1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским математиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики, — ситуация, вполне аналогичная независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии. Задачи и упражнения 1.
Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно множеству точек интервала ] — 1, 1[. 2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между а) точками двух интервалов; Ь) точками двух отрезков; 14. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 89 с) точками отрезка и интервала; с1) точками отрезка [О, 1] и множеством Н. 3. Покажите, что а) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество; Ь) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел; с) объединение бесконечного множества и не более чем счетного множества имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество; Й) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума; е) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума.
4. Покажите, что а) множество (п~ < пз < ... ) возрастающих последовательностей натуральных чисел равномощно множеству дробей вида О,а~аз...,. Ь) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума. 5. Покажите, что а) множество Р(Х) подмножеств множества Х равномощно множеству всех функций на Х со значениями 0,1, т.е. множеству отображений у: Х -+ -+ (0,1); Ь) для конечного множества Х из п элементов сагд'Р(Х) = 2"; с) учитывая результаты задач 4Ъ) и 5а), можно писать, что сагд Р(Х) = = 2'м'х и, в частности, сагб Р(Ы) = 2"""н = сагд Я; д) для любого множества Х сагбХ < 2'м~'~, в частности, п < 2" при любом п 6 И. Указание. См. теорему Кантора и п.1 84, гл.1.
6. Пусть Хм..., Х~я — конечная система конечных множеств. Покажите, что сагс1 Ц Х; = ~~ сессии ХЬ— ~=1 ~$ — сахб(Х; СХ;,)+ ~~~ сагд(Х; пХ,,СХ )— ч<м и<В<аз — ... +( — 1) 'сатд(Х~ С...СХ ), причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах 1,..., т, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам. 90 ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 7. На отрезке [О, Ц С К изобразите множество чисел х е [О, Ц, троичная запись которых х = О,о1оаоз..., где он б (О, 1,2), обладает свойством: а) неф1; Ь) (о, Ф1)А(о, Ф1); с) Чг Е г( (о, ф 1) (канторово множество).
8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что а) множество тех чисел х е [О, Ц, троичнал запись которых не содержит 1, равномощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет ВИД 0,)11)3з..., Ь) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка [О, Ц. ГЛАВА 111 ПРЕДЕЛ Обсуждая различные стороны понятия действительного числа, мы, в частности, отметили, что при измерении реальных физических величин получаются последовательности их приближенных значений, с которыми затем и приходится работать. Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три следующих вопроса: 1) Какое отношение имеет полученная последовательность приближений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сторону дела, т.е.
мы хотим получить точную запись того, что вообще означает выражение «последовательность приближенных значений> и в какой мере такая последовательность описывает значение величины; однозначно ли это описание или одна и та же последовательность может отвечать разным значениям измеряемой величины. 2) Как связаны операции над приближенными значениями величин с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризуются те операции, при выполнении которых допустима подмена точных значений величин приближенными? 3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения некоторой величины? Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела функции — одно из основных понятий анализа.
Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяснившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 92 деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой простейшей ситуации. 2 1. Предел последовательности 1. Определения и примеры. Напомним следующее Определение 1. Функция у: г1 -+ Х, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Значения Дп) функции у называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргумента, х„: —..
1 (п). Саму последовательность в связи с этим обозначают символом 1х„), а также записывают в виде хмх2,...,х„,... и называют последовательностью в Х или последовательностью элементов ,ннолеества Х. Элемент х„называется п-м членом последовательности. Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности 1': Ы -+ К действительных чисел. Определение 2. Число А Е К называется пределом числовой последовательности (х„), если для любой окрестности $~(А) точки А существует такой номер Д1 (выбираемый в зависимости от $'(А)), что все члены последовательности, номера которых больше М, содержатся в указанной окрестности точки А.
Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения предела числовой последовательности: Число А е К называется пределом последовательности 1х„), если для любого е > О существует номер Д1 такой, что при всех и > Д1 имеем )х„— А( ( е. Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), если заметить, что в любой окрестности )~(А) точки А содержится некоторая е-окрестность этой же точки.
Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность е > О мы ни задали, найдется номер Д1 такой, что абсолютная погрешность приближения числа А членами последовательности (х„) меньше чем е, как только и > Д1.
1 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 93 Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись «1пп х„= Ав означает, что А — предел последовательности 1х„1. Итак, и соответственно 1пп х„= А):= '/е > О й/"в' е М 'г/и > Х (~хп — А~ < е). ( и — в со Определение 3. Если 1пп х„= А, то говорят, что последовательность 1х„1 сходится к А или стремится к А и пишут х„— + А при и -+ со.
Последовательность, имеющая предел, называется сходя«лейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходяп1ейся. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. 1пп — = О, так как — — О = — < е при п > Х = 1 1 1 и-~ОО " и Ю" Пример 2. 1пп и+ = 1, так как ~" +" — 1 = 1 < е при п > и, и и и — [е~ Пример 3. 1пп (1+ 1- — «1 — 1 = 1, так как (1+ ~ 11 1 — 1 = 1 < и — «оо в, п и / и <е при и>/« 111 Пример 4 Ипв агап О,гак кавс а«па О < 1 < е при и нос и и Пример 5. 1пп 1„= О, если )«1~ > 1.
и-воо д Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. П, 3 2, п. 4с, для любого е > О можно найти число Х Е И такое, что — < е. 1 иг" О [х) — целая часть числа х; см. следствие 10' принципа Архимеда, гл. П, 1 2, п. 3. ГЛ. П1.
ПРЕДЕЛ Поскольку ~д~ > 1, то для любого п > Х будем иметь — „— О = — „< 1 1 я" ~я~" « — „ е и определение предела удовлетворено. 1 М~ Пример 6. Последовательность 1,2, —,4, —,6, —,... с и-м членом 1 1 1 х„= п~ П, и е 1ч', — расходящаяся. Действительно, если А †пред последовательности,то,как следует из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа. Число А ~ О не может быть пределом данной последовательности, ибо вне е-окрестности А при е = - > О лежат все члены нашей после- )А) довательности Вида †, для которых < Число О тоже не может быть пределом этой последовательности, поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже имеется бесконечно много членов нашей последовательности.
Пример Т. Аналогично можно проверить, что последовательность 1, — 1, +1, — 1,..., для которой х„= ( — 1)", не имеет предела. 2. Свойства предела последовательности а. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, которыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать только для числовых последовательностей.
Последовательность, принимающую только одно значение, будем называть постоянной. Определение 4. Если существуют число А и номер А1 такие, что х„= А при любом и > Х, то последовательность 1х„) будем называть финально постоянной. Определение 5. Последовательность 1х„) называется ограниченной, если существует число М такое, что ~х„~ < М при любом и Е г1 Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сходится. Ь) Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа. с) Последовательность не может иметь двух различных пределов. с1) Сходящаяся последовательность ограничена.
11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 95 м а) Если х„= А при и > Ю, то для любой окрестности $'(А) точки А имеем х„Е $'(А) при и > Х, т. е. 1пп х„= А. Ь) Утверждение непосредственно следует из определения предела последовательности. с) Это важнейший пункт теоремы. Пусть 1пп х„= А1 и 1пп хв = = А2. Если А1 Ф А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности У'(А1), Ъ'(А2) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, б-окрестности этих точек при б < -~А1 — А2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
