1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Множество Е„с так определенными в нем операциями обозначают символом К„. а) Покажите, что если и не простое число, то в 2„есть такие отличные от нуля числа т, Ь, что т Ь = О. (Такие числа называются делителями нуля.) Это значит, что из а. Ь = с Ь даже при 6 ~ 0 в л „не следует, что а = с.

Ь) Покажите, что при простом р в л'р отсутствуют делители нуля и «'р есть поле. с) Покажите, что ни при каком простом р поле л' р нельзя упорядочить так, чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями Кр. 23. Покажите, что если И и К' — две модели множества действительных чисел, а /: И вЂ” + И' — такое отображение, что /(х+у) = 1(х)+1(у) и /(х у) = = /(х) . /(у) для любых х, у е И, то: а) /(0) = 0', Ь) /(1) = 1', если /(х) ф 0', что мы дальше будем считать выполненным; с) /(т) = т', где т В л и т' Е К', причем отображение /: К -+ К' биективно и сохраняет порядок; ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 80 «1)«(™) = ™,,гдетпЕУ, пфО, т',п'еК', и'фО', 1(т) =т', 1(п) = и'.

Таким образом, у': Я -+ Я' есть сохраняющая порядок биекция. е) 1: К -+ К' есть биективное, сохраняющее порядок отображение. 24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с точностью до изоморфизма (до способа реализации), т.е. что если К и К'— два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно однозначное отображение у: К -+ К', сохраняющее арифметические операции и порядок: )(х+ у) = 1(х) + 1(у), 1(х у) = 1(х) 1(у) и (х ~< у) вФ (1(х) < 1(у)). 25. В ЭВМ число х представляется в виде х = хд«» ~~ »»=1 ~ ь где р — порядок х, а М = 2 ~— „" — мантисса числа х (~~ < М < 1).

»»=» я При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел: при д = 2 обычно ~р! < 64, а 1« = 35. Оцените этот диапазон в десятичной системе. 26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6 х 6) для шестеричной системы счисления. Ь) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком> в шестеричной системе (532)в (145)в и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе. с) Поделите «уголком» (1301)в((25)в и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе. «1) Проведите сложение «столбиком» (4052) в (3125)в 27. Запишите (100)ш в двоичной и троичной системах.

28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в виде (с««»о»» — 1 ° ° с«о) 3 ~ где а«е (О, 1, 2), возможна и также единственна его запись в виде Рч)1 -» . до)з, где 13 6 (-1,0,Ц. 13. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ Е 81 Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на чвзпечньтх весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что она отличается от остальных монет по весу? 29. Какое наименьшее количество вопросов с ответами <да» или «нет» надо задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров? 30.

а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же вопрос для двоичной системы. В пользу экономичности какой из этих систем говорит сравнение результатов? Ъ) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, располагая п знаками <?-нчной системы. (Ответ: <?"?<.) с) Нарисуйте график функции 1(х) = х«<* над множеством натуральных значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления. 0 3.

Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каждый из которых можно было бы положить в основу построения теории вещественных чисел в качестве аксиомы полноты' ). Эти принципы мы назвали основными леммами в соответствии с их широким использованием во всевозможных доказательствах теорем анализа. 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) Определение 1. Функцию 1: И -+ Х натурального аргумента называют последовательностью или, полнее, последовательностью элементов множества Х.

Значение 1'(и) функции 1, соответствующее числу и Е И, часто обозначают через х„и называют и-м членом последовательности. Определение 2. Пусть Х1,Хз,...,Х„,... — последовательность каких-то множеств. Если Х1 Э Хз З ... > Х„З ..., т.е. уп Е И (Х„з Х„+1), то говорят, что имеется последовательность вложенных множеств. Лемма (Коши — Кантор). Длл любой последовательности 11 :э 1з э ... Э 1„Э ... вложенных отрезков найдетсл точка с Е Н, принадлежащ л всем этим отрезкам.

