1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 7
Текст из файла (страница 7)
о (1 все члены одинаковы и равны (, то ее обозначают коротко ('". Хорошо известно, например, что корень квадратный из положительного числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле х„.~1 = — х„+— начиная с любого начального приближения хо > О. Это не что иное, как последовательное вычисление ("(хо), где ) (х) = — (х+ о). Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы широко используются в математике.
Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции д о у и у о д определены, вообще говоря, доу ~ (од. Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество (а,Ь) и отображения ~: (а, Ь) -+ а, д: (а, Ь) -+ Ь. Тогда, очевидно, д о ~: (а, Ь) -+ Ь, в то время как У о д: (а, 6) -+ а. Отображение у": Х -+ Х, сопоставляющее каждому элементу множества Х его самого, т.е. х ~ — ~ х, будем обозначать через ел- и называть тождестеенным отображением множества Х. Лемма. (до ~ = ех) =~ (д сюрьектияно) Л (~ иньентивно).
22 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ м Действительно, если у': Х -+ У, д: У -+ Х и д о у = ек: Х -+ Х, Х = ех(Х) = (д о у)(Х) = д®Х)) с д(У) и, значит, д сюръективно. Далее, если х1 Е Х и хг Е Х, то (Х1 Ф Хг) ~ (ЕХ(Х1) Ф ВХ(Хг)) ~ ((до У)(Х1) ~ (до УНХг)) =» =» (дЩх1)) ~ д®хг)) ~ (у (х1) Ф 1(хг)), следовательно, 7 инъективно. ~ Через операцию композиции отображений можно описать взаимно обратные отображения. лтверждение. Отобразкен»«я у: Х вЂ” + У, д: У вЂ” + Х явля»отея биективными и взаимно обратными в том и только в гном случае, когда д о 1' = ек и у о д = еу. ~ В силу леммы одновременное выполнение условий д о у = ех и у о д = еу гарантирует сюръективность и инъективность, т.е. биективность каждого из отображений у, д. Эти же условия показывают, что у = 1(х) в том и только в том случае, когда х = д(у).
~ Выше мы исходили из явного построения обратного отображения. Из доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее наглядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных отображений как таких, которые удовлетворяют двум условиям: доу = = ех и у о д = еу (см. в этой связи задачу 6 в конце параграфа). 4. сФункция как отношение.
График функции. В заключение вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в период 1673 — 1692 г. у Г. Лейбница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к современному, этот термин установился к 1698 г.
в переписке Иоганна Бернулли"1 с Лейбницем. НИ. Бернулли (1667 — 1748) — один из ранних представителей знаменитого семейства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков вариационного исчисления. Дзл первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления. 13. ФУНКЦИЯ 23 Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале параграфа, встречается уже у Эйлера (середина ХЪ'П1 столетия).
К началу Х1Х века оно появляется уже в учебниках математики С. Лакруа,2) переведенных на русский язык. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевскийэ). Более того, Н. И. Лобачевский указал, что «обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными ел«есте»3). Это и есть идея точного определения понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить. Приведенное в начале параграфа описание понятия функции представляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с точки зрения современных канонов оно не может быть названо определением, ибо использует эквивалентное функции понятие соответствия. Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается определение функции на языке теории множеств.
(Интересно, что понятие отношения, к которому мы сейчас обратимся, и у Лейбница предшествовало понятию функции.) а. Отношение. Отношением 7с называют любое множество упорядоченных пар (х, у). Множество Х первых элементов упорядоченных пар, составляющих 7с, называют областью определения отношения»с, а множество У вторых элементов этих пар — областью значений отношения Я.. Таким образом, отношение Я.
можно интерпретировать как подмножество Я. прямого произведения Х х У. Если Х С Х' и У С У', то, разумеется, »с С Х х У С Х' х У', поэтому одно и то же отношение может задаваться как подмножество различных множеств. Любое множество, содержащее область определения отношения, называют областью отправления этого отношения. Множество, содержащее область значений отношения, называют областью <рибь«тил отношения. ПС. Ф. Лакруа (1765 — 1843) — французский математик и педагог (профессор Нормальной и Политехнической школ, член Парижской академии наук).
МН. И. Лобачевский (1792 — 1856) — великий русский ученый, которому, наряду с великим немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом (1777 — 1855) н выдающимся венгерским математиком Я. Бойни (1802 — 1860), принадлежит честь открытия неевклидовой геометрии, носящей его имя.
ЮЛобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т.5. М.— Лс Гостехнздат, 1951. С.44. 24 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Вместо того чтобы писать (х, у) Е 2с, часто пишут хну и говорят, что т связано с у отношением Я,. Если И С Х2, то говорят, что отношение Я. задано на Х. Рассмотрим несколько примеров. Пример 13. Диагональ сь = ((а, Ь) е Х / а = 61 есть подмножество Х2, задающее отношение равенства между элементами множества Х. Действительно, а 1) Ь означает, что (а,Ь) Е Ь, т. е.
