1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для точных расчетов используют табличное задание функции, а чаще — алгоритмическое, реализуемое в вычислительных машинах. Упражнения 1. Ко»»позиция»с» о»с» отношений н.ю»»а определяется следуюшим образом: йа о »».» . — ((х, е) ! 3 у (х й.» у) А (у йа е)). 27 2 3. ФУНКЦИЯ В частности, если Я.г С Х х У и Яз С У х л, то Я = Яз о Яг С Х х о, причем х Я. е:= Л у ((у Е У) Л (х Яг у) Л (у Яз е)). а) Пусть глх — диагональ множества Х~, а глу — диагональ множества Уз. Покажите, что если отношения Ег С Х х У и Яэ С У х Х таковы, что (Яз о Яг = Ьх) Л (Яг о Яэ = Ь~ ), то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств Х, У.
Ъ) Пусть Я С Х . Покажите, что условие транзитивности отношения Я равносильно тому, что Я о Я С Я. с) Отношение Я' С У х Х называется транспонироеаннгям отношением Я. С Х х У, если (у Я' х) ЕЭ (х Я. у) . Покажите, что антисимметричность отношения Е С Хз равносильна условию Я П Я' С ьгх. б) Проверьте, что любые два элемента множества Х связаны (в том или ином порядке) отношением Е С Х', если и только если Я 0 Е' = Х'.
2. Пусть у': Х вЂ” > У вЂ” отображение. Прообраз у '(у) С Х элемента у Е е У называется слоем над у. а) Укажите слои для отображений ргг: Хг х Хз -+ Хы ргэ: Х, х Хз -+ Хз. Ь) Элемент хг Е Х будем считать связанным с элементом хз е Х отноше- нием Я С Х и писать хг Я хз, если Дхг) = Дхз),т.е. если хг и хз лежат в одном слое.
Проверьте, что Я есть отношение эквивалентности. с) Покажите, что слои отображения 7': Х -+ У не пересекаются, а объеди- нением слоев является все множество Х. о) Проверьте,что любое отношение эквивалентности между элементами множества позволяет представить это множество в виде объединения непере- секаюпшхся классов эквивалентных элементов. 3. Пусть у: Х вЂ” г У вЂ” отображение из Х в У. Покажите, что если А и  — подмножества Х, то а) (А С В) =~ (7(А) С ДВ)) у~ (А С В), Ь) (А ф Э) => ЩА) ф го), с) ~(А О В) С /(А) П ДВ), д) ДАОВ) = 7'(А) 07'(В); если А' и В' — подмножества У, то е) (А' С В') => (у '(А') С у '(В')), г) у' '(А'ПВ') = 7' '(А') йу" '(В'), я) 7 г(А'ОВ') = 7 г(А') 07' г(В'); если У > А' Э В', то 28 ГЛ.
1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Ь) у '(А' 1В') = / '(А') 1у '(В'), 1) ~ '(СуА') = Сх~ '(А'); для любого множества А С Х и любого множества В' С У 1) у '(у(А)) э А, к) Ду '(В')) с В'. 4. Покажите, что отображение у: Х -+ У а) сюръективно, если и только если для любого множества В' С У спра- ведливо ((( 1(В')) = В'1 Ъ) биективно, если и только если для любого множества А С Х и любого множества В' С У справедливо (у '(ДА)) = А) А (Д1 '(В')) = В'), 5. Проверьте эквивалентность следующих утверждений относительно отображения (': Х -+ У: а) / инъективно; Ь) у '®А)) = А для любого множества А С Х; с) у(А и В) = ДА) и у(В) для любой пары А, В подмножеств Х; с1) ДА) П у (В) = о о» А П В = о; е) ДА 1 В) = у(А) 1 у(В), если Х З А Э В.
6. а) Если отображения у: Х -+ У и д: У вЂ” > Х таковы, что д о 1 = ех, где ех — тождественное отображение множества Х, то д называется левым вбратнььм впьображением для /, а 1 — правым обратным для д. Покажите, что, в отличие от единственного обратного отображения, может существовать много односторонних обратных отображений. Рассмотрите, например, отображения у: Х -+ У и д: У вЂ” ь Х, где Х— однозлементное, а У вЂ” двухзлементное множества, или отображения последовательностей (хм ., ., х„,...
) ь-+ (а, хы..., х„,... ), (Ую ° Уо ° ) Ь ' (Уь Уз ° ° ° ~Уо ° ). Ъ) Пусть у: Х вЂ” > У и д: У -+ Я вЂ” биективные отображения. Покажите, что отображение д о /; Х -+ л биективно и что (д о /) 1 = у 1 од с) Покажите, что для любых отображений у: Х -+ У, д: У -+ л и любого множества С с о справедливо равенство 4) Проверьте, что отображение Г: Х х У -+ У х Х, задаваемое соответствием (х,у) ь (у,х), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно обратных отображений у: Х -+ У и (' ': У вЂ” ь Х.
в 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 29 7. а) Покажите, что при любом отображении 1: Х -+ У отображение г г: Х -+ Х х У, определяемое соответствием х ~ — > (х, 1(х)), является инъективным. Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности У; пусть Х вЂ” ось времени и х ~ — > у — соответствие между моментом времени х е Х и поло- 1 жением у = 1(х) е У частицы. Изобразите график функции 1: Х + У в Х х У. 8. а) Для каждого из разобранных в 9 3 примеров 1 — 12 выясните, является ли укаэанное в нем отображение сюръективным, инъективным, биективным или оно не принадлежит ни одному из указанных классов. Ь) Закон Ома 1 = У'/Н связывает силу тока 1 в проводнике с напряжением У на концах проводника и сопротивлением Л проводника.
