1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 9
Текст из файла (страница 9)
32 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ние а е А (по определению А), ни соотношение а ф А (опять-таки по определению А). Мы вступаем в противоречие с законом исключенного третьего. ~ Эта теорема, в частности, показывает,что если бесконечные множества существуют, то и «бесконечности» бывают разные. 2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта— дать интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описывающих свойства математического объекта, называемого множеством, и продемонстрировать простейшие следствия этих аксиом. 1' Аксиома объемности.
Множества А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы. Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта <множество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает, что если мы желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что 'у'х ((х е А) с» (х е В)). 2' Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отвечает множество В, элементы которого суть те и только те элементы множества А, которые обладают свойством Р.
Короче, утверждается, что если А — множество, то и В = (х е А ! Р(х) ) — тоже множество. Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях, когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обладающих тем или иным свойством. Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмножество Ил = (х е Х ~ х ф х) в любом множестве Х, а с учетом аксиомы объемности заключаем, что для любых множеств Х и У выполнено г<х = Иг, т. е. пустое множество единственно.
Его обозначают символом Е<. Из аксиомы выделения следует также, что если А и В- — множества, то А ~ В = (х Е А ~ х ф В) — тоже множество. В частности, если М вЂ” множество и А — его подмножество, то СмА — тоже множество. 3' Аксиома объединения. Для любого множес<пва М множеств существует множество () М, называемое объединением множесп<ва М, сос<поящее иэ <пех и <полька тех элементов, которьье содержа<пса в элементах множества М. Если вместо слов <множество множеств» сказать <семейство множеств», то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существует множество, состоящее из элементов множеств семейства.
Таким образом, объединение множества есть множество, причем х е ОМ е» ЗХ ((Х Е М) А (х Е Х)). г 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить пересечение множества М (семейства множеств) как множество й М пв (х е Д М ~ УХ ((Х Е М) ~ (х Е Х))).
4' Аксиома пары. Длл любых множеств Х и У существует множестпво л такое, что Х и У лвляютсл его единственными элемент ми. Множество И обозначается через (Х,У) и называется неупорядоченной парой множеств Х и У. Множество л состоит из одного элемента, если Х = У. Как мы уже отмечали, упорядоченная пара (Х, У) множеств отличается от неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары. Например, (Х,У) ок ((Х,Х),(Х,У)). Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упорядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если воспользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой.
5' Аксиома множества подмножеств. Длл любого множества Х существует множество 'Р(Х), состоящее иэ «оех и только тех элементов, которые лвллютсл подмножествами множества Х. Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множества. Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (х,у), где х е Х, а у Е У, действительно образуют множество Х х У эк (р Е Р(Р(Х) 0Р(У)) ) р= (ху) д (х Е Х) д (у Е У)). Аксиомы 1' — 5' ограничивают возможность формирования новых множеств. Так, в множестве Р(Х) по теореме Кантора (о том, что сагдХ < < сагдР(Х)) имеется элемент, не принадлежащий Х, поэтому «множества» всех множеств не существует. А ведь именно на этом «множестве» держится парадокс Рассела.
Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие последователя Х+ множества Х. Положим по определению Х+ = Х О (Х). Короче, к Х добавлено одноэлементное множество (Х). Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого своего элемента. 6'Аксиома бесконечности.Индук«пивные множества существуют. Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом 1' — 4' создать эталонную модель множества 1Чо натуральных чисел (по фон НеймануО), определив ПДж.
фон Нейман (1903 — 1957) — американский математик. Работы по функциональному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологнческнм группам, теории игр, математической логике. Руководил созданием первых ЭВМ. 34 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 71а как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множество. Элементами 1вв являются множества которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами О, 1,2,... и называем натуральными числами. 7' Аксиома подстановки.