а = Ь. Пример 14. Пусть Х вЂ” множество прямых в плоскости. Две прямые а е Х и Ь Е Х будем считать находящимися в отношении 1с и будем писать а Я. Ь, если прямая Ь параллельна прямой а. Ясно, что тем самым в Х выделяется множество 1с пар (а, 6) таких, что а % 6. Из курса геометрии известно, что отношение параллельности между прямыми обладает следующими свойствами: а 2с а (рефлексивность); а 1с Ь =р Ь 1с а (симметричность); (аЯ,Ь) А (6 пбс) ~ асс (транзитивность).
Любое отношение Я,, обладающее перечисленными тремя свойствами, т. е. рефлексивное, симметричное и транзитивное, принято назы- 1)' вать отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности обозначается специальным символом -, который в этом случае ставится вместо буквы Е, обозначающей отношение. Итак, в случае отношения эквивалентности будем писать а 6 вместо а Е Ь и говорить, что а эквивалентно Ъ.
Пример 15. Пусть М вЂ” некоторое множество, а Х = Р(М) — совокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов а и Ь множества Х = 'Р(М), т.е, для двух подмножеств а и 6 множества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей: а содержится в Ь; Ь содержится в а; а не является подмножеством 6 и 6 не является подмножеством а.
ППолезно для полноты отметить, что отношение ЗС называется рефленсвеным, если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента а из области определения отношения Я. выполнено о 22. а. ь 3. ФУнКЦиЯ 25 Рассмотрим в качестве отношения тс в Х2 отношение включения для подмножеств Х, т. е. положим по определению а тс 6:= (а С 6). Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами: а тс а (рефлексивность); (а тсЬ) т (6 тес) ~ а тес (транзитивность); (а те 6) Л (Ь те а) =ь а Ь Ь, т. е. а = Ь (антисимметричность). Отношение между парами элементов некоторого множества Х, обладающее указанными тремя свойствами, принято называть отношением частпичноео порядка на множестве Х. Для отношения частичного порядка вместо а от 6 часто пишут а 4 Ь и говорят, что Ь следует за а.
Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение частичного порядка, выполнено условие, что Ча ЧЬ ((а тс Ь) ч' (Ь тс а)), т.е. любые два элемента множества Х сравнимы, то отношение тс называется отпношением порядка, а множество Х с определенным на нем отношением порядка называется линейно упорядоченным. Происхождение этого термина связано с наглядным образом числовой прямой 1а„на которой действует отношение а < 6 между любой парой вещественных чисел.
Ь. <Функция н график функции. Отношение тс называется 4ункционольным, если (хаут) д(хауз) « (ут =у2). Функциональное отношение называют функцией. В частности, если Х и У- — два не обязательно различных множества, то определенное на Х отношение Я, с Х х У между элементами х из Х и у из У функционально, если для любого х е Х существует и притом единственный элемент у Е У, находящийся с х в рассматриваемом отношении, т. е. такой, для которого х тс у.
Такое функциональное отношение тс с Х х У и есть отпобразкение из Х е У, или функция из Х е У. 26 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОВЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Функции мы чаще всего будем обозначать символом у. Если )— функция, то вместо х у у мы по-прежнему будем писать у = у(х) или х» — + у, называя у = у(х) значением функции ) на элементе х или У образом элемента х при отображении у. Сопоставление по»закону» ( элементу х й Х»соответствующего» элемента у Е У, о чем говорилось в исходном описании понятия функции, как видим, состоит в том, что для каждого х е Х указывается тот единственный элемент у Е У, что х у у, т.е. (х,у) Е 1 С Х х У.
Графиком функции 1: Х вЂ” » У, понимаемой в смысле исходного описания, называют подмножество Г прямого произведения Х х У, элементы которого имеют вид (х, у (х)). Итак, Г:= ((х, у) е Х х У ! у = ) (х)). В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как подмножество у' с Х х У, конечно, уже нет разницы между функцией и ее графиком. Мы указали на принципиальную возможность формального теоретико-множественного определения функции, сводящуюся по существу к отождествлению функции и ее графика.
Однако мы не собираемся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функции. Функциональное отношение иногда удобно задать в аналитической форме, иногда таблицей значений, иногда словесным описанием процесса (алгоритма), позволяющего по данному х Е Х находить соответствующий элемент у Е У. При каждом таком способе задания функции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью графика, что формулируют так: построить график функции. Задание числовых функций хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что делает наглядным основные качественные особенности функциональной зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (номограммы), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует высокой точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
