1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 17
Текст из файла (страница 17)
символ сер... сер „... отвечает найденному числу х Е К. Итак, каждому положительному числу х Е К мы взаимно однозначно сопоставили символ вида елр... слв,..., если р > О, или 0,0... Осер..., ~р~ нулей если р < О. Он называется с7-инной позиционнои записью числа х; цифры, входящие в символ, называют знаками; позиции знаков относительно запятой называются разрядами. Числу х < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ положительного числа — х. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0... 0...
Тем самым завершено построение позиционной о-инной системы записи действительных чисел. Наиболее употребительными являются десятичная система (в обиходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычислительных машинах). Менее распространены, но также используются в элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы. Формулы (4), (5) показывают, что если в о-ичной записи числа х оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося при этом приближения (4) числа х не превысит единицы последнего сохраняемого разряда. Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в подпункте Ь формулами оценивать погрешности, возникающие при арифметических операциях над числами в результате замены точных значений чисел соответствующими приближенными значениями вида (4).
Последнее замечание имеет также определенную теоретическую ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта Ь мы отождествим вещественное число х с его д-ичной записью, то, научившись выполнять арифметические действия непосредственно над д-ичными символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-видимому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения. Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, таковы. ГЛ.
11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 76 Надо двум д-ичным символам поставить в соответствие новый символ — сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а именно, складывая все более точные рациональные приближения исходных чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения их суммы. Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать, что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем получать все больше таких д-ичных знаков суммы, которые уже не меняются при последующем уточнении приближений. Тот же вопрос надо решать и относительно умножения. Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чисел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду. Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в множестве Ц рациональных чисел, т.
е. с разбиением Ц на два не имеющих общих элементов множества А, В таких, что Ча Е А Чб Е В 1а ( Ь). При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома полноты 1непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда. По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто называют аксиомой Дедекинда. Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел. Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел. Показано, как из принятой нами аксиоматики') вытекают основные свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множества действительных чисел.
Обсуждены вычислительные аспекты теории действительных чисел; оценки погрешностей при арифметических операциях с приближенными величинами; д-ичная позиционная система счисления. Задачи и упражнения 1. Опираясь ~а принцип индукции, покажите, что а) сумма х1 +... + х„вещественных чисел определена независимо от расстановки скобок, предписывающих порядок сложения; Ь) то же для произведения х1 ...х„; с) )х1+... +х„) ( )х1)+... + )х„); д) ~х1 ...х„~ = ~х1~... ~х„~; ОПочти я приведенном выше виде опа была сформулирована ~а рубеже ХХ века Гпяьбертом; см., например, в кпп Г ил ь б е р т Д.
Основания геометрия. М.: Гостехиздат, 194а 1Добаплепие Ч1: О понятии числа.) 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 77 е) ((т, п к И) А (т < п)) =2 ((п — т) е И); Г) (1 + х)" > 1+ их при х > — 1 и и Е И, причем равенство возможно либо при п = 1, либо при х = О (неравенство Бернулли); 8) (а+Ь)" = а" + — "а" 'Ь+ -"-(и: — — ~~а" ЗЬ + + "" 1 "' 'заЬ" '+Ь" П 21 и — 1! (бином Ньютона). 2. а) Проверьте, что е и Я вЂ” индуктивные множества.
Ь) Приведите примеры индуктивных множеств, отличных от И, е', Я, Е. 3. Покажите, что любое индуктивное множество не ограничено сверху. 4. а) Любое индуктивное множество бесконечно (т. е. равномощно своему подмножеству, отличному от него самого). Ь) Множество Е„= (х ~ И ~ х < п) конечно (сагб Е„обозначают через и). 5.
а) Алгоритпм Евклида. Пусть т, п Е И и т > п. Наибольший общий делитель (НОД(т, п) = д е И) можно за конечное число шагов найти, пользуясь следующим алгоритмом Евклида последовательного деления с остатком: т = д1 п + Т2 (Т2 < и), п = дзт1 +т2 (г2 < Т2), т1 = дзт2 + тз (тз < т2) тз 1 = дев.1ть + О, и «(= тю Ъ) Если е( = НОД(т,и), то можно подобрать числа р, д Е е так, что рта+ дп = д; в частности, если т, п взаимно просты, то рт+ дп = 1. 6.