0См. задачу 4 в конце параграфа. 82 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ 1ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Если, кроме того, известно, что для любого г > О в последовательности можно найти отрезом 1ь, длина которого ~18~ < в, то с— единственная общая точка всех отрезков.

~ Заметим прежде всего, что для любых двух отрезков 1 = 1а, Ъ ], 1„= [ан, 6„] нашей последовательности имеет место а,„< 6„. Действительно, в противном случае мы получили бы а„< 6„< ат < Ъ,„, т.е. отрезки 1,„, 1„не имели бы общих точек, в то время как один из них (имеющий больший номер) должен содержаться в другом. Таким образом, для числовых множеств А = (а,„] т Е г)), В = = (6„~ и е И) выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется число с е К такое, что уа,„е А, уЪн е В выполнено ат < с < < 6„. В частности, а„< с < Ъ„для любого и Е )Ч. Но это и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам 1„, Пусть теперь с1 и сг — две точки, обладающие этим свойством.

Если они различны и, например, с1 < с2, то при любом и Е )Ч имеем а„< с1 < < сг < Ъ„, поэтому О < сг — с1 < 6„— а„и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины с2 — с1.

Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная. )в 2. Лемма о конечном покрытии (прннцнп Бореля — Лебега) Определение 3. Говорят, что система Я = (Х) множеств Х покрывает множество У, если У с (] Х,(т.е. если любой элемент у хек множества У содержится по крайней мере в одном из множеств Х системы Я). Подмножество множества Я = (Х), являющегося системой множеств, будем называть подсистемой системы Я. Таким образом, подсистема системы множеств сама является системой множеств того же типа. Лемма (Борель — Лебег1)).

В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечн я подсистема, покрывающая этот отрезок. ПЭ, Борель 11871 -1958), А. Лебег 11875 — 1941) — известные французские математики, специалисты в области теории функций. 3 3. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ Ж 83 < Пусть о = )11) — система интервалов У, покрывающая отрезок [а, б] = 1ь Если бы отрезок 11 не допускал покрытия конечным набором интервалов системы о, то, поделив 11 пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через 13, тоже не допускает конечного покрытия.

С отрезком 13 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок 13 и т. д. Таким образом, возникает последовательность 11 З 13 > ... > 1„З З... вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами системы о'. Поскольку длина отрезка, полученного на п-м щаге, по построению равна ]1„] = [11 ~ 2, то в последовательности (1„) есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из 32, п. 4с). По лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам 1„, п а Ы Поскольку с Е 11 = [а, 6], то найдется интервал ]а, р'[ = У е о' системы о', содержащий точку с, т.е.

а < с < р. Пусть е = щ1п(с — а, р' — с). Найдем в построенной последовательности такой отрезок 1„, что ]1„] < е. Поскольку с Е 1„и ~1„] < е, заключаем, что 1„с У = ]о, р[. Но это противоречит тому, что отрезок 1„нельзя покрыть конечным набором интервалов системы. > 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса). Напомним, что окрестностью точки х Е К мы назвали интервал, содержащий эту точку; б-окрестностью точки х †интерв ]х — б,х+ д[. Определение 4. Точка р Е К называется предельной шочкой множества Х с К, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества Х.

Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множества Х. (Проверьте!) Приведем несколько примеров. Если Х = ) — „Е К ~ и Е И), то предельной для Х является только (1 точка 0 Е К. Для интервала ]а, Ь[ предельной является каждая точка отрезка [а, б], и других предельных точек в этом случае нет. Для множества Я рациональных чисел предельной является каждая точка К, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа. 84 ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Лемма (Больцано — Вейерштрасс1)).

Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет ио крайней мере одну предельную точку. < Пусть Х вЂ” данное подмножество К. Из определения ограниченности множества Х следует, что Х содержится в некотором отрезке [а, Ь] = 1 С К. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка 1 является предельной для Х. Если бы это было не так, то каждая точка х Е 1 имела бы окрестность с1(х), в которой либо вообще нет точек множества Х, либо их там конечное чисяо.

Характеристики

Список файлов книги