последовательности не может быть меньше 1 — е. Но е > 0 произвольно, поэтому он также не может быть меньше 1. Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично проведенному.
~ Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к — оо. Но в этом случае и 1пп хь = — оо и можно условиться считать, что снов — ~со ва нижний предел есть наименьший из частичных пределов. Верхний предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он является наибольшим из частичных пределов; он может быть и бесконечным. Если 1пп хь = +со, то последовательность не ограничена Ь вЂ” кю также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремяшуюся к +со.
Если же 1пп хь = — со, что тоже возможно, то это означает, Ь-соо что вар хе = в„— > — оо, т.е. и сама последовательность (хь~ стремится /с>о к — оо, ибо в„> х„. Аналогично, если 1пп хь = +сю, то хь -+ +ос. /с — соо Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что справедливо Утверждение 1'. Для любой последовательности нижний предел есть наименьший из ее частичных пределов, а верхний предел последовательности — наибольший из ее частичных пределов.
Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают. м Случай, когда 1пп хь = 1пп хь = +ос, и случай, когда 1пп хь = Ь->сю Ь вЂ” соо 1пп хь = — со, уже разобраны выше, поэтому можно считать, что Ь-с со 1пп хь = 1пп хь = А Е К. Поскольку с„= 1пГ хь < х„< впрхь = в„ й — соо Ь>о Ь>о и по условию 1пп 1„= 1пп в„= А, то по свойствам предела также о-ссю " о-с00 1пп х„= А. ~ь о-+сО Следствие 2.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ м Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовательности. Если последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпадают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности. Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследовательности можно взять саму последовательность.
Ь Следствие 3. Лемма Бояьпапо — Вейерштрасса как в узкой, так и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утверждения 1' соответственно. м Действительно, если последовательность 1хй) ограничена, то точки 1 = 1пп хй и в = 1пп хй конечны и по доказанному являются чай — ~оо й-~оо стичными пределами последовательности. Только при г = в последовательность имеет лишь одну предельную точку; при г < в их уже по крайней мере две.
Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то существует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бесконечности. ~ Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некоторым превышением) все три пункта намеченной перед началом параграфа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельного перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимости последовательности.
Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень полезный вид последовательностей — ряды. 4. Начальные сведения о рядах а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть 1а„) — последовательность действительных чисел. Напомним, что сумму а„+ ар+1 +... + ая (р < о) принято обозначать символом ~; а„. Мы и=о ХОТИМ ТЕПЕРЬ ПРИДатЬ тОЧНЫй СМЫСЛ ВЫРажЕНИЮ а1 + ао +... + а„+ +..., подразумевающему суммирование всех членов последовательности 1а„). в 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 16.
Выражение а1 + аг +... + а„+ ... обозначают символом ~', а„и обычно называют рядом или бесконечным рядом я=1 (чтобы подчеркнуть отличие его от суммы конечного числа слагаемых). Определение 17. Элементы последовательности)а„), рассматриваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент а„называют и-м членом ряда. п Определение 18. Сумму в„= ~,'аь называют частпичной сума=1 мой ряда или, когда желают указать ее номер, и-й частпичной суммой ряда1). Определение 19. Если последовательность )в„) частичных сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся. Если последовательность 1вя) не имеет предела, то ряд называют расходящимся. Определение 20. Предел 1пп в„= в последовательности частичи — ~со ных сумм, если он существует, называется суммой ряда. Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм (в„), то применением к ),в„) критерия Коши сразу получается Теорема 6 1критерий Коши сходимости ряда).
Ряд а1+...+а„+... сходится тогда и таолько тогда, когда для любого е > 0 найдется такое число Х Е Ы, что из т > и > дт следуета ~а„+... +а ~ ( е. Следствие 4. Если в ряде изменить только конечное число членов, тпо получающийся при этом новый ряд будет сходитаьсл, если сходился исходный ряд, и будет расходитьсл, если исходный ряд расходился. ОТаянм образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару 1(а ), 1з„)) последовательностей, связанных соотношением Чп е )ч (я„= г,' аь).
ь=! 112 ГЛ. П1, ПРЕДЕЛ м Для доказательства достаточно в критерии Коши считать число М превышающим максимальный из номеров измененных членов ряда. а Следствие 5. Для того чтобы ряд а1+... + а„+... сходился, необходимо, чтобы его члены стремились н нулю при и — 1 оо, т. е. необходимо 1пп а„= О. м Достаточно положить в критерии т = и и воспользоваться определением предела последовательности.
~ Вот другое доказательство: а„ = е„ вЂ” е„ 1 и, коль скоро 1пп е„ = и-~сю = я, имеем 1пп а„= 1пп (е„— е 1) = 1пп е„— 1пп е„1 = я — я = О. и->со и — ~еа и — >со о->сю Пример 20. Ряд 1+д+Ч2+...+д" +... часто называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость. Поскольку ~д"! = )д!", то при ~д~ > 1 будет )д" ( > 1 и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть теперь ~д~ < 1.
Тогда я„= 1+ о+... +д" 1 1 Ч 1 — о и 1пп я„ = †,поскольку 1пп о" = О, если ~д~ < 1. 1 1 Ч и-~сО Таким образом, ряд ~ о" ' сходится тогда и только тогда, когда о=1 ~д~ < 1 и в этом случае его сумма равна —. 1 Ч Пример 21. Ряд 1+ — +... + — „+... называется гармоническим, 1 1 поскольку каждый член этого ряда, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого параграфа).
Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частичных сумм 1 1 я„=1+ — +...+ —, 2 и' как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится. Это означает в данном случае, что я„— + +со при и -+ оо. Итак, гармонический ряд расходится. Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример. 1 Ь ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Ряд 1 — 1+ 1 —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
