1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Совокупность (11(х)) таких окрестностей, построенных для каждой точки х Е 1, образует покрытие отрезка 1 интервалами (1[х), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему 17(х1),..., 17(хв) интервалов, покрывающую отрезок 1. Но, поскольку Х с 1, эта же система покрывает все множество Х. Однако в каждом интервапе (7(х,) только конечное число точек множества Х, значит, и в их объединении тоже конечное число точек Х, т. е. Х вЂ” конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство. > Задачи и упражнения 1.
Покажите, что а) если 1 — произвольная система вложенных отрезков, то вир(аЕН[[а,Ь]Е1)=а<д=т1(ЬЕН[[а,Ь]Е1) и [а,(7]= [ ] [а,Ь]; (шь)е1 Ь) если 1 — система вложенных интервалов ]а, Ь[, то пересечение П ]а, Ь[ )а,ь(е7 может оказаться пустым. Указание: ]а„, Ь„[ = 10, „- [. 2. Покажите, что а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок; Ь) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал; с) иэ системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал. ОБ. Бояьца~о (1781 -1848) — -чешский математик в философ; К.Вейерштрасс (1815 — 1897) — немецкий математик, уделявший большое внимание логическому обоснованию математического анализа. 14.
СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 85 3. Покажите, что если вместо полного множества К всех вещественных чисел взять только множество Я рациональных чисел, а под отрезком, интервалом и окрестностью точки т Е Я понимать соответствующие подмножества Я, то ни одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в силе. 4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять а) принцип Больцано — Вейерштрасса или Ь) принцип Бореля-Лебега, то получится равносильная прежней система аксиом Н. Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме.
с) Замена аксиомы полноты принципом Коши- Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши — Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего параграфа) . З 4. Счетные и несчетные множества Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавление к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в главе 1. 1. Счетные множества Определение 1. Множество Х называется счетным, если оно равномощно множеству И натуральных чисел, т.е. сахд Х = сагс1И.
Утверждение. а) Бесконечное подмножество счетного множества счетно. Ь) Объединение множеств конечной или счетной системы счетных множество есть множество счетное. ~ а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножество Е множества И натуральных чисел равномощно И. Нужное биективное отображение )': И вЂ” > Ь' построим следующим образом. В Е,:= Е имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 е И и обозначим е1 Е Е.
Множество Е бесконечно, поэтому Ез .= Е', е1 непусто. Минимальный элемент множества Ез сопоставим числу 2 и назовем его ег Е Ез. Затем рассмотрим Ез .= Е 1 1еыез ~ и т. д. Поскольку Š— бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на 8б ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА каком шаге с номером и Н И, и, как следует из принципа индукции, таким способом каждому числу и Е И будет сопоставлено некоторое число е„Н Е.
Построенное отображение 1: И вЂ” ~ Е, очевидно, инъективно. Остается проверить его сюръективность, т. е. что 1 1И) = Е. Пусть е Е Е. Множество 1и Е И ~ и < е) конечно, и тем более конечно его подмножество 1и Е Е ~ и < е). Пусть А — число элементов в последнем множестве. Тогда по построению е = еы Ь) Если Хг,..., Х„,...
— счетная система множеств, причем каждое множество Х = (хг,..., х„"„,... ) само счетно, то поскольку мощность множества Х = Ц Х„, состоящего из элементов х", где т, и Е И, не вен меньше мощности каждого из множеств Х, то Х вЂ” бесконечное множество. Элемент х,"„Е Х,„можно отождествить с задающей его упорядоченной парой (т, и) натуральных чисел. Тогда мощность Х не больше мощности множества таких упорядоченных пар.
Но отображение как легко проверить, биективно (оно имеет наглядный смысл: мы нумеруем точки плоскости с координатами (т, и), последовательно переходя от точек одной диагонали, где т + и постоянно, к точкам следующей, где эта сумма на 1 больше). Таким образом, множество упорядоченных пар (т, и) натуральных чисел счетно. Но тогда саге) Х < сагс1 И и, поскольку Х вЂ” бесконечное множество, на основании доказанного в а) заключаем, что сагг1Х = = сагдИ.
> Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно. Если про множество известно, что оно либо конечно, либо счетно, то говорят, что оно не более чем счетно (равносильная зались: сагг1Х < сагг1И). Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не более чем счетноео семейства не более чем счетных множеств само не более чем счетно. Следствия. 1) сагг1 Ж = сагс)И. 2) сагг1 И' = сагг)И. Этот результат означает, что прямое произведение счетных множеств счетно. 3) сагг)Я = сагг)И, т. е.
множество рациональных чисел счетно. 14. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 87 М Рациональное число ™„задается упорядоченной парой (т, и) целых чисел. Две пары (т, п), (т', и') задают одно и то же рациональное число в том и только в том случае, когда они пропорциональны.
Таким образом, выбирая каждый раз для записи рационального числа единственную пару (т, и) с минимальным возможным натуральным знаменателем и Е Ы, мы получим, что множество Я равномощно некоторому бесконечному подмножеству множества л, х л,. Но сагс1л.~ = сагс11ч и, значит, сзгс1 Я = сагс1 М )~ 4) Множество алгебраических чисел счетно. ~ Заметим сначала, что из равенства саге) Я х Я = сзгс) И по индукции получаем, что для любого к б Ы выполнено сагс1 1ф' = сагс1 Ы. Элемент т Е Я" есть упорядоченный набор (ты..., ть) Й рациональных чисел. Алгебраическое уравнение степени )с с рациональными коэффициентами можно записать в приведенном виде х~ + т1 х~ '+...
+ ть = О, где коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных алгебраических уравнений степени Й столько же, сколько различных упорядоченных наборов (ты..., ть) рациональных чисел, т. е. счетное множество. Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (произвольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение 1по степеням) счетных множеств. У каждого такого уравнения лишь конечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более чем счетно.
Но оно бесконечно и, значит, счетно. > 2. Мощность континуума Определение 2. Множество К действительных чисел называют также числовым континуумом'), а его мощность — мощностью континуума. Теорема 1Кантор). саге) 1ч ( саге) К. Теорема утверждает, что бесконечное множество Н имеет мощность ббльшую, чем бесконечное множество )Ч. Ц Соппппшп (лат.) — непрерывное, сплошное. ГЛ. Н.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 88 м Покажем, что уже множество точек отрезка [О,1] несчетно. Предположим, что оно счетно, т.е. может быть записано в виде последовательности хыхз,...,х„,... Возьмем точку х1 и на отрезке [О, 1] = 1о фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку хы В отрезке Х1 строим отрезок Хг, не содержащий хз, и если уже построен отрезок 1„, то, поскольку [Х„] > О, в нем строим отрезок Х„.ь1 так, что х„ь1 ф Х„+1 и [Х„.ь1[ > О. По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам Хо, Хы..., 1„,...
Но эта точка отрезка 1в = [О, 1] по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности хы хз,..., х„,... в Следствия. 1) Я ~ К и существуют иррациональные числа. 2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраических чисел счетно. (После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: ьВ множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические числае.) Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