Укажите, отображение О: Х -+ У каких множеств соответствует закону Ома. Подмножеством какого множества является отношение, отвечающее закону Ома? с) Найдите преобразования С ', 1, ', обратные к преобразованиям Галилея и Лоренца. 9. а) Множество о С Х называется устойчив и относительно отображения 1: Х -+ Х, если 1(о') С 5. Опишите множества, устойчивые относительно сдвига плоскости на данный лежащий в ней вектор.
Ь) Множество 1 С Х называется инварианшныи относительно отображения 1: Х -+ Х, если 1(1) = 1. Опишите множества, инвариантные относительно поворота плоскости вокруг фиксированной точки. с) Точка р Е Х называется неподвижной точкой отображения 1 Х -+ Х, если 1"(р) = р. Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и гомотетии плоскости имеет неподвижную точку, если коэффициент гомотетии меньше единицы. 4) Считая преобразования Галилея и преобразования Лоренца отображениями плоскости на себя, при которых точка с координатами (х,с) переходит в точку с координатами (х', Р), найдите инвариантные множества этих преобразований.
10. Рассмотрим установившийся поток жидкости (т. е. скорость в каждой точке потока не меняется со временем). За время с частица, находящаяся в точке х потока, переместится в некоторую новую точку ~~(х) пространства. Возникающее отображение х + ~~(х) точек пространства, занимаемого потоком, зависит от времени 1 и называется преобразованием за время б Покажите, что ~~ о ~~ — ~~ о ~1 — Ь .~.~ и (~ О 1 ~ — 1о = ех, 9 4. Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардннальные числа). Говорят, что множество Х равномощно множеству У, если существует биективное отображение Х на У, т.е.
каждому элементу х е Х сопоставляется элемент у Н У, причем различным элементам множества Х отвечают 30 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ различные элементы множества У и каждый элемент у Е У сопоставлен некоторому элементу множества Х. Описательно говоря, каждый элемент х е Х сидит на своем месте у Е У, все элементы Х сидят и свободных мест у е У нет. Ясно, что введенное отношение Х Л. У является отношением эквивалентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом случае Х У вместо Х сс У. Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств на классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (равномощны), а разных — разное.
Класс, которому принадлежит множество Х, называется мощностью множества Х, а также кардиналом или кардинальным числом множества Х и обозначается символом сагс1Х. Если Х У, то пишут сагс)Х = сагс)У. Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать количества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т, е. к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел 18 = (1,2,3,... ).
11оследнее, как мы вскоре увидим, иногда принципиально невозможно. Говорят, что кардинальное число множества Х не больше кардинального числа множества У, и пишут сагс(Х < сагс( У, если Х равно- мощно некоторому подмножеству множества У.
Итак, (сап1 Х < сагс) У): = (3 х с У ~ сагс1 Х = сагс) х ). Если Х С У, то ясно, что сзхс1Х < сап1У. Однако, оказывается, соотношение Х с У не мешает неравенству сагс) У < сагс1 Х, даже если Х есть собственное подмножество У. Например, соответствие х ~-> — -* — ( есть биективное отображение промежутка — 1 < х < 1 числовой оси И на всю эту ось. Возможность для множества быть равномощным своей части является характерным признаком бесконечных множеств, который Дедекинд') даже предложил считать определением бесконечного множест- ПР, Дедекинд (1831 — 1916) — немецкий математик-алгебраист, принявший активное участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксиоматику множества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано— по имени Дж.
Пеано (1858 — 1932), итальянского математика, сформулировавшего ее несколько позже. 8 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ ва. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству: в противном случае оно называется бесконечным. Подобно тому,как отношение неравенства упорядочивает действительные числа на числовой прямой, введенное отношение неравенства упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств.
А именно, можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного отношения: 1' (сагдХ < саге) У) Л (сагб У < саге) Я) =ь (сап)Х < саге) Я) (очевидно); 2' (сагс1Х < сап)У) Л (сап)У < саге)Х) =ь (сап)Х = саге)У) (теорема Шредера- Бернштейнаг)); 3' ЧХ ЧУ (сагс1Х < сап)У) ч' (сагс1 У < сагд Х) (теорема Кантора). Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядоченным. Говорят, что мощность множества Х меньше мощности множества У, и пишут сагс1Х < сап) У, если сагс1Х < сагс1 У и в то же время сап1Х Ф сагдУ. Итак, (сап)Х < сап1У):= (саге)Х < сап)У) Л Л (сап1Х ф сап)У). Пусть, как и прежде, Π— знак пустого множества, а Р(Х) -- символ множества всех подмножеств множества Х.
Имеет место следующая открытая Кантором Теорема. саго Х < саге) Р(Х). ~ Для пустого множества Е1 утверждение очевидно, поэтому в дальнейшем можно считать, что Х ф Е1. Поскольку Р(Х) содержит все одноэлементные подмножества Х, сагс1Х < саг6Р(Х). Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что сагдХ ф. сап)Р(Х), если Х ф И. Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение г': Х -+ Р(Х).
Рассмотрим множество А = (х Е Х ! х ф у(х)) тех элементов х е Х, которые не содержатся в сопоставленном им множестве у'(х) Н Р(Х). Поскольку А Е Р(Х), то найдется элемент а Е Х такой, что )'(а) = А. Для элемента а Е Х невозможно ни соотноше- 0Ф. Бернштейн (1878 — 1956) — немецкий математик, ученик Г, Кантора: Э. Шреч дер (1841 — 1902) — немецкий математик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
