1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 22
Текст из файла (страница 22)
По условию множество значений последовательности 1х„) ограничено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань л = япр хи. пен По определению верхней грани, для любого е > О найдется элемент хп«е 1х„) такой, что я — с < хп«< в. Поскольку последовательность 1х„1 неубывающая, при любом и > Х теперь получаем з — е < хп1 < < хп < з, т.е. ~я — х„~ = з — хп < е.
Таким образом, доказано, что 1пп хп = в. ~ь П вЂ” «ОО Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае 1пп хп = 1п1 хп. и-«ОО пЕ1Ч Замечание. Ограниченность сверху 1снизу) неубывающей 1невозрастающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности.
Рассмотрим несколько полезных примеров. Пример 11. 1пп — '„' = О, если д > 1. П вЂ” «ОО Ч м Действительно, если хп = — "„, то хп.„1 = "— хп, и е М. Поскольи+1 ч ку 1пп — "+ = 1нп (1+ -11 — = 1пп (1+ -11 1пп — = 1 — = — < 1, пч „( п~ч „( иг'„ч ч ч то найдется номер М такой, что при и > Х будет ",+ < 1. Таким образом, при и > Х будем иметь х„~1 < хп, т. е. после члена хп«наша последовательность монотонно убывает.
Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела,не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел последовательности хп1.1 > хи+2 >... Члены последовательности положительны, т. е. последовательность ограничена снизу. Значит, она имеет предел. Пусть х = йп х .
Из соотношения х„ь1 = — хп теперь следует и+1 П-«ОО П ПЧ и /и+1 1 . и+1, 1 х = 1пп (х„.11) = 1пп ~ х„~ = 1пп 1пп хп = -х, П вЂ” «СО П вЂ” «ОО ИЧ П вЂ” «ОО ИЧ П вЂ” «ОО О откуда находим (1 — -) х = О и х = О. ~ 11 ч) 1 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 103 Следствие 1. 1пп фп = 1. ° При фиксированном е > О по доказанному найдется Х Е И такое, что при п > Ж будем иметь 1 < п < (1+ с)". Тогда при п > Х получим 1 < фй < 1 + е и, значит, действительно 1пп ",/й = 1.
> Следствие 2. 1пп ~/а = 1 при любом а > О. < Пусть а > 1. Для любого е > О найдем Х Е И так, что при п > М 1 < а < (1+ е)", и тогда при п > Х получаем 1 < 1уа < 1+ е, т.е. 1пп ~/а = 1. о-~со Еслиб<а<1,то1< 1 и 1 1 1пп 1/а = 1пп — = = 1. о-~оо о-~00 11 /- Пример 12. 11щ ~; = О; здесь о — любое действительное число, о-~оо и! пЕИ, и1:=1 2 ....и. п м Если о = О, то утверждение очевидно. Далее, поскольку ~~; = )д) —,, то достаточно доказать утверждение для о > О.
Рассуждая в этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что х„.е1 = — л — х„. Пои+1 скольку множество натуральных чисел не ограничено сверху, найдется номер Х такой, что при п > Х будет О < — Л вЂ” < 1. Тогда при п > и+1 > Ж будем иметь х„.е1 < х„и, учитывая положительность членов последовательности, можно теперь гарантировать существование предела 1пп х„= х. Но тогда х = 1пп х„.о1 = 1пп х„= 1пп 1пп х„= О х = О. Я ° Я и — ~оо о — >оо п + 1 о->оо п + 1 о-~со с. х1исло е Пример 13.
Докажем существование предела 11щ Ц+ — „) И,ОО~ Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйлера буквой е, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии я. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться по очень разным поводам.
Проверим сначала следующее неравенство: (1+ а)" > 1+ па при п Е И и а > — 1 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 104 (называемое иногда неравенством Я. Бернулли~)). ~ При п = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для и Е Ы, то и для п+ 1 тоже, поскольку тогда (1 + о)"~~ = (1 + а)(1 + а)и > (1 + а)(1 + ) = 1 + ~ + 1) + 2 > 1 + ( + 1) По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого п Е М. Из выкладки, кстати, видно, что при а ф 0 имеет место строгое неравенство. ~ 1 и+1 Покажем теперь, что последовательность у„= (1+ — „) убывающая.