Пусть У(х,у) — такое высказывание (твчнее, формула), что при любом хв из множества Х су|цествует и притом единственный объект ув такай, чтв У(хв,ув) истинно. Тогда объекты у, длл каждого из которых существует элемент х й Х такой, чтв У'(х, у) истинно, образуют множество. Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем. Аксиомы 1' — 7' составляют аксиоматику теории множеств, известную как аксиоматика Цермело — Френкеля' >. К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1' — 7' и часто используемая в анализе 8' Аксиома выбора.
Длл любого семейства непустых множеств существует множество С такое, чта, каково бы ни была множество Х данногв семейства, множество Х Г1 С состоит из одного элемента. Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точности по одному представителю так, что выбранные элементы составят множество С. Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала горячие дискуссии специалистов.
3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств. В языке теории множеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа математических высказываний: утверждение х Е А о том, что объект и есть элемент множества А, и утверждение А = В о том, что множества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа: (х е А) с=э (х е В).) Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся из атомарных посредством логических операторов — связок, А, 'д, =ь и кванторов й, В с использованием скобок ( ).
При этом формирование П Э. Цермела (1871 — 1953) — немецкий математик; А. Френкель (1891 -. 1965) — — немецкий, затем израильский математик. ~ 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ сколь угодно сложного высказывания и его записи сводится к выполнению следующих элементарных логических операций: а) образование нового высказывания путем постановки отрицания перед некоторым высказыванием и заключение результата в скобки; Ь) образование нового высказывания путем постановки необходимой связки Л, Ч, =~ между двумя высказываниями и заключение результата в скобки; с) образование высказывания «для любого объекта х выполнено свойство Ри (что записывают в виде Чх Р(х)) или высказывания «найдется объект х, обладающий свойством Р> (что записывают в виде Лх Р(х)).
Например, громоздкая запись 3 х (Р(х) Л (Чу ((Р(у)) =~ (у = х)))) означает, что найдется объект х, обладающий свойством Р и такой, что если у — любой объект, обладающий свойством Р, то у = х. Короче: существует и притом единственный объект х, обладающий свойством Р. Обычно это высказывание обозначают в виде 3! х Р(х), и мы будем использовать такое сокращение.
Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стараются опустить столько скобок, сколько это возможно без потери однозначного толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее приоритета операторов —, Л, Ч, =~ считают, что наиболее жестко символы в формуле связываются знаками б, =, затем э', Ч и потом связками , Л, Ч, =~.
С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать Л! х Р(х):= Л х (Р(х) Л Чу (Р(у) ~ у = х)). Условимся также о следующих широко используемых сокращениях: (Чх Н Х) Р:= Чх (х Е Х =~ Р(х)), (Лх Е Х) Р:= Зх (х Н Х Л Р(х)), (Чх > а) Р:= Чх (х Е К Л х > а =~ Р(х)), (Зх > а) Р:= Л х (х Е Н Л х > а Л Р(х)). Здесь К, как всегда, есть символ множества действительных чисел. Зб ГЛ. 1.
НЕКОТОРЫЕ ОВЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ С учетом этих сокращений и правил а), Ь), с) построения сложного высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую запись ( 1пп 1(х) = А):= Чс > 0 Л д > 0 Чх Е К (О < ~х — а ~ < б =~ ~ Дх) — А ~ < е) того, что число А является пределом функции 1: К -+ К в точке а е К. Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом параграфе являются для нас следующие правила построения отрицания к высказыванию, содержащему кванторы.
Отрицание к высказыванию «для некоторого х истинно Р(х)» означает, что «для любого х неверно Р(х)», а отрицание к высказыванию «для любого х истинно Р(х)» означает, что «найдется х, что неверно Р(х)». Итак, Вх Р(х) «=»'лх Р(х), Чх Р(х) е» Зх Р(х). Напомним также (см. упражнения к ~ 1), что (Р ЛЯ) «» РЧ Я, ~(РЧЯ)~Ф РЛ~Я, (Р -'«' 1е) е: Р л 1»«. На основании сказанного можно заключить, что, например, — ((Чх > а) Р) с=» (В х > а) — Р. Написать в правой части последнего соотношения (В х < а) -Р было бы, конечно, ошибочно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
