1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами. 11, 111) Связь сложения и порядка в К Если х,, у, е — элементы К, то 1х < у) ~ 1х+я< у+я). 111, 111) Связь умножения и порядка в К Если х, у — элементпы К, то 10 < х) А (О < у) =ь 10 < х у). 11У) Аксиома полноты 1непрерывности) Если Х и У вЂ” непустые подмножества И, обладающие тем свойством, что для любых элементов х Е Х и у Е У выполнено х ( у, то сущестпвует такое с Е К, что х < с < у для любых элементов х е Х и у Е У.
Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве К позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел. Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль«, опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 44 остальные свойства действительных чисел.
По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний. Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т.е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия вбольшее (вменьшеь); что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой.
Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии. Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса. Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т.е.
существует ли множество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики. Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, натееорична ли система аксиом. Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем Кд и Кн, удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами Кл, КВ можно установить биективное соответствие, пусть у: Кл -+ КВ, сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т.
е. у (х + у) = у (х) + у1у), ~(х у) = у1х) у(у), х < У Е> 1(х) < 1(У). С математической точки зрения Кл и Кп в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, К4 — бесконечные десятичные дроби, а Кп — точки на числовой прямой). Такие реализации е ь АксиОмАтикА и сВОЙстВА ДейстВительных чисел 45 называются изоморфными, а отображение ~ — иэоморфиэмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.
Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них. Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл.
1, ~4, п.2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество И всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам. Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа. 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
Покажем на примерах, как известные свойства чисел получаются из приведенных аксиом. а. Следствия аксиом сложения 1' В множестве действительных чисел имеетсл только один нуль. ~ Если 01 и Ог — нули в К, то по определению нуля 04 = 01 + Ог = Ог + 01 = Ог. 2' В множестве действительных чисел у каждого элемента имеется единственный противоположный элемент. < Если х1 и хг — элементы, противоположные х й Я„то х1 = х1 + О = х1 + (х + х2) = (х1 + х) + х2 = О + х2 = х2. Здесь мы использовали последовательно определение нуля, определение противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определение противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля.
3' Уравнение а+х=Ь в И имеет и притом единственное решение х = Ь+( — а). ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 46 ~ Это вытекает из существования и единственности у каждого элемента а Е К противоположного ему элемента: (а + х = 6) е«((х + а) + ( — а) = Ь + ( — а)) е« 4=» (х + (а + ( — а)) = Ь + ( — а)) е» (х + 0 = Ь + ( — а)) е« <=» (х = Ь+ ( — а)). Выражение Ь+ ( — а) записывают также в виде Ь вЂ” а. Этой более короткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться.
Ь. Следствия аксиом умножения 1' В множестве действительных чисел имеется только одна еди- ница. 2' Для каждого числа х ф 0 имеется только один обратный элемент х 3' Уравнение а х = Ь при а Е К ~ 0 имеет и притом единственное ре»пение х = Ь а Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказательства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим.
с, Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привлекая дополнительно аксиому (1, П), связываюшую сложение и умножение, получаем дальнейшие следствия. 1' Для любого х Н Ж х 0=0 х=О. м (х 0 = х (О + 0) = х 0 + х 0) ~ (х 0 = х 0 + (-(х 0)) = 0). 1» Отсюда, между прочим, видно, что если х Н К '1 О, то х ' Е К ~ О.
2' (х у=О) =«(х=О) Ч(у=О). м Если, например, у ф О, то из единственности решения уравнения х у = 0 относительно х находим х = 0 у 1 = О. в 3 Для любого х Н И вЂ” х=( — 1) х. ~ и+ ( — 1) х = (1+ ( — 1)) х = 0 х = х 0 = О, и утверждение следует из единственности противоположного элемента. ь 1 Ь АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 47 4' Для любого числа х Е Й ( — 1И вЂ” х) = х.
Следует из 3' и единственности злемента х, противоположного — х. 5' Для любого числа х Е К ( — х)( — х) = х х. м ( — х)( — х) = И вЂ” 1) х)( — х) = (х ( — 1))( — х) = х(( — 1)( — х)) = х х. Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утверждениями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения. ~ «1. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение х < у (читается «х меньше или равно у») записывают также в виде у > х («у больше или равно х»); отношение х < у при х ~ у записывают в виде х < у (читается «х меньше у») или в виде у > х («у больше х») и называют строгим неравенством.
1' Для любых х, у Е К всегда имеет место в точности одно из соотношений: х<у, х=у, х>у. м Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиом 1< и 3<. ~ 2' Для любых чисел х, у, г из )Й (х < у) Л 1у < г) =» (х < г), (х < у) Л (у < г) ~ (х < г). ~ Приведем для примера доказательство последнего утверждения. По аксиоме 2< транзитивности отношения неравенства имеем (х < у) Л (у < г) 4Ф (х < у) Л (у < г) Л (у ф г) =» (х < г). Осталось проверить, что х ~ г. Но в противном случае (х < у) Л (у < г) ~-.> (г < у) Л (у < г) «В (г < у) Л (у < г) Л (у ф г). В силу аксиомы 1< отсюда следует (у = г) Л (у ф г) †противореч. ° ГЛ.
Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 48 е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умножением. Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка испольэовать аксиомы (1, П1), (П, П1), связывающие порядок с арифметическими операциями, то можно получить, например, следующие утверждения: 1' Длл любых чисел х, у, г, и из К (х < у) ~ (х + я) < (у + я), (0<х)~( — х<0), (х < у) Л (г < и) ~ (х+ е < у+ ю), (х < у) Л (я < 4о) =~ (х + г < у + 4о). ~ Проверим первое из этих утверждений.
По определению строгого неравенства и аксиоме (1, П1) имеем (х < у) ~ (у < у) ~ (х + е) < (у + 3). Остается проверить, что х+ г ~ у+ г. В самом деле, Их + ) = (у + я)) =~ (х = (у + я) — е = у + (я — я) = у), что несовместимо с условием х < у. в 2' Если х, у, я — числа из й, то (О < х) Л (О < у) =~ (О < ху), (х < 0) Л (у < 0) ~ (О < ху), (х < 0) Л (О < у) ~ (ху < 0), (х < у) Л (О < г) ~ (хя < уг), (х < у) Л (я < 0) =~ (уя < хя). м Проверим первое из этих утверждений.
По определению строгого неравенства и аксиоме (П, П1) (О < х) Л (О < у) =~ (О < х) Л (О < у) ~ (О < ху). 1 Ь АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 49 Кроме того, 0 ф ху, поскольку, как уже было показано, (х у = 0) =ь (х = 0) Ч (у = 0). Проверим еще, например, и третье утверждение: (х < 0) Л (О < у) ~ (О < -х) Л (О < у) ~ ~ (О < ( — х) у) ~ (О < (( — 1) х)у) =ь =ь (О < ( — 1) (ху)) ~ (О < †(ху)) ~ (ху < 0). Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из скобок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части. 3' 0 < 1. М 1 Е и '1 О, т.е. 0 ф 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