~ Пусть п > 2. Используя доказанное неравенство, находим,что — 1+ > у„(1 1) "~~ (П~ — 1)и П+ 1 П2 — 1 П+ 1 п2 — 1 п+1 п и+1 Поскольку члены последовательности положительны, существует 1 и-~-1 предел 1пп (1+ — „) и,сО! Но тогда 1пп 1+ — = 1пп 1+ — 1+— Итак, Определение 10. '1Якоб Бернулли (1654 — 1705) — швейцарский математик, представитель знаменитого семейства ученых Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и теории вероятностей. 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 105 д. Подпоследовательность и частичный предел последовательности Определение 11. Если х1, хг,..., х„,... — некоторая последовательность, а п1 < пг « ...
пь < ... — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность х„„х„„...,х„„,... называется подпослвдовательностью последовательности 1',х„). Например, последовательность 1,3,5,... нечетных натуральных чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследовательностью последовательности 1,2,3,... Но последовательность 3,1,5, 7, 9,... уже не является подпоследовательностью последовательности 1,2,3,...
Лемма 1 1Больцано — Вейерштрасс). Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность. ~ Пусть Š— множество значений ограниченной последовательности 1х„). Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка х Е Е и последовательность п1 < по < ... номеров такие, что х„, = = х„, = ...
= х. Подпоследовательность 1х„,) постоянна и, значит, сходится. Если Е бесконечно, то по принципу Больцано — Вейерштрасса оно обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х— предельная точка Е, можно выбрать п1 Е И так, что ~хт — х~ < 1. Если пь Е И уже выбрано так, что ~х„„— х~ < Е, то, учитывая, что х— 1 предельная точка Е, найдем пьл, е И так, что пь < пь+1 и ~х„,~, — х~ < < —. 1 1+1' Поскольку 1пп Е - -О, построенная подпоследовательность х„„ 1 ь — ~со хоь ~ ° ° ° 1 хь > ° схедится к х- ь Определение 12.
Условимся писать х„— 1 +ос и говорить, что последовательность (х„) стремится н плюс беснонечностщ если для каждого числа с найдется номер М е И такой, что х„> с при любом и > М. Запишем зто и два аналогичных определения в логических обозначениях: (х„-+ +ос):= Чс Е 1С ЗМ Е И уп > М 1с < х„), (х„— ь — оо):= Чс б К ЗИ е И 'Фп > И (х„< с), ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 100 (х„-+ оо):= Чс Е Е ЗМ Е И Уп > Ж (с < )х„)).
В последних двух случаях говорят соответственно: последовательность (х„) стремится к минус бесконечности и последовательность 1х„) спьремится к бесконечности. Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. Например, х„= п1 Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причисляем к сходящимся.
Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе. Лемма 2. Из каждой последовательности дейстпвительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности. ~ Новым является только тот случай, когда последовательность 1х„) не ограничена. Тогда по к Е И будем выбирать пй Е И так, что ~х„ь ~ > 1с и пй < пй ь1. Получим подпоследовательность 1х„„), которы стремится к бесконечности.
> Пусть 1хй) — произвольная последовательность действительных чисел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречавшуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность г„= 1п1 хй. ПосколькУ г„< г„ь1 длЯ любого и Е И, то либо последовай)п тельность (1„) имеет конечный предел 1пп 1„= 1, либо г„— 1 +ос. Определение 13. Число 1 = 1пп 1п1'хй называется нижним преп — ~со й)п делом последовательности 1хй1 и обозначается 1пп хй или 1пп1п1'хй.
й — ~со й — >оь Если г„— 1 +со, то принято говорить, что нижний предел последовательности равен плюс бесконечности, и писать 1пп хй = +со или й-~со 1пп 1пГхй = +ос. Если исходная последовательность 1хй) не ограничена й — >со снизу, то при любом п Е И будем иметь г„= 1п1' хй = — оо. В этом й)п случае говорят, что нижний предел последовательности равен минус бесконечности, и пишут 1пп хй = — оо или 1пп 1п1'хй = — оо. й-кю й — кю 1 Ь ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 107 Итак, с учетом вс~с перечисленных возможностей запишем теперь кратко определение нижнего предела последовательности 1хй): Аналогично, рассматривая последовательность яп = япрхй, пряхой>п дим к определению верхнего предела последовательности 1хй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
