1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если предположить, что 1 < О, то по только что доказанному (1 < 0) Л (1 < 0) ~ (О < 1 1) ~ (О < 1). Но мы знаем, что для любой пары чисел х, у Е Й реализуется и притом только одна из возможностей: х < у, х = у, х > у. Поскольку 0 ф 1, а предположение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению 0 < 1, то остается единственная возможность, указанная в утверждении. ° 4' (О < х) ~ (О < х 1) и (О < х) Л (х < у) ~ (О < у 1) Л (у 1 < х 1). Проверим первое из этих утверждений. Прежде всего, х ' Ф О.
Предположив, что х ' < О, получим (х ' < О) Л (О < х) ~ (х х ' < О) ~ (1 < О). Это противоречие завершает доказательство. ~ Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положительными, а числа меньшие нуля — отрииательнь ми. Таким образом, мы доказали, например, что единица — положительное число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, а величина, обратная положительному числу, также положительна.
50 ГЛ. Н, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества Определение 2. Говорят, что множество Х С )Й ограничено сверху (снизу), если существует число с Н К такое, что х < с (соответственно, с < х) для любого х Е Х. Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) границей множества Х или также мазьсорантой (минорантой) множества Х.
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Определение 4. Элемент а Е Х называется наибольшим или максим льнььм ь,наименьшим или минимальным) элементом множества Х С С Я„если х < а (соответственно, а < х) для любого элемента х Н Х. Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно: (а = шах Х):= (а Е Х А ь«х Е Х (х < а)), (а = пппХ):= (а Н Х А «1х Е Х ьа < х)). Наряду с обозначениями шах Х (читается «максимум Х») и пппХ 1читается «минимум Х»), в том же смысле используются соответственно символы шах х и пппх.
хЕХ хЕХ Из аксиомы 1< порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один. Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максимальный (минимальный) элемент. Например, множество Х = 1х Н И ) О < х < Ц имеет минимальный элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента. Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество Х С )к сверху, называется верхней гранью (или точной верхней границей) множества Х и обозначается вар Х (читается «супремум Х») или гпр х. хЕХ Это основное определение настоящего пункта.
Итак, (з = впр Х):= Чх Е Х Их < з) А ('ьз' < з Зх' Н Х (з' < х'))). в 1. АксиОмАтикА и сВОЙстВА ДейстВительных чисел 51 В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написано, что в ограничивает Х сверху; вторая скобка говорит, что в— минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее в, уже не является верхней границей Х. Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней грани»1ы) множества Х как наибольшей из нижних границ множества Х. Определение 6.
1» = АХ):= Чх Е Х ((» < х) А (Ч»ч >» 3х' Е Х (х' <»ч))). Наряду с обозначением АХ (читается «инфимум Х») для нижней грани Х употребляется также обозначение шГ х. хех Таким образом, даны следующие определения: впр Х:= ппп (с Е К )»«х Е Х 1х < с)), АХ:= шах (с Е К ~ '»х Е Х (с < х)1. Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую доставляет следующая Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную верхнюю грань.
Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней грани. Пусть Х С К вЂ” данное подмножество, а У = (у Е К ~ '«х Е Х 1х < у)) -- множество верхних границ Х. По условию, Х ф Е1 и У ф Е1. Тогда в силу аксиомы полноты существует число с е К такое, что '«х Е Х Чу Е У 1х < с < у). Число с, таким образом, является мажорантой Х и минорантой У.
Как мажоранта Х, число с является элементом У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом множества У. Итак, с = ппп У = вир Х. ~ь Конечно, аналогично доказывается существование и единственность нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет место ГЛ.
Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 52 Лемма. !Х не пусто и оераничено снизу) =~ (3! 1п1Х). На доказательстве мы не останавливаемся. Теперь вернемся к множеству Х = (х е К ~ О < х < Ц. В силу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому определению множества Х и определению верхней грани очевидно, что япрХ < 1. Для того чтобы доказать, что япрХ = 1, таким образом, необходимо проверить, что для любого числа д < 1 найдется число х Е Х такое, что у < х, т.е., попросту, что между д и 1 есть еще числа. Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что д < 2 1(д + 1) < 1), но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последовательно и подробно.
Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минимальным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем 1пу Х = О. Другие, более содержательные примеры использования введенных здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе. 2 2.
Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индукции а. Определение множества натуральных чисел. Числа вида 1, 1+ 1, (1+ 1) + 1 и т. д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3 и т. д.
и называют натуральными числами. Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет полное представление о натуральных числах, включая их запись, например, в десятичной системе счисления. Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однозначным, поэтому вездесущее «и тяк далеев на самом деле требует уточнения, которое доставляет фундаментальный принцип математической индукции.
Определение 1. Множество Х С К называется индуктивным, если вместе с каждым числом х Е Х ему принадлежит также число х+ 1. 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Например, К является индуктивным множеством; множество положительных чисел также является индуктивным множеством. Пересечение Х = П Х любого семейства индуктивных множеств аЕА Ха, если оно непусто, является индуктивным множеством.
Действительно, < т, й Х = Д Ха ~ ('то Е А (х Е Ха)) ~ авА =ь (Чет е А ((х + 1) а Ха)) =ь (х + 1) е П Ха = Х аЕА Теперь примем следующее Определение 2. Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, т. е. пересечение всех индуктивных множеств, содержащих число 1. Множество натуральных чисел обозначают символом И; его элементы называются натуральными числами. С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее натуральные числа начинать с О, т.
е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее О, однако нам удобнее начинать нумерацию числом 1. Следующий фундаментальный и широко используемый принцип является прямым следствием определения множества натуральных чисел. Ь. Принцип математической индукции Если подмножество Е множестпва натуральных чисел И таково, что 1 Е Е и вместпе с числом х Е Е множеству Е принадлежита число х+1, тоЕ=И.
Итак, (Е С И) Л (1 Е Е) Л (Чх Е Е(х Е Е =ь (х + 1) Е Е)) =ь Е = И, Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств натуральных чисел. 1' Сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными числами. 54 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЪНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА м Пусть т, и Е И; покажем, что (т + и) Е И. Обозначим через Е множество тех натуральных чисел и, для которых (т + п) Е И при любом т е И. Тогда 1 е Ь', поскольку (т е И) =ь ((т + 1) е И) для любого т Е И.
Если п Е Е, т.е. (т + и) Е И, то и (и + 1) Е Е, так как (т + (и + 1)) = ((т + п) + 1) Е И. По принципу индукции Е = И, и мы доказали, что сложение не выводит за пределы И. Аналогично, обозначив через Ь' множество тех натуральных чисел и, для которых (т п) е И при любом т Е И, находим, что 1 Е Е, так как т 1 = т, и если и Е Е, т. е, т-и Е И, то т. (и+1) = тп+т есть сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит И. Таким образом, (и Е Ь') ~ Ив+1) е Е) и по принципу индукции Е = И. > 2' Покажем, что (и Е И) А (и ф 1) =ь ((и — 1) Е И). ~ Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида и — 1, где и— натуральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = И. Поскольку 1 Е И, то 2:= (1+ 1) Е И, а значит, 1 = (2 — 1) Е Е.
Если т Е Ь', то т = и — 1, где п Е И; тогда т + 1 = (п + 1) — 1 и, поскольку (и + 1) Е И, имеем (т + 1) Е Е. По принципу индукции заключаем: Ь' = И. ~ 3' Длл любого п Е И в множестве (х Е И ~ и < х1 есть минимальный элемент, причем пап (х Е И ) и < х) = п + 1.
м Покажем, что множество Е тех и е И, для которых утверждение справедливо, совпадает с И. Сначала проверим, что 1 б Ь', т.е. ппп (х Е И ~ 1 < х) = 2. Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции. Пусть М = 1х Е И ~ (х = 1) Ч (2 < х)). По определению М имеем 1 Е М. Далее, если х Е М, то либо х = 1 и тогда х+ 1 = 2 Е М, либо 2 < х, тогда 2 < (х+ 1) и снова (х+ 1) С М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
