1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким образом, М = И и, значит, если (т, ф 1) А (х Е И), то 2 < т,, т.е. действительно ппп (х Е И ~ 1 < х) = 2. Итак, 1 Е Е. Покажем теперь, что если и Е Е, то и (и + 1) Е Е. 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 55 Заметим сначала, что, если х Е (х, Е И ~ п + 1 < х), то (х — 1) = у Е (у Е И ! и < у), ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому (п + 1 < х) =~ (1 < х) ~ (х Ф 1), а тогда в силу утверждения 2' (х — 1) =уЕИ. Пусть теперь п Е Е, т.е. ппп(у Е И ~ п < у) = п + 1.
Тогда х — 1 > > у > п + 1 и х > п+ 2. Значит, (х Е (х Е И / п+ 1 < х)) ~ (э: > и + 2) и, следовательно, ппп(х, Е И ~ п + 1 < х) = п + 2, т. е. (и + 1) Е Е. По принципу индукции Е = И, и утверждение 3' доказано. ь В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2' и 3' получаем следующие свойства 4', 5', 6' натуральных чисел: 4' (т Е И) Л (п Е И) Л (п < т) ~ (и+ 1 < т). 5' Число (и+ 1) Е И непосредстпвенно следует в И эа натуральным числом и, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию п < х < п+ 1, если п Е И.
6' Если п Е И и п ~ 1, то число (и — 1) е И и (и — 1) неиосредстпвенно предшествует числу п в И, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетпворяютцих условию и — 1 < х < п, если и Е И. 7' Покажем теперь, что в любом неиустпом иодмножестпве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент. ~ Пусть М с И. Если 1 Е М, то пппМ = 1, поскольку Уп Е И (1 < и). Пусть теперь 1 ф М, т.е. 1 Е Е = И '1 М.
В множестве Е должно найтись такое натуральное число п б Е, что все натуральные числа, не превосходящие п, лежат в Е, а (п + 1) Е М. Если бы такого п не было, то множество Е С И, содержащее единицу, вместе с и Е Е содержало бы и (п+ 1) и по принципу индукции совпадало бы с И. Последнее невозможно, поскольку И 1 Е = М ф О. Найденное число (и+ 1) Е М и будет минимальным в М, поскольку между и и п + 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. ~ 56 ГЛ. П.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 2. Рациональные и иррациональные числа а. Целые числа Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом Ж. Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы И, то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества Ж.
М Действительно, если т, и Е Ж, то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма т+п равна другому числу, т. е. (т+ и) Е Ж, а произведение т . п = О Е Ж, либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо т, и Е И и тогда (т+ п) Е И Е Ж и (т п) Е И Е У, либо ( — т),( — и) Е И и тогда т п = (( — 1)т)(( — 1)п) Е И, либо ( — т),п Е И и тогда (-т п) Е И, т.е, т п Е У, либо, наконец, т, -и Е И и тогда ( — т п) Е И и снова т п Е У. Ь Таким образом, Ж есть абелева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество Ж и даже Ж '1 О не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в Х (кроме числа, обратного единице и минус единице). М Действительно, если т Е У, и т ф О, 1, то, считая сначала т Е И, имеем О < 1 < т и, поскольку т т ' = 1 ) О, должно быть О < т 1 < 1 (см.
в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким образом, т 1 ф л,. Случай, когда т — отрицательное целое число, отличное от — 1, непосредственно сводится к уже разобранному. ь В том случае, когда для чисел т, п Е У число к = т . и ' Е У,, т. е. когда т = к п, где к Е Ж, говорят, что целое число т делится на целое число п или кратно п, или что п есть делитель т. Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т.е. домножением на — 1, если в этом есть необходимость, немедленно приводится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и изучается в арифметике.
Напомним без доказательства так называемую основную теорему арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваться. 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 57 Число р Е г), р ~ 1, называется простым, если в г) у него нет делителей, отличных от 1 и р. Основная теорема арифметики.
Каждое натуральное число допускает и притом единственное (с точностью до порлдка сомножителей) представление в виде произведенил и = Р1. ° Ры где ры .,рь — простые числа. Числа т, п е я' называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от 1 и — 1. Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение т и взаимно простых чисел т, и делится на простое число р, то одно вз чисел т, п также делится на р.
Ь. Рациональные числа Определение 4, Числа вида т . и 1, где т, и е Ж, называются рациональными. Множество рациональных чисел обозначается знаком Я. Таким образом, упорядоченная пара (т,п) целых чисел определяет рациональное число д = т .и ', если п ф О. Число д = т и ' записывают также в виде отношения' ) т и п или так называемой рациональной дроби ~~. Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из определения рационального числа и аксиом действительных чисел.
В частности, >от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяется>, т. е. дроби --~- и — представляют одно и то же рациональное число. ш)> ш В самом деле, поскольку (п)с)()с 1п 1) = 1, т.е.
(и к) 1 = к '. п 1, то (т)с)(пй) 1 = (т)с)(й 1п 1) = т п Таким образом, различные упорядоченные пары (т, п) и (тк, пй) задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соответствующих сокращений любое рациональное число можно задать упорядоченной парой взаимно простых целых чисел. НОбозначенне Π— по начальной букве англ, Чпоиевс — отношение (от лат. опоьа — часть, приходящаяся на единицу чего-либо, н овос — сколько). 88 ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЪНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА С другой стороны, если пары (т1, п1) и (т2, п2) задают одно и то же рациональное число, т. е, т1 и, = тз.п2, то т1п2 = тзп1, и если, например, т1 и п1 взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики п2 п1 — — т2 т = Й и Ж. Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (т1, п1), (т2, п2) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.
существует число Й Н Б такое, что, например, т2 = Йт1 и п2 = Йп1. с. Иррациональные числа Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Классическим примером иррационального действительного числа является ~Г2, т.е. число в Е К такое, что в ) О и в2 = 2. Иррациональносты/2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число в Е К, квадрат котороео равен двум, и, во-вторых, что в ~ 1в. м Пусть Х и У вЂ” множества положительных действительных чисел такие, что Чх Е Х (х2 < 2), чу Н У (2 < у2). Поскольку 1 Е Х, а 2 Е У, то Х и У вЂ” непустые множества. Далее, поскольку для положительных х и у (х < у) ~ (х2 < у2), то любой элемент х Н Х меньше любого элемента у Е У.
По аксиоме полноты существует число в Н К такое, что х < в < у для ах 6 Х и уу е У. Покажем,что в2 = 2. 2 — в~ Если бы было в2 < 2, то, например, квадрат числа в+ ', большего чем в, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 Н Х, поэтому 12 < в2 < 2 и О < Ь = 2 — з2 < 1. Значит, < в+ — ) =в +2.— +~ — ) <в +3 — =в +Ь=2. Зв) 3 ~ Зв) 3 Следовательно, (в+ — ) е Х, что несовместимо с неравенством х < з для любого элемента х Е Х.
2 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 59 8 — 2 , мень- У, поэтому Если бы было 2 < з2, то, например, квадрат числа з— щего чем з, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 Е 2<з2(22илиО<Ь=з2 — 2<3 и 0« — 1.Отсюда А < з — — ) =з — 2 — +~ — ) >з — 3 — =з — Ь=2. Зз) 3 13з) 3 Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррациональных чисел.
Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел. Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраические иррациональности и трансцендентные числа. Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения аея" +... + а„1я+ а„= 0 с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами. В противном случае число называется трансцендентным.
Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
