1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

«нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (такое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой Е). Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отображения 1: 3. — «Я, поскольку геометрическую интерпретацию множества действительных чисел мы будем привлекать исключительно для наглядности и для возможного подключения весьма полезной геометрической интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств, то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов, который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо непосредственно на эту аксиоматику. Геометрический же язык мы будем использовать постоянно. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств: ]а, Ь[:=(х Е К ~ а < х < Ь) — интервал аЬ; [а,Ь]:= (х Е К ) а < х < Ь) — отрезок аЬ; ]а, Ь]:=(х Е К ) а < х < 6) — полуинтервзл аЬ, содержащий конец Ь; [а, Ь[:= (х Е И ] а < х < Ь) — полуинтервал аЬ, содержащий конец а.

Определение 6. Интервалы, отрезки и полуинтервалы называются числовь«ми промежутками или просто промежутками. Числа, определяющие промежуток, называются его концами. Величина Ь вЂ” а называется длиной промежутка аЬ. Если 1 — некоторый промежуток, то длину его мы будем обозначать через [« ~ (происхождение такого обозначения вскоре станет понятным). Множества ]а, +со[:= (х Е К ) а < х), ] — оо, 6[:=(х Е К [ х < Ь), [а, +ос[:= (х Е К ) а < х), ] — оо, 6]:= (х Е К [ х < 6), а также ] — оо,+ос[:= К, принято называть неоераниченными промежутками.

В соответствии с таким употреблением символов +со (читается «плюс бесконечность») и — оо (читается «минус бесконечность») для е 2. ВАжнейшие клАссы ДейстВительных чисел 65 обозначения неограниченности числового множества Х сверху (снизу), принято писать вар Х = +ос («АХ = — со). Определение 7. Интервал, содержащий точку х Е К, будем называть окрестностью этой точки. В частности, при б > 0 интервал )х — б, х + б~ называется б-окрестностью точки х. Его длина 2б. Расстояние между числами х, у Е К измеряется длиной промежутка, концами которого они являются.

Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. х < у или у < х, и чему равна длина, у — х или х — у, можно использовать полезную функцию х при х>0, 0 при х= О, — х при х<0, называемую модулем или абсолютной величиной числа. Определение 8. Расстоянием между х, у Е К называется величина )х — у!. Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении х и у; расстояние от х до у и от у до х одно и то же, ибо )х — у) = ~у — х~; наконец, если г е К, то )х — у) < )х — г! + )г — у), т.

е. имеет место так называемое неравенство треугольника. Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величины числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо получается из предыдущего при з = 0 и замене у на — у). А именно, для любых чисел х, у справедливо неравенство М+у! < Ф+ Ь! причем равенство в нем имеет место в том и только в том случае, когда оба числа х, у неотрииательны или неположительны. < Если 0 < х и 0 < у, то 0 < х+ у, )х+ у! = х+ у, )х! = х, )у! = у и равенство установлено.

Если х < 0 и у < О, то х+у < О, )х+у) = — (х+у) = — х — у, ~х) = — х, ~у~ = — у и опять равенство имеет место. ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА бб Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно, например, х < О < у. Тогда либо х < х + у < О, либо О < х+ у < р. В первом случае )х+у~ < )х~, во втором (х+у! < (у), т. е. в обоих случаях 1 +и! < Ф+Ь! Используя принцип индукции, можно проверить, что !. +" +"!<! !+ +1*.1, причем равенство имеет место, если и только если все числа хы..., х„ одновременно неотрицательны или одновременно неположительны.

Число — часто называется серединой или центром промежутка а+Ь 2 с концами а, Ъ, поскольку оно равноудалено от концов промежутка. В частности, точка х Е % янляется центром своей б-окрестности )х — Б, х + д[ и все точки б-окрестности удалены от х меньше чем на б. Ь. Задание числа последовательностью приближений. Измеряя реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как правило, меняется при повторном измерении, особенно если изменить инструмент или метод измерения.

Таким образом, результатом измерения обычно является некоторое приближенное значение искомой величины. Качество или точность измерения характеризуется, например, величиной возможного уклонения истинного значения величины от ее значения, полученного в результате измерения. При этом может случиться, что точное значение величины (если оно в принципе существует) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструктивную позицию, можно (или следует) считать, что мы вполне знаем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с последовательностью') все более точных его приближений числами, получаемыми при измерении.

Но всякое измерение есть конечная совокупность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним его частью, поэтому результат измерения должен выражаться натуральными, целыми или, более общо, рациональными числами. Значит, последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать ОЕсли и — номер измерения, а х„— результат измерения, то соответствие и ~-> х„ есть не что иное, как функция у: 1Ч -+ Н натурального аргумента, т. е., по определению, последовательность (в данном случае последовательность чисел).

Подробному изучению числовых последовательностей посвящен з 1 гл. ПЬ з 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 67 все множество вещественных чисел, построив после должного анализа математическую копию или, лучше сказать, модель того, что делают с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описании. А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых величин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда, правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких действий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились с точными значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос).

Отождествив число с последовательностью его приближенных значений, мы, таким образом, желая, например, сложить два числа, должны складывать последовательности их приближенных значений. Получающуюся при этом новую последовательность чисел надо считать новым числом, называемым суммой первых двух. Но число ли это? Деликатность вопроса состоит в том, что не каждая случайным образом построенная последовательность служит последовательностью сколь угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходимо еще научиться по самой последовательности узнавать, представляет она некоторое число или нет.

Другой вопрос, который возникает при попытке математического копирования операций с приближенными числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть последовательностями приближений одной и той же величины. Соотношение между последовательностями приближений, определяющими число, и самими числами примерно такое же, как между точкой на карте и указкой, которая указывает нам эту точку.

Положение указки определяет точку, но точка определяет положение только конца указки, не мешая взять указку по-другому, поудобнее. Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чисел еще О. Кошиц. Надо надеяться, что после изучения теории пределов вы будете в состоянии самостоятельно повторить эти конструкции Коши.

Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математическую строгость. Цель этого неформального отступления — обратить внимание читателя на принципиальную возможность одновременного существования различных естественных моделей действительных чи- и О.Ковш (1789 — 1857) — французский математик, один из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического анализа. 68 ГЛ. Н.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА сел; я пытался также дать некоторое представление об отношении чисел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль натуральных и рациональных чисел; наконец, мне хотелось показать естественность и необходимость приближенных вычислений. Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым в дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым, но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических операциях над приближенными величинами. Переходим к точным формулировкам. Определение 9. Если х — точное значение некоторой величины, а х — известное приближенное значение той же величины, то числа Ь(х):= )х — х), называются соответственно абсолютной и относительной погрешностью приблилсепил х.

Относительная погрешность при х = 0 не определена. Поскольку значение х неизвестно, значения Ь(х) и б(х) также не- известны. Однако обычно бывают известны оценки сверху Ь(х) < ьь, б(х) < б этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или относительная погрешность приближения х не превосходит б, или б со- ответственно. На практике приходится иметь дело только с оценками погрешностей, поэтому сами величины Ь и б часто называют абсо- лютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого делать не будем.

Характеристики

Список файлов книги