1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение: (х~ — Зх + 2 = 0) «» (х = 1) лу (х = 2). 2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утверждение имеет вид А ~ В, где А — посылка, а  — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки А =» С1 =» ... ~ С„=» В следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением' ). В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если А истинно и А =» В., то В тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание А Ч А (А или не А) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что ( А) «=» А, т.е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию. 3.
Некоторые специальные обозначения. Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками м и ° соответственно. Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством специального символа:= (равенство по определению), в котором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта. Например, запись | у1х) «Ь:= 1пп «т(у; Р,~) л!Р) — ~о а О Запись А ~ В ~ С будет употребляться как сокращение для (А ~ В) А (В ~ С). 4 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным.
Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных выражений. Например, запись Д(1)Ьх; =: сг(~;Р,~) вводит обозначение о(у; Р,0 для стоящей слева суммы специального вида. 4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, составляющих предмет исследования математической логики. Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать.
Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями. Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в ХЧП вЂ” Х11П1 веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (Х1Х век).
Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе П построение всего здания анализа. Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с главы 1П, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости. 12.
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Упражнения Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — символом О. Тогда каждому из высказываний ~А, А А В, А Н В, А ~ В можно сопоставить так называемую таблицу истпинности, которая указывает его истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальным определением логических операций, А, Ч, =~. Вот они: —,А ~~ А О 1 ( ААВ~~~~ - А 1 О А => В АчВ 1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, что если А ложно, то импликация А ~ В всегда истинна.) 2.
Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения: а) — (А А В) с» - А Ч - В; Ъ) -(А Ч В) <: -А А -В; с) (А => В) с; (- В => — А); с1) (А=~ В) с~ — Ан В; е) (А=~В)сэАА В. 2 2. Множества и злементарные операции над множествами 1. Понятие множества. С конца Х1Х-начала ХХ столетия наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изучающей различные структуры (отношения) на множествах' ). ПВурбаки Н. Архитектура математики.
В кял Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Мл ИЛ, 1963. 6 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» вЂ” так описал понятие «множество» Георг Кантор1), основатель теории множеств. Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, поскольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным 1во всяком случае, не определенным ранее),чем само понятие множества. Цель этого описания †разъясни понятие, связав его с другими.
Основные предпосылки канторовской 1или, как условно говорят, «наивной>) теории множеств сводятся к следующему: 1' множество может состоять из любых различимых объектов; 2' множество однозначно определяется набором составляющих его объектов; 3' любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают. Если х — объект, Р— свойство, Р(х) — обозначение того, что х обладает свойством Р, то через 1х ~ Р(х)) обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р.
Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества. Множество, состоящее из элементов х1,..., х„, обычно обозначают как 1х1,..., х„). Там, где это не вызывает недоразумения, для сокращения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множество 1а) просто через а. Слова «класс», «семейство», «совокупность», <набор» в наивной теории множеств употребляют как синонимы термина «множество». Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии: множество букв «а» в слове «я»; множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле; совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек; ПГ.
Кантор (1845 — 1918) — немецкий математик, создатель теории бесконечных множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике. а 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ семейство множеств; множество всех множеств. Различие в возможной степени определенности задания множества наводит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное понятие. И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво.
~ Действительно, пусть для множества М запись Р1,М) означает, что М не содержит себя в качестве своего элемента. Рассмотрим класс К = (М ~ Р(М)) множеств, обладающих свойством Р. Если К вЂ множест, то либо верно, что Р1К), либо верно, что — Р(К). Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно, Р1К) невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К содержит К, т.е. что верно -Р(К) с другой стороны, -Р(К) тоже невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это противоречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя не содержат.
Следовательно, К вЂ” не множество. > Это классический парадокс Рассела1), один из тех парадоксов, к которым приводит наивное представление о множестве. В современной математической логике понятие множества подвергается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Однако в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определенным набором свойств. Описание этих свойств составляет аксиоматику.
Ядром аксиоматики теории множеств является постулирование правил, по которым из множеств можно образовывать новые множества. В целом любая из существующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных противоречий наивной теории, а с другой — обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики, и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом в широком смысле слова. НБ.
Рассел (1972 — 1970) — английский логик, философ, социолог и общественный деятель. 8 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто используемых в анализе свойств множеств. 2Келающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут просмотреть пункт 2 из 84 настоящей главы или обратиться к специальной литературе. 2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, составляющие множество, принято называть элементами этого множества. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буквами латинского алфавита, а элементы множества — соответствующими строчными буквами.
Высказывание «х есть элемент множества Х» коротко обозначают символом хЕХ (или Хэх), а его отрицание — символом хфХ (или Х»«х). В записи высказываний о множествах часто используются логические операторы Л 1«существует» или «найдется») и 7 1«любой» или «для любого»), называемые кванторами су«иествованил и всеоби1ности соответственно.
Например, запись Чх ((х Е А) «; (х Е В)) означает, что для любого объекта х соотношения х Е А и х Е В равносильны. Поскольку множество вполне определяется своими элементами, указанное высказывание принято обозначать короткой записью А=В, читаемой «А равно В», обозначающей совпадение множеств А и В. Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов. Отрицание равенства обычно записывают в виде А ~ В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