Попробуйте самостоятельно доказать основную теорему арифметики (формулировка в тексте З 2, п. 2а). 7. Если произведение т. и натуральных чисел делится на простое число р, т.е. т п = р Ь, где Ь е И, то либо т, либо п делится на р. 8. Из основной теоремы арифметики следует, что множество простых чисел бесконечно. 9. Покажите, что если натуральное число п не имеет вида Ь, где Ь, ги е И, то уравнение х = п не имеет рациональных корней. 10.
Покажите, что запись рационального числа в любой д-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр. 11. Иррациональное число а Е Е назовем хорошо приблиакаемым рациональными числами, если для любых натуральных чисел п, А1 Е И существует рациональное число и такое, что ~а — е~ < —. 1 д Яда а) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа. ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 78 Ь) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может быть алгебраическим, т. е.
оно трансцендентно (теорема Лвувиллл~)). 12. Зная, что по определению дроби ™„:= т п», где т В я., и В 1«), вывести «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие равенства двух дробей. 13. Проверьте, что рациональные числа Я удовлетворяют всем аксиомам действительных чисел, кроме аксиомы полноты. 14.
Принимая геометрическую модель множества действительных чисел — числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а+ Ь, а — Ь, аЬ 'ь. 15. а) Проиллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси. Ь) Докажите, что принцип верхней грани эквивалентен аксиоме полноты. 16. а) Если А С В С К„то вир А < вир В, а 1п1 А > 1п1 В. Ъ) Пусть К Э Х ф О и К:» У ф О. Если»х е Х и»»у с У выполнено х < у, то Х ограничено сверху, У снизу и зир Х < )п1У.
с) Если множества Х, У из Ь) таковы, что Х 1) У = К, то зирХ = )п(У. «1) Если Х, У вЂ” множества, определенные в с), то либо ВшахХ, либо 3 пип У (теорема Дедеквнда). е) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна аксиоме полноты. 17. Пусть А +  — множество чисел вида а + Ь и А  — множество чисел вида а Ь, где а В А С К и Ь В В С К. Проверьте, всегда ли а) вир(А+ В) = вирА+ зирВ; Ь) вир(А В) = лир А лир В. 18. Пусть — А есть множество чисел вида — а, где а В А С К.
Покажите, что зир( — А) = — )п1 А. 19. а) Покажите, что уравнение х" = а при п В И и а > 0 имеет положительный корень (обозначаемый ~Га или а'~"). Ь) Проверьте, что при а > О, Ь > О и и, т е )«) Фаб = у'а ЮЬ и»,/ ™~а = '»1»ш с) (акая)"' = (а'")'»" =: ая»»" и а'»" а'» = а'»"+'» 8) (а У") « = (а-«)»" =; а- »" е) Покажите, что для любых гы тз В Я , а«» — а«»+»» (а«»)"» — а«»«» 20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но не полной!) упорядоченности множеств. ОЖ. Лиувилль (1809 — 1882) — французский математик; работы по комплексному анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике. 6 2.
ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 79 Ь) Пусть А, В, С вЂ” такие множества, что А С С, В С С, А ~ В ф о и В ~ А ф о. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а). Укажите максимальный и минимальные элементы множества (А, В, С). (Обратите внимание на неединственность!) 21. а) Покажите, что так же, как и множество Я рациональных чисел, множество Я(~/и) чисел вида а + 6«/и, где а, Ь е Я, а и — фиксированное натуральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты.
Ь) Проверьте, какие из аксиом действительных чисел не будут удовлетворяться для «1( /и), если в Я(~/и) оставить прежние арифметические операции, а отношение порядка ввести по правилу (а + Ь /й < а' + 6'«/и):= ((Ь < 6') «« У((Ь = Ь') А(а < а'))). Будет ли тогда для ф~/й) выполнен принцип Архимеда? с) Упорядочите множество Р(х) многочленов с рациональными или действительными коэффициентами, считая Р (х) =ае+а«х+... +а х ~ О, если а > О. «!) Покажите, что множество «л(х) всех рациональных дробей ее+а,х+...
+а х™ Ье + 6«х +... + Ь„х" с коэффициентами из Я или из И после введения в нем порядка В„«,„р- О, если ~~ — > О, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но и не архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть выведен из аксиом И, минуя аксиому полноты. 22. Пусть и Е И и и > 1. В множестве Е„= (О, 1,..., и) определим сумму и произведение элементов как остаток от деления на и «обычной«суммы и произведения этих чисел в 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
